KM

i J3S2 [ H .ea,„+ m .^+»ce.rt- + ' , °' M,,C °"" H ;'' , ''- H ""' ,)> ]

le double signe + pouvant être réduit arbitrairement soit au signe -4- soit au signe — . Réciproquement, si les équations (89), (90) continuent de subsister, tandis que m, v, varient mais de manière a vérifier toujours la formule (34) ou

elles ne seront point altérées quand on remplacera dans leurs premiers membrea les quantités », t> par d'autres quantités h,, t>. propres a ïérifier la formule

M.' + Pi = if tf 1 = »' + 1'' ,

et par conséquent les équations (87) et (88), ou (89) et (90), que nous avons déduite* des formules (38), (39) jointes aux formules (41), entraîneront à leur tour ces formules auï quelles on pourra les substituer sans inconvénient. Donc, pour que l'élasticité de l'éllier reste la même en tous sens autour d'un axe quelconque parallèle a l'axe des H est nécessaire et il suffit, que les formules (87), (88) subsistent non seulement quelles que soient les valeurs de ni , mats encore quelles que soient les valeurs de » . v- Or s'il en est ainsi, en développant les cosinus que ces formules renferment en séries convergentes, puis égalant entre eux les termes qui dans les deux membres des mêmes formules représenteront des fonctions homogènes de », v, w, du degré 2«, on obtiendra les équations

(91) S \mr* t ~ i (ittû»a+i>to*/i+wcHy?*t(r) f =S \mr lH ~\±(»'+v , )\osa+u>ct>tiy) i *f(r)U

(92) Slm^iucona+tcosp+uicoay^firyl = S \mr U ' 5 (±(u t +v') i coBa+wcoay) 1 "j{ r )l,

dont la première devra être étendue à toutes les valeurs positives du nombre entier n , el la seconde à toutes les valeurs de n qui surpassent l'unité. De plus, en développant les eipressions

(«COSa + l'COBjS + U'COSJ') , (+(•»* + !'') C08O + WC08/)

suivant les puissances ascendantes de u> dans les deux membres de chacune des formules (91). (92), on tirera de ces formules 1° pour des valeurs impaires de v

(93) S U^" - V( r X«cosft^/cos^) 2rt " v cos^i=+(«'+r i ) f, * ? 8 fwr 2 ' , "'f(r)cos' 1 "- , 'acos , 'r!,

(94) S ÎMr 2 ' , ■ 3 /(r)(«cosK+"COS / ?) 3w "*'coa*'yi=:±(w , ^-t. , ) T S \mf m ^ i f^r^)nf' , ^'' au,f fa

le double signe + pouvant être remplacé à volonté par le signe + ou par le signe — ; 2 e pour des valeurs paires de j

(95) S î«w* ,-, f <rX«co«H-w

:os" r | = («'-H' 1 ) * 8 \mr^ n '\rycm 2 *"n eo/yj,

{96)SΫr 3 "-y(rX«co9ff+i'C08^r'*"''cos''j'i = («H-"') *S K^'^^M^'oeo/yj,

Les équations (93), (94) n'étant pas altérées tandis que leurs seconds membres changent des signes, on doit en conclure que ces second» membres sont rigoureusement On aura donc pour des valeurs impaires de v

os y| =0,

cl nar suite les équations (93), (94) se réduiront ii

S |*r 5 "" , f(.-)(«eoso; + !<coB/!)' ! "" , 'cos'Vi = 0,

\mr ' f(r)(ucosa + vcas(l) "''cos y| = 0.

Eufin, comme les deux expressions

(ucona+vco*{lj tn -\ (w' + W %

('tant développées fournissent la première des termes de hi forme

dans lequeïs les nombres i, n, v liés entre eu* par l'équation (47) * A + ,/ + ,= 2*

peuvent être pairs ou impairs, et la seconde, lorsque v est un nombre pair, des termes de la forme

l.a.3 — («-S t lJt a.4.6, ..(».- >) n > [J , 1.3..(M)1.3..(„.l) l.î.3..(g.-») I j. (1.2..i) (IS-O (2.4...).)(2.4...p) 1.3...(2,-,-l) (1.2..i)(1.2..p)

dans lesquels Jt, ft sont pareillement des nombres pairs, on tirera des formules (99), (100), (95) et (96), 1° pour des valeurs impaires de ). , de i, ou de v

S Jhii* * f(r)cos »C08''j?CO8*'y{ = ,

(49) S \mr*'"' i f(r)cQ* l acQ8 f '(tC06 > 'y\ =0;

2° pour des valeurs paires de /. , fi et r

(iOi) S \mt? n ~\r)ço a k Mon > 'i}co*''yl = i 35';^"^! S [mr 2 "* 1 f^cos^'^coa" y( , et

(102) S|*r a *^r)co 8 W^<icos , 'yt = ^xP^T^ 5 ^'^^''' ^'' ï\ »

le nombre entier m dont le double équivaut à la somme i-J-p+v -pouvant rire quelconque dans les équations (48), (101), mais devant surpasser l'unité dans les équations (49), (102). Il importe d'observer que les conditions (48), (49), déjà obtenues dans le cas, ou l'élasticité de l'élher était censée rester la même en tous sens autour d'un point quelconque, renferment comme cas particuliers les conditions (97), (98). Ajoutons que des fprmules (48), (49), (101) et (102) on peut remonter immédiatement aux formules (99), (100), (95) et (90), ou même aux formules (91), (92), par conséquent aux formules (89), (90) qui peuvent a leur tour être remplacées par les équations (38), (39) jointes aux équations (41). Donc en définitive les formules (48), (49), (101) et (102), étendues à toutes les valeurs positives du nombre entier n, ou du moins, s'il s'agit des formules (49) cl (102), aux valeurs entières de n qui surpassent l'unité, expriment les conditions nécessaires et suffi santés pour que l'élasticité de l'éther puisse être censée rester la même en tous sens autour d'un axe quelconque parallèle à l'axe des x.

Lorsque ces conditions sont remplies, on tire des formules (10) et (11) jointes aux formules (87) et (88)

(103) O = S J— ^ [1 — cos»- (+ («* + ■") cosb+wcos)'))] j ,

. __ ("•/('■) r , * . cos(r(-f-(« , +v I ) l cos«-r-w'Cosj'))t)

(104) <V=S j^r^[i (±(«4-* 9 cosa+w-cosy) 1 H ^ — — Jï ;

et, comme dans ces dernières on peut supposer le double signe + arbitrairement réduit soit au signe -f- soit au signe — , il T est clair, qu'on pourra prendre cn- ; pour valeur de D ou de °P la demi-somme des résultats obtenus dans ces [eux suppositions. En opérant ainsi, et ayant égard aux formules

((tf-j-tJ 1 ) COS«+IDCOBJ') 3 + ( fll I + l> I )"cOBtt-f-tt>COBî')*

= («*+ w 1 ) cos I «+ w^cos'y ,

cos(r((ir'-f-t^) cosa-r-M;cosy))-T-cos(r( — (k'-Hi 2 ) coscr-+-wcosj'))=co8λ'(i( , - r -t/ 1 )'cosojcos(rweo»^) > on trouvera

Îmilr) . î t [1— cosjr^-r'V 1 ) cosa|cos(j-«rcos)')]>

i\ «A — 3 \ m f( r ^ r( wI + ll ') C0 « ,ft + l «' r ct>a'y costr^+^cogftjcoHfr-MJCOsy) -!)

Kn résumé D el 'V seront seulement fonctions des quantités variables

i* 1 + f r et w*.

D'autre part, ai, après avoir fait pour abréger

on désigne par

les dérivées du premier et du second ordre de "P considéré comme fonctions de

K, par

"?*, *fi,a

lea dérivées du premier el du second ordre de °V considéré comme fonctions de

A,, et par

la dérivée du second* ordre de "V differentié une fois par rapport a chacune dea

variables K,, /£,, on trouvera

<JX, dKx rfJC,

et par iuile

(if») si = ^- Tfr^*i) dH = wrp -'

d"9 <W iFV (110) ^ r = T>,+ .'-l>,,,, 57 =T>, + „»D„„- 5;? = 1>, + »»C„,

<TT> d"9 d-9

(*") •SB- 5 "-'*" Â^""'"-- j-^"'"-'-

En conséquence les formDjee (8), (9) donneront

(IIS) t = 0+T,+»'*! > ,,.. 9tt = 0+'f > ,+l' , *t>,„, Se = t>+*»,+ »"»M,

(113) Î = 1«T>,„, S. = «*■?,,,, 31 = MiT,.. i

et l'équation (7) c'eat à dire l'équation de l'ellipsoïde qui détermine lee loix de la polarisât! ou deviendra

(114) (D+^.)(x'+y 1 )+^ w (Hï4^y) î 4^^w(«s4^j')u'ï+(O+ m P 1 4- 0, Pw«' , )ï I =l- Lorsque le plan de l'onde primitive coincide avec le plan de x, y, on a

a = 0, 4 = 0, e = ±1; on en conclut

« = 0, r=0, w=:±k, et la formule (114) se réduit à

Donc alors, comme il était facile de le prévoir, l'ellipsoïde (7) est de révolution autour de l'aie des z , et dans cet ellipsoïde le carré du rayon de l'équateur est

le carré du demi-axe de révolution étant

Donc, si l'on nomme généralement iï\ KT, £î" les vitesses de propagation des trois ondes planes dans lesquelles se divise une onde primitive de lumière non polarisée, on pourra prendre, dans le cas particulier dont il s'agit,