SUS3C

li.'i.'kc;

Somme

îpitîaicar J.-" — i A."

.ïirv-,-1.-,

En resnmë, les épaisseurs des ondes dans l'air et les autres substances elant exprimées en dix millionièmes de millimèlre, ces épaisseurs seront, d'après les expérience» de Frauenliofer, représentées par les nombres que renferme le tableau ci joint.

Epaiaseurs dea ondes, eu di.v-millionièmea de millimètre.

vaient!

de i

... Air . .

le-

. Solution do . huile de th

potasse. .

térébenthine

i* espèce .

. flintglati 1 2«

r espèce .

Il est important «l'observe sur le retour des suites, on c (9) i'

D'ailleurs pour déterminer les l'équation (9) les-valeurs de

qu'en appliquant à l'équation (1) le théorème dcLagrange tire la valeur de Jt 5 développée en une série de ia forme = b,* 1 + b,s* -+■ b*«* + eic.

coefficients b», h ît b t , . . . il suffira de substituer dans a 1 , a*, a 8 , . . . etc. déduites de l'équation (1), savoir

z a i jt I + a 1 it' + 3,** + etc., = a 1 , ** + 2a 1 a,i 8 + etc., : 3,**"+ etc.,

Alors l'équation (9) deviendra t'zza^»* 1 -f-(a : b,-f-a, et l'on en conclura

b J )Jt , + (B 1 b,H-2a,a 1 l», + a 1 I b,)A'+clc.

n,Ii, 4- 2a, a, b, + a.'l-'» = °

pirconséqucnl

(10) < *a — — ^ -- ai 3'

Dj = j; = — t >

etc.

Cela posé, la formule (9) donnera

(il) ajfc> = ^-^^- ai<,t ~ W ^-etc.

Or, puisque, dans le eas où la distance r de deux molécules assez rapprochées pour exercer une action sensible l'une sur r autre est considérée comme très petite du premier ordre, les quantités

sont des quantités très petites du premier, du troisième, du cinquième . . . ordre, il est clair que dans le même cas les quantités

et par suite les coefficients de «*, *•, . . . dans le second membre de la formule (11), seront des quantités très petites du premier, du second ordre etc. . . • Donc ces coefficients décroîtront très rapidement aussi bien que les coefficients de s*, **, *°, etc. dans le second membre de la formule (9).

Si dans le second membre de l'équation (1) on conserve seulement le premier, les deux premiers , le trois premiers termes, etc. . • , on obtiendra diverses valeurs approchées de ê\ savoir

(14) «»= a I *» + a 1 i« + a,it 8 ,

etc.

et si l'on substitue la première de ces râleurs approchées dans les différents termes qui composent le second membre de la formule (11), ces différents termes deviendront

«**% — ««*% — (•» —J *•, etc.

Or, les coefficfentê des puissances successives de i 2 étant du même ordre dans la série (15) et dans celle que renferme l'équation (1), il est naturel d'en conclure qu'on obtient le même degré d'approximation lorsque dans les second membres des équations (1) et (11) l'on conserve le même nombre de termes. En conséquence aux formules (12), (13), (14) etc. doivent correspondre les suivantes

v ' Si a x $

la* a t aa — 2a a *

etc.

qu'on peut encore écrire comme il suit

(19) W = bi*,

(21) P^bt^ + bi^ + b,/,

etc.

C'est au reste ce qu'il est facile de vérifier a posteriori. En effet la formule (11) entraine immédiatement la formule (16). Pareillement la formule (13) s'accorde avec la formule (17) de laquelle on tire

ou, ce qui revient au même,

(23) * = t.» 5 i = a,* 2 + a 2 i* + 2— *• + 5-?P-|-etc.

et par conséquent

^zza^ + aa**, en négligeant les termes

Or ce» derniers sont respectivement comparables pour leur petitesse aux termes

a 3 A% a. À-', etc.

que l'on a négligés dans le second membre de l'équation (1) pour réduire cette dernière à la formule (13), puisque les quantités

sont respectivement du cinquième, du 7° ordre, etc. . . . aussi bien que les quantités

On prouverait par tics raisonnements semblables que la formule (14) s'accorde avec la formule (18), etc. . . ■ Cherchons maintenant jusqu'où les expériences de Frauenhofer permettent de pousser le degré d'approximation, c'est à dire, combien de termes ces expériences permettent de conserver dans l'équation (1), ou, ce qui revient nu même, dans U formule (11).

Lorsque dans la formule (11) on écrit *„ et t„ au lieu de a et Je , ou en tire (24) *y = b,*.' + biJ„* -H b 3 *„' ■+- etc. ,

puis, en posant successivement n=:l, n = 2, m:=3, etc...., / *,* sa KV + bi*,' + b 1 * 1 » +...

v J 1 iV= b, *»*;+- b,«,* + b,*j? +.. .

I etc.

Or, si dans le second membre de la formule (11), ou (24), on conserve seulement un, deux, trois . . . termes, on pourra en éliminer le coefficient b, , ou les deux coefficients h, , b 3 , ou les trois coefficients b, , b 2 , b } ; etc. à l'aide de la première, ou des deux premières, ou des trois premières, etc. . . . des formules (25), et l'on trouvera dans le premier cas

dans le senond cas

(27) Us-

dans le troisième cas

(.■■-.■JC-'-'. 1 )

( ra)

(28) ***-(^u^(V wî «.' *'' + (..--..") (»,"-«,') .." K + (.,'-«.')(«.■-».")

H est bon d'observer, qu'on peut déduire directement les équations (26). (27), (28) s Is formule île Lagrange pour l'interpolation, en considérant

comme une fonction entière de a', dont le degré 1 soit l'un des nombres 0, 1,2, etc. Ajoutons que la formule (26), si l'on y pose n=2, lu formule (27) v ai l'on y pose n~3, la formule (28), si l'on y pose a = 4 . etc. , , . pourront s'écrire comme il suit

JlW- »1 3 )(*. J — «l^CV— «*') 4x\4t , —4 t '){4 1 1 «j'X*!* S« 3 ) *»'(**'— «.'X^'— «l'X"»'— *.')

Généra] enj eii t, >i l'on conservait m — 1 termes dans le second membre de l'équation (24), on tirerait de cette équation, ou, ce qui revient au même, des équations (25)

( 32 )^(^^)(^^...(^ S , 3> + Sl >(^^) ( ^^ > ...(^^j + ---t. 1

ce que l'on peut démontrer drrec terne nt comme il suit.

En désignant par * un nombre entier inférieur à », on tire de la formule d'interpolation, ou bien encore de la formule rclathe A la décomposition des fractions rationelleB

puis, en égalant entre eux les coefficients de a 1 "— 1 dans lea deux membrcB de l'équai ion (33), ou en conclut 1° pour i •< n — 1

2° pour t = n — 1 (35) 1 =

(*> — a» 1 ) («i 1 — *» ! ) . . . (a, 1 — a. 1 ) (fc ! — *! 3 ) (« 3 ! — «, a ) . . . (i? — «.')

Or, si l'on a cgard aux formules (34), (35), les m premières des formules (25), respect îvcm eut multipliées par le coefficients

puis combinées entre elles par voie d'addition, donneront

= £„ -+- etc. .

«t il est clair que celte dernière équation se réduira simplement h la formule (32), si, dans le second membre de la formule (24), par conséquent de chacune des formules (25), on conserve seulement les * — 1 premiers ternies, ce qui revient à poser

i» = 0, i„ t , = 0, etc.

Lorsqu'on passe de l'air à un autre milieu, la quantité 1 doit etre remplacée par

dans l'équation (32) qui se change alors en cette autre formule

aiV.'— si) ■ ■ ■ (V— *-") SjH^ 1 "*!*) ('*)' — "') ■■•(*,'—*..*)

Si d'ailleurs on pose, pour abréger ,

Kt ~ «*(si t -<* 2 Xsx*-* t ).w-'. i y Kl ~«. ï (* , vx* , vm*w) ' ctc< • • •

•■ K " = Sm * (,.» #1 ») (,„*,>) (,„» ,') *

et, si l'on représente les carrés de indices de réfraction par

(39) 0i, 0,, 0„ etc.

de aorte qu'on ait

* désignant un nombre entier quelconque, les formules (32) et (37) détiendront respectivement

(41) K. + Ex + K» + 1- K m = 0,

(«) K x 9 t + Kt&t + JK.e» + r-«.©» = 0.

Enfin, ai l'on passe successivement de l'air à d'autres milieux réfringents des diverses natures, et, ai dans ce passage h devient successivement

(43) 01, 0'*, 0"*, ete.

alors, au lieu de la formule (41), on obtiendra un système d'équations de la forme

X,0, +K t e, -+-*,©, + |-JC,0. =0,

K } < K.©i' + *,©/' + JW + . . + K,e m " = ,

eiC* • • •

pourra que l'on pose

(45) © t - = 0,-% ©;' = 0/*, ©/' = t -" î , etc.

c'est- à- dire, pourvu que l'on désigne par

(46) ©,-, ©/,. ©,', etc.

les carrés des indices de réfraction relatifs aux divers milieux dont il s'agit. On ne saurait, dans les formules (41), (42), (44), «apposer » = 2: car alors les formules (41), (42), réduites à

K t + K 2 = 0, JC»©i + JC 2 2 = O,

donneraient simplement O t = & t et par suite la dispersion cesserait d'aroir lieu. On aura donc au moins n = 3. Ajoutons qu'il suffira d'éliminer les quantités

ttu plutôt let tipporH

entre l'équation (42) et * — i des équations (44). paur obtenir, entre 1» valeurs de

relative* à n — 1 substances diverse*, nue équation de condition qui dem être e slblement vérifiée, lorsqu'on pourra sans erreur sensible réduire à ses m — 1 terme* la série comprise dans le second membre de la formule (9) on (24).

Cela posé, en attribuant successivement a » les valeurs enivres et croissantes 3, 4,

clc on pourrait chercher la première de ces valeurs pour laquelle se vérifient tant

erreur sensible les équations de condition du genre de celles que nous venons de mentionner, et décider ainsi jusqu'où les expériences de Frauenhorer permettent de pousser le degré d' approximation. Mais on arrivera plus prompicnn.nl au même bot à l'aide de* considérations suivantes.

La formule (42) détermine ©■ en fonction linéaire de seules quantités ©,, ©,,... ©,.

Dea formules semblables détermineraient G»;,- 9^*, etc. ea fonctions linéaires des mêmes quantités; et généralement le caractère propre d'une valeur de * asses considérable, pour qu'on puisse sans erreur sensible réduire la série (9) ou (24) 1 s m — i premiers termes, c'est que « des quantité*

©t. ©i, ©i, ©4, etc.

seront toujours liées entre elles par une équation linéaire «ans terme constant, el da laquelle les coefficients resteront indépendants de la nature du milieu réfringent. Concevons maintenant que par les notations

(47) S0 t -, S©,-, S"©,-, etc.

on désigne plusieurs des polynômes contenus dans la formule générale

(48) + ©, + 0, + ©, + etc ,

c'est à dire autant de sommes des quantités

©i , ©i < ©i . etc

prises tantôt arec le signe -+- , tantôt avec le signe — ; de sorte qu'en appliquant le calcul aux expériences de Franenhnfer faîtes sur sept rayons l'on ait par exemple

S'0; = 0, + ©, + ©, + ©« ©,0,0 Tt

etc.

Représentons an contraire par les notations

(50) 29^ 29/, r'0 f , etc

-plusieurs des polynômes compris dans la formule générale

(51) ± 9 4 ± 9/ ± ©/' ± etc.... ,

c'est à dire, autant de sommes formées avec les diverses valeurs de

correspondantes à une même valeur de t , mais relatives aux diverses substances, e(. concevons par exemple que

S©», Se», 29i

représentent les sommes des valeurs de

relatives à toutes les substances, qne

't 9 «sa» €?2 , • • • • 4*to Cr^

représentent ce qne deviennent les précédentes sommes, qunod on y change les signes des termes relatifs aux diverses espèces de flintglass, etc. • • . Enfin décomposons t en diverses parties représentées par

ensorte qu'on ait

En admettant qne les lettres caractéristiques S, S', . . . . <£, X, . . . . appliquées séparément ou simultanément à ces diverses parties gardent les mêmes significations que lorsqu'on les applique à @ t « , et indiquent toujours des sommes formées de la

même manière ; on. aura encore

(53) \ S'Gi f= S'^f + S^/ + B&f + etc ,

etc.. . . .

(54) { r©< = r^ t - + r^/ + r*/' + etc ,

GwC* • • •

Cela posé, revenons à la formule (42), et voyons dabord quelles conséquences on aurait pu déduire de cette formule et autres semblables, s'il eût été permis d'j supposer a — 2. Dans cette hypothèse de l'équation (42) réduite à

on aurait tiré

puis, en remplaçant le premier des milieux réfringents par le second,

et par conséquent

on, ce qui rerient au même,

On «lirait trouvé de la même manière

©'» " ©'• etc. . .

et finalement

Or plusieurs fractions égales entre elles sont encore égales à celle qu'on obtient en divisant la somme de leurs numérateurs ajoutés les uns aux autres, ou pris les uns avec le signe + les autres avec le signe — , par la somme de leurs dénominateurs ajoutés pareillement les uns aux antres ou pris avec les mêmes signes nue les numérateurs. Donc la formule (58) entraînerait la suivante

e, se, :

qu'on peut écrire comme il suit

§ë7 = së7'

et dans laquelle il est permis de remplacer la caractéristique S par l'une des caractéristiques S', S", etc Observons dailleurs que, ni l'on pouvait considérer

comme égaux les rapports compris dans la formule (58), et attribuer lea différences de leurs valeurs réduites en nombres aux erreurs d'observation, le moyen d'atténuer l'influence probable de ces erreurs sur la détermination de la valeur commune des rapports dont il s'agit serait de faire concourir également à cette détermination les carrés des sept indices de réfraction, et par conséquent de substituer le nouveau rapport

S@ i 0» + ©» + ©! + ©« + ©, + ©», + 0, S©/ — . + î + &> -+- &', + ©'. + &■ + &\ à tous les autres, attendu que les deux termes de ce nouveau rapport seraient sept Fais plus grands que les moyennes arithmétiques entre les termes correspondants des premiers, et que, selon toute apparence, les erreurs d* expérience dans ©i, ©», © 3 , ©«, ©*, ©.. ©t t les unes positives les autres négatives, produiraient dans le polynôme

©i + 0, + O» + 0, + ©* + ©« + 0» : erreur de beaucoup inférieure à la somme de leurs valeurs numériques, ou ce qui revient an même, ù sept fois la moyenne arithmétique entre ces valeurs.

Si le second des milieux réfringents était remplacé successivement par le troisième, itr le quatrième, etc. . . . alors, oulicu de la formule (70) on obtiendrait les suivantes

se,

etc.

On aurait donc généralement dans riijnolliëse admise

se,- — se/ — sa,-- — se/" —

On le moyen d'atténuer l'influence probable des erreurs d' observai ton sur la détermination numérique de U valeur commune des rapports compris dans la formule (62) serait de substituer le nouveau rapport

ÏS,

©. ■+■ ©■' + ©." + ©>"' + etc. . . .

" S©,- ■+- S©/ -J- S©/' + S©/" •+- etc.

à tous les autres ; ce que l'on pronve par les raisons cidessus alléguées pour la substitution du rapport (61) aux rapports (58). Ou tire effectivement de la formule (63)

SB, 2S0i'

On obtiendrait de la i

: manière les diverses équation*

se.

,; se,..

qui peuvent être remplacées par la seule formule

©■©* 3 J©«__ ©• __®î__ ®* SQ i (67 ^ 5©7 ~ ï©7 ~~ ^©î ~ 2©, -©* -0» ~~ -©' - s ®f

Si Ton pouvait en réalité considérer comme égaux les rapports compris dans la formule (58), et attribuer les différences de leurs valeurs réduites en nombres aux erreurs d'observation, alors les valeurs de

©,, ©,, ©,, ©,, ©1, e , ©ï déterminées par les formules (66) mériteraient plus de confiance que Us valeurs observées. Mais il n'en est pas ainsi. Car nous avons tu qu'il n'était pas possible

île supposer n — 2 dans l'équation (42) et de la réduire ainsi à l'équation (66). Eu conséquence, les seconda membres des formules (66) doivent être considérés « représentant non les valeurs exactes, mais seulement des valeurs approchées de

e%, o,, © M ©,. e it <■>...

Désignons ces valeurs approchées par

•»,, 3,, *i, 3„, *,, fl 6 , ensorle qu'on ait

■fft.

atr'

-S©,-, eu.

et par

a valeur de la différence -

©,- 5,-, de sorte qu'on ait encore

(69) ©, = 5, + ^0, , 0, = 5 ] + ^0i. etc..

Ou tirera des équations (68)

(70) if, + 9» + • • ■ + 9i = S©,- = 0, + É et les formules (69), combinées entre elles par voie d'addition, donneront

(71) J9, + J0, + Je, + J9. + J©> -H ^©, + Je, = , ou S,i0 ( . = 0.

Cela posé, cherchons ce qui arriverait si, dans la formule (42) et autres semblables, ou pouvait sans erreur sensible supposer nz=3. Alors, cette formule, se réduisant à

et devant subsister indépendamment de la nature du milieu réfringent, entraînerait la suivante

(73) A',^0, + K,Z0, + K,se> X 0,

de laquelle OU tirerait, en la joignant aux troin premières des équations (68),

(74) A',#, + «,ft + A.tf, = 0.

Or, en substituant dans la formule (72) les valeurs de 0,, ; , 0, tirées des équations (69), et ayant égard à la formule (74), on obtiendrait la suivante

(75) K x J&, + K,je i + K % âe % = ,

qui déterminerait JQ, en fonction linéaire des deux quantités Je t , Je,. Des formules semblables délermi lieraient JQ,, JQt, Je,, je, en fonctions des mêmes quantités; et la substitution des valeurs de

Je*, Je* T Je*, *J&tr J^r

rf nmmfati (71) ft» shah gare s» actdea qamslmé» JAt, JAt nue é q nt ii en aovrefle Ami les rarffchsti seraient encore Mépemmmtn de h milieu réfringent On tarait donc, en Yerta de cette i r tnilfin minlk, et en par Je-' ce que devient Je,- quand en pusse da presser mSBtm su

•a, ce qui retient eu séné.

je, Je,

je, ~~ je.

On trouverait de le même manière

je.- — je; '

je, je.

je; ~ je;-

etc.

et finalement

je t je» __ Jej __^ je« je s je» je»

Supposons maintenant que Ton désigne par SO* Ton des polynômes fiiprii dsns le formule (46), et par 2* O i fan des polynômes compris dus la formule (61), en chaitissant les signes de manière que

représente, au moins pour Tune des substances, la somme des valeurs numériques de

jei, je 2 , Jej, Je«, Je», Jet, Je?*

et que

rsje t -

représente la somme des valeurt numériques de

s je ; , s' je/ , y je^ , eu

Kn opérant comme on F a fait, lorsque de l'équation (58) on a sucessk estent déduit les formates (59), (62), (64), (67), on déduirait de la formule (77) celles qui sofrent

(83) j 9ïï 8'JSj

je;~ &J9i'li

je t je: je t " je;"

, sje t s je- &jef, s'J9f'

je. ïJOi

Par suite on aurait

Si Ton pouvait en réalité considérer comme égaux les rapports compris dans la formule (77), et attribuer les différences de leurs valeurs réduites en nombres aux erreurs d'observation, alors les valeurs de

déterminées par les formules (82) mériteraient plus de confiance que les valeurs immédiatement déduites des expériences. Dans le cas contraire, les seconds membres des formules (82) pourraient être considérés comme représentant non les valeurs exactes, mais seulement des valeurs approchées de

J9t, J9 2 , J9j, J9 % , JSj, J9 Sy J9 7 .

Désignons ces valeurs approchées par

ensorte qu'on ait

? J9 t TJ9 t A TJ9y

<*> * = rs^7 s ^' * = xï3¥? Je <* -••••*= Jvjg;*^

et par

la valeur de la différence

JG f — 9/

de aorte qu'on ait encore

il*

On tirera des équations (83), en ayant égard à l'équation (71 ) ,

nu, ce qui revient au même .

(86) Sa/ = 0, cl de plu»

(87) S '»■ = &JQ,:

D'ailleurs les équations (84) sont toutes comprises dans la formule générale -

(88) Je t = ^ t ' + J i 9 t , et de cette dernière jointe aux formules (71), (86), (87) on conelurra

(89) SJ>Q t = 0, S^0,- = 0.

Cela posé, cherchons ce qui arriverait si dans la formule (42) et autres semblables on pouvait sans erreur sensible supposer n — 4, Alors cette formule, se réduisant à

et devant subsister quel que fût le milieu réfringent, entraînerait la suivante

de laquelle on tirerait, en la combinant avec les quatre premières des formules (68),

(92) JE,*. + K*9t + A,5, + K,#. = 0.

D'ailleurs, en substituant dans la formule (90) les valeurs de

tirées des équations (69), et ayant égard à la formule (92), on obtiendrait la Buîvantc

rt, celleci devant encore subsister indépendamment de la nature du milieu que l'on considère, on en conchnrait

(94) K.XJ&, + KJtJ& % -t- H*? J& 3 + K^'Je* = 0, puis, en ayant égard aux quatre premières des formules (83),

(95) K t & + K& + KtS,' + KM = 0.

Knfin, en substituant dans la formule (93) les valeur* de

(96) k ^e, + JM*e a + K>j*e 3 + K<d*e % = o.

Des formules semblables détermineraient ^0*, ^©«i J*Gi en fonctions linéaires des mêmes quantités; et la substitution des valeurs de

ainsi déterminées dans les équations (89) fournirait entre les seules quantités

deux équations nouvelles qui donneraient pour les rapports

J*G* J*Gi J 2 9 1 ' J Z G 9

deux valeurs indépendantes de la nature du milieu réfringent. On aurait donc en vertu de ces équations nouvelles, et en désignant par SQ{ ce que devient ^ 2 f -, quand

on passe du premier milieu au second , .

£9 L se± j*Qt jg;

ou, ce qui revient au même,

On trouverait plus généralement

puis, en désignant par

la somme des valeurs numériques de

au moins pour l'une des substances, par

la somme des valeurs numériques de

et raisonnant sur la formule (97) comme sur la formule (77), on obtiendrait non plus l'équation (81) mais la suivante

de laquelle ou tirerait

(99) so, = „„ „ ..^. sve,

Si l'on peut en réalité considérer comme égaux les rapporta compris dans la formule (77), et attribuer les différences de leurs valeurs réduites en nombres aux erreurs d'observation, alors les valeurs de

déterminées par les formules (99) mériteront plus de confiance que les valeurs immédiatement déduites des expériences.

On pnurrait pousser plus loin ces calculs ; et, s'il arrivait que pour rendre sensiblement exactes la formule (42) et autres semblables on dut y supposer M s: S , alors, en faisant pour abréger

TJ'B, •