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Comme on devait s'y attendre, les nombres obtenus dans le 12 e tableau vérifient rigoureusement les deux conditions

S2JQ; = SSJ0 4 , SSJ0i = F&'JGj,

et, avec une exactitude suffisante, celles que comprennent les formules

2J0; = , 2JQ,- = 0, S'SJOj = 2S'JQ 4 = 0, Sft = , 8'ft = 1 ;

ce qui prouve la justesse de nos calculs.

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Dans le 13* tableau , les valeurs de

sont exprimées en millionièmes, colonne verticale les valeurs de

Ainsi, par exemple, de ce que dans la première

JQ.i J>G t

se trouvent représentées par les quantités

12451, 12272, —179 on doit en conclure que l'on a, pour l'eau [1 er * Série]

*,' = 0,012451 , JQ % ~ 0,012272 , ^0, s — 0,000179 , ou, ce qui revient au même,

1000000 *,' = 12451 , 1000000 JQ t = 12272 , 1000000 J 1 0, = — 179.

D'ailleurs, comme, dans le même tableau, plusieurs des valeurs de J : Q; , particulièrement celles qui sont relatives à l'huile de térébénthiuc, ainsi qu' à la première et à la quatrième espèce de (tintglass, sont, abstraction faite des signes, notablement supérieures aux variations de (■)■; renfermées dans les 4* et 7* lignes horizontales du 7* tableau, on doit en conclurrc qu'on ne peut, sans erreur sensible, réduire Je second membre de la formule (1) ou (9) à ses deux premiers termes, et la formule (42) a la formule (72).

Concevons maintenant que l'on désigne par S'-J 1 ©;

la somme des valeurs de d 2 0; relatives aux divers rayons, mais seulement à l'une des substances, par exemple, à la solution de potasse que nous choisirons ici de préférence , attendu que cette substance est celle pour laquelle la plus petite des valeurs numériques de A'&f est la plus grande possible, et que généralement on doit moins ersnidre de voir un changement de signe produit par les erreurs d'observation dans la valeur de ./(■',-, lorsque cette valeur s'éloigne davantage de «éro. On aura

(130) r#H — — J>&t — S02 + ^'0, + ^0. + ^0. + SO* — ^*©t;

et, en désignant par

la somme des valeurs numériques de S"^©,- relatives aux diverses substances, on déterminera sanB peine, à l'aide deB formules (114) et (113), les valeurs de

y,, y a , y,; J," , #/', di" ', ^0, , ^0,, J 1 ®,

telles que les présentent les deux tableaux que nous allons tracer.

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Dans le 15 e tableau, les râleurs de

sont exprimées en millionièmes. Ainsi, par exemple, de ce que, dans la dernière colomne verticale, les valeurs de

&" et 9 t " sont représentées par les quantités

— 121, 63 on doit en conclurre que l'on a pour l'eau [1™ Série]

$," = — 0,000121, &," = 0,000063 ou, ce qui revient au même,

Parmi les valeurs de J'O,- que fournit le 15' tableau, une seule 0,000171, relative au troisième ravon et à la première espèce de flintglass, surpasse le nombre 0,000159 qui représente la plus grande des valeurs numériques île ©,- comprises dans la 7" ligne horizontale du 7" tableau, et ne la surpasse pas assçx notablement pour qu'on ne puisse à la rîgneur l'attribuer elle même aux erreurs d'observation. Nous pourrions donc nous regarder comme suffisamment autorisés à ne pas pousser plus loin les calculs, et admettre qu'on peut, sans erreur sensible, réduire le second membre de la formule (1) ou (9) à ses trois premiers termes, etla formule (42) a ta formule (94). Cependant un examen attentif des valeurs de J 1 ®; données par le 15 e tableau nous conduit à supposer que dans chacune de ces valeurs il existe une partie indépendante des erreurs d'observation, ordinairement plus grande que ces erreurs, et qu'il est bon de ne pas négliger. Effectivement, si celte supposition est conforme à la réalité, la plupart des différences

^"@,; -**©,,. .. J'Q 7 devront conserver les mêmes signes que leurs valeurs approchées, représentées par

et, comme ces dernières quantités, en vertu des formules (114), conservent toutes les mêmes signes, ou toutes à la fois changent de signes, lorsqu'on passe d'une substance ù une autre, les diifércnces

devront, sauf quelques exceptions peu nombreuses, remplir la même condition. Or a l'Inspection du 15' tableau, on reconnaît sans peine 1" que cette condition est rigoureusement remplie, lorsqu'on passe de la 4 e espèce de fllntglass à la 3 e espèce (1" Série) ou à l'huile de térébenthine; 2° que, si pour chacune de ces trois substances l'on nomme S" /'&; la somme des valeurs numériques de J'(->; relatives

(iii)

aux divers rayons, et prises en signes contraires, c'est à dire, en d'autres termes, si

Ton pose

(131) S"J 3 f . = — A*% + J'0 a + J 3 0, — J*Q 4 — J*Q t + J»0 6 + zP0 T ,

la condition cidessas énoncée sera généralement satisfaite dans le passage d'une substance à une autre, sauf de légères exceptions relatives à un très petit nombre de rayons, et à des valeurs de d*Q{ ordinairement très rapprochées de zéro. Si d'ailleurs on désigne par

la somme des valeurs numériques de J 3 Q{ relatives aux diverses substances, on déterminera aisément, à l'aide des formules (120), (121) et (113), les valeurs de

telles que les présentent les deux tableaux que nous allons tracer.

Sïl'S8i'ïïïl ?ï5ïBs|lli

Gomme on devait s'y attendre, les nombres compris dans le 16* tableau vérifient rigoureusement les deux conditions

S f,, SJ 3 G { = 2S'"J*Qi , ST^0 t . = 2*"arj»Bi

et avec une exactitude suffisante celles qu'expriment les formules

8J*Q { =0, 2J'0i=O, &'2J*0 i = $&"J*e i , Sdi = 0, S^=0, S"^=0, &'"â { =t;

ce qui prouve la justesse de nos calculs.

à ; si

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( »tt )

Dans le 17 e tableau, les valeurs de

sont exprimées en millionièmes. Ainsi, pur exemple, tic ce que, dans la onzième colonne verticale, la valeur de A*Q t se trouve représentée par — 79, on doit conduire que l'on a pour la 3" espèce de fiîntglass [2' Série] j*Q t — — 0,000070.

D'après le 17o tableau, la plus grande des valeurs numériques de J'©-, représentée par le nombre

n'atteint même pas la moitié du nombre

qui représente la plus grande des valeurs numériques des variations de 0- comprises dans la 7 e ligne horizontale du 7* tableau. Donc les diverses valeurs de

sont comparables aux erreurs d'observation, d'oii il résulte que, dans l'application de nos formules aux expériences de Frauenbofer, on peut, sans erreur sensible, réduire le second membre de l'équation ()) ou (9) à ses quatre premiers termes, et la formule (42) à la formule (106). 11 y a plus, d'après ce qui a été dit cidessus [page 87], les valeurs de d'O; immédiatement déduites de l'expérience mériteront une confiance moindre que les valeurs de J'G; tirées des équations (109) et représentées par

on, en d'autres termes, celles que l'on tire des formules (111), en y remplaçant généralement J'Oj par zéro. Donc aussi les valeurs de 6,- déduites de l'expérience et fournies par le 6* tableau mériteront moins de confiance que les valeurs corrigées de 0; qu'on tirerait des équations (113) eu y remplaçant généralement J*&i par zéro. D'ailleurs, comme, en vertu des formules (113), on aura

(132) t - = d 4 + à/ + &i" + &f + -à*®iy

les valeurs corrigées de 0,-, ou celles qu'on obtiendra, en remplaçant, dans le second membre de l'équation (132), J*Qi par zéro, seront évidemment les diverses valeurs du polvnome

Cela posé, on tirera sans peine des 11 9 , 13% 15* et 17 # .tableaux le tableau suivant qui offre non seulement les valeurs de © t - immédiatement déduites de l'expérience,

mais aussi les valeurs corrigées de 0; ou, en d'antres termes, les valeurs de et montre comment ces dernières valeurs se trouvent formées par l'addition des quantités

Dan* le 18 e tableau, ainsi qu'on devait a v j attendre, les valeur* numériques des quatre quantité*

forment généralement une suite décroissante. Les seules substances pour lesquelles cette condition ne soit pas toujours remplie sont l'huile de térébenthine, la première espèce de flintglass, et la troisième espèce de flintglass (l re série). Encore, pour les substances dont il s'agit, les exceptions sont elles seulement relatives à la valeur numérique de ${'' que devient supérieure, pour certains rayons, à la valeur numérique de &{'.

Des calculs cidessus développés nous avons déduit cette conclusion importante que les différences du 4* ordre, représentées par //*©/, et déterminées par le moyen

des formules (113) jointes aux formules (121), étaient, pour les diverses substances, des quantités comparables aux erreurs d'observation. Cette conclusion se trouve confirmée par la détermination des valeurs qu'on obtient pour ^*0 t -, lorsque l'air est

substitué au milieu réfringent. Alors en effet, chaque rayon cessant d'être réfracté, on a généralement

et par suite les valeurs de 4*9;, déduites des formules (113), (121), sont celle* que présente le tableau suivant.

Comme on devait s'y attendre, les nombres compris dans le 19* tableau vérifient •Teo une exactitude suintante les conditions exprimées par les formules

8J9 S = , SJ'Qf = , SJ 1 9 i = , S^9; =

sont respectivement

S' J9 t = JG l + J0 t + J0 i + J9 t — J9 t — J0 ) , — J& T , S" J*Q{ — — J'Ot — J*0, -f- #9* + J'Q t + J'9 t + J'Qt — J>9, \ 8,'"J'Ql = — J*9 t + J>9, -J- J*0 t — J*9 t — J 5 ©, + J*9 t + J*9»

1 Dans le même tableau, la plus grande des valeurs numériques de J*Q<, reprt sentee par le nombre 0,000122 est inféreure au nombre 0,000159 qui représente la plus grande des valeurs numériques des variations de 0; comprises dans la 7* ligne horizontale du 7* tableau, et par conséquent elle reste comparable aux erreurs d'observation.

H est bon d'observer que les valeurs de

fournies par te 18* tableau, c'est à dire, en d'autres termes les valcnrs de ©,- calculées pour les substances aux quelles se rapportent les expériences de Frauenhofer, et corrigées d'après les principes cidessus exposés, représentent les diverses valeurs d'nnc même fonction linéaire des seules quantités

que désormais nous désignerons, pour ubréger, par

If, U\ 17", U m .

Effectivement, si l'on pose

i tima successivement des formules (113) et (121)

(123) puh

J*e { = J9 4 — */ = 0,- — Va t — (V — V8'ai)fii, STJ^i = S" {0, — Ta,- — (V — ffS'a*)/?,-} = 8"0 f — tf S'a,- ^V'—V S'a,) S"ft

— 17'— £TS"o* — (i/' — v&aàsrpi,

puis encore

a/* = |r/" - u&"oi - (ir - i7S'«,.) s w /? f -j » ,

J>Q £ = J'G i ^ i "=0 r -U«^U'-U&\)p i —\U-'—U8"a r -(Zr—V8'aî)S''fi i \y i

— 17"'— r/S'a^ïT— l7S'c,0S'"/î,— {l/"— r/S"a f — (V-US<t i )S"(i i \ S"V t - ,

et enfin *,-"'={I/"'— US^ar-iV— US'a i yS'"p r -[U"— U8T ar - {W— l7S'a f -)S"/î t 0S"V f -j<f,..

Or, en substituant lea valeurs précédentes de

dans le premier membre de Féqnatlon (133), on tirera de cette équation

(136) 0,— J*G i =Ua i +iU'^ US'adfr+iU"— US"a { — (V— tfS'a f )S"/î,.] y* + \U~ — US" ai— ( U— U8'tti) S w fr - {V— V8"tti — (17'— r/S'o,-) S"/?,-] S'"y,.| o>

Telle est là formule qui sert à déterminer la valeur corrigée de t *, ou, ce qui revient au même, la valeur de 0; — //*0;, en fonction linéaire de