MEMOIRE
Considérations générales,
"ans un mémoire précèdent, nous avons fait voir comment les lois de propagation et de polarisation de lit lumière pouvaient se déduire des équations aux différences partielles qui représentent le mouvement d'un système de molécules sollieitées par des Forces d'attraction ou de répulsion mutuelle [voyez le cinquième volume des Exercices de mathématiques]. Toutefois', comme les formules (11) de la page 131 du quatrième volume des Exercices, auxquelles nous avons eu recours, ne sont qu'approximatives, les lois que nous avons établies ne sont pas rigoureusement exactes. Pour s'en convaincre, U suffît d'observer que, dans l'énoncé de ces lois, on ne trouve rîcn qui soit relatif à la nature de 1a couleur. Or la dispersion des couleurs par le prisme prouve que, dans les corps transparents, la vitesse de propagation de la lumière n'est pas la même pour les différentes couleurs. D'ailleurs les physiciens qui ont adopté l'hypothèse dci ondulations lumineuses, supposent avec raison que la nature de chaque couleur est déterminée par la durée plus ou moins grande des oscillations des molécules de l'éthcr, de même que la nature du son produit dans un corps solide ou fluide est déterminée par la durée plus ou moins grande des oscillations des molécules de ce corps. Il est donc naturel d'admettre qu'il existe une relation entre la vitesse de propagation de la lumière et la durée des vibrations lumineuses. Or cette relation ne saurait se déduire des équations aux différences partielles inscrites sou9len.°(ll), à la page 131 du 4." volume des Exercices. Mais it importe de remarquer que ces équations se tirent ellesmêmes de formules plus générales que j'ai données dans le troisième volume [pages 190 et suivantes]. Frappe de cette idée, M. Corîolis me conseilla de rechercher si la considération des termes que j'avais négligés en passant des unes aux autres ne fournirait pas le moyen d'expliquer la dispersion des couleurs. En suivant ce conseil, je suis heureusement parvenu à des formules à l'aide desquelles on peut non-seulement assigner la cause du phénomène dont il s'agît, mais encore en découvrir les lois qui, maljré les nombreux et importants travaux des physiciens sur cette matière, étaient restées inconnues jusqu'à ce jour.
Pour que l'on puisse saisir plus facilement les principes sur lesquels repose l'analyse dont je vais faire usage, je reproduirai d'abord en peu de mots les équations différentiel- ■
les qui déterminent te mouvement d'un système de molécules sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle.
§. 1." Equations différentielles du mouvement d'an système de molécules sollict'téet par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle.
Considérons un système de molécules nu points matériels distribués arbitrairement dans une portion de l'espace et sollicitas au mouvement par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle. Soient m la masse d'une de ces molécules, m, m', m", .. celles des autres, et supposons que, dans un étal d'équilibre du système, jr, y, z désignent les coordonnées de la molécule m rapportées à trois axes rectangulaires, .r + i/.r, j+^/j/, z-\-4z les coordonnées d'une autre molécule m, r la distance des molécules m et m,
o, fi, y les angles formés par le rayon vecteur r avec les demi-axes des coordonnées positives. Admettons d'ailleurs que l'attraction ou la répulsion mutuelle des deux masses m et m, étant proportionnelle à ces masses et a une fonction de la distance ♦-, soit représentée, au signe près, par (1-) tn«f(»
f(f) désignant une quantùc positive lorsque les masses m, m s'attirent, et négative lorsqu'elles se repoussent. La résultante des attractions ou répulsions exercées sur la molécule m par les molécules tn, m',..., aura pour projections algébriques sur les axes coordonnés
(2) tnS[mcosttf{»] , mS[mcos/Sf(j-)] . tnS>cosyf(»-)]
la lettre S indiquant une somme de termes semblables, mais relatifs aux diverses molécules «r, m', etc....; et, puisque le système CBt, par hypothèse, en équilibre, on aura nécessairement
(3) Sj>cos«r(>)] = , S[»nco9.8f(r)] = , Sfmcosju»] =3 0.
Ajoutons que les quantités Ax % Jtj, Jz pourront être exprimées en fonction de r et des angles a, fi, y par les fm mules
(4) Ja-=rcoso, Jy =:rcoS/3 , Jz=rco»y.
Supposons mainlcnuut que, le système venant à se mouvoir, les molécules m,
ni , ... , se déplacent dans l'espace, mais de manière que la distance de deux molécules m et m varie dans on rapport peu différent de l'unité. Soient, an bout du temps /,
des fonctions de x> y 9 z 9 t qui représentent les déplacements très-petits de la molécule m, mesurés parallèlement aux axes coordonnés > et
la distance des deux molécules m , m. La quantité très-petite 6 exprimera la dilatation linéaire mesurée suivant le rayon vecteur r ; et, comme les coordonnées respectives des molécules m, m deviendront
les projections algébriques de la distance r(l + e) seront évidemment
Jx+J£i dy+dl* 4*+4Çi
ou, ce qui revient au même,
rcosa+JÇi rcosfi+Jrj^ rco$y+J£.
On trouvera par suite
(5) r 2 (i+a) a =(rc08a^-^|) , +(rco8/î+^J ? )»+(rcosy+^0^ et Ton en conclura
(6) i + «= y J i +^(co8a^+co8^+cosy^O+^(^i a +^ijM-^ a )
D'ailleurs, au bout du temps f, le rayon vecteur mené de la molécule m à la molécule m formera, avec les demi-axes des coordonnées positive*, des angles dont les cosinus seront représentés , non plus par
,^v àx . Jy à*
(/) cos «=:—-, cos£=— — , cosy=— ,
mais par
,-Cl-H) ■
tëu conséquence, les projections algébriques de la force motrice résultante des attractions ou répulsions exercées par les molécules tn , tn, ... sur la molécule m, deviendront respectivement égales aux troia produits
•?j-?rr^-)Wi'
tandis que les coefficients de m dans ces produits ,
Jj\ 1KH-«)}|
^(.^^iM^ij, .ji^^agBaij
représenteront les projections algéliriqucs de la force accélératrice qui sollicitera la molécule m, et qui sera due aux acliong des molécules tn, m', etc.. D'autre part, si l'on prend x, y, z, t pour variables indépendantes, les projections algébriques de la force accélératrice capable de produire le mouvemeut observé de la molécule tn , pourront être représentées par les expressions
dt*
ilt 1
puisque £, 77, Ç, désignent les déplacements très-petits de la molécule m mesurés parallèlement aux axes de .t*, y, «. Donc, si le mouvement est uniquement dû aui actions moléculaires , on aura
<MM-
Concevons à présent que, les déplacements £>*?>£ et leurs différentes finies étant considérées comme des quantités infiniment petites du premier ordre, on néglige, dans les seconds membres des formules (11)) les infiniment petits des ordres supérieurs au premier. Alors, comme on aura, en vertu de l'équation (6),
(12) «=— (cosa*f£+cos/?^ij+co8y^£) f
on ne devra conserver dans le calcul que la première puissance de s; et, en faisant, pour Abréger,
(13) /(r) = |.f'O0-f(r), on trouvera
Par suite on tirera des formules (11), réunies aux équations (3),
^-= S m -^T-v/l! +S[«./(r)eco 8tt ],
~ =:sL-^^ri+SIm/(r)€Co«y], ou, ce qui revient au même
Telles sont les équations propres à représenter le mouvement d'un système de molécules qui, étant sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle, s'écartent très-peu des positions qu'elles occupaient dans un état d'équilibre du système.
§. 2. Intégration des équations établies dans Je paragraphe précédent,
Qnellcs que soient les valeurs générales de ; , 17, £ propres à vérifier les équations (10) du paragraphe précédent, on pourra toujours les supposer développées eo séries d'exponentielle» dont les coefficient» soient des fonctions linéaires des variables indépendantes JC,y, z. En d'autres termes, on pourra représenter J, r/, £ par des «pressions de la forme
», «, u> désignant des constantes arbitraires, mais réelles, a, b, c des fonctions réelles ou imaginaires de x , y , -, / , convenablement choisies, et le signe i' indiquant une somme de termes semblables les uns aux autres, mais correspondants k divers systèmes de valeurs des constantes arbitraires u , v, w. Cela posé, soient tr, f, f les parties réelles des fonctions a, b, t, et — jj, — h,, — î les coefficients de V~ ^ans cea mêmes fonctions. Les formules (1) deviendront
Comme on aura d'ailleurs
€ {ux+vy+wz)\- L -. cos ( U x+ty + wz) + VTsiu(u.r + ry+wz) ,
on tirera des équations (2 ), en développant les produits renfermés sous le signe 2', et supprimant les parties imaginaires dans les valeurs de ; , r t , ." qui doivent rester réelles,
i ^=T[6cos(«x+i/ - y+w^)-r-9sin(a^ , -f-i) i y-r-M'i)],
(4) l »j — ^ [ ( cos ( «.r -f- uj + wz) + 1) s i ii (kj; -f- vtf + toz')] , I Çr=^[fco8(«jr + yy + M'^) + isin(«a , + t;y- r -wî-)].
Soient maintenant
(5) ry+^+„^=*,
Les constantes a> b, c vérifieront la formule
et représenteront les cosinus des angles formés par une certaine droite OP avec les demi-axes des coordonnées positives. De plus, comme on tirera des équations (6)
(8) w = ia, tf = i£, u>=ir, et par suite
(•) •Mf+t^+tiu;=Jfc(<Mr+Jy+c*),
il est clair qu'en posant , pour abréger ,
(10) v=zax+b$ + cz f
on réduira les équations (4) aux suivantes
£ = S (tcosi* + gsini*) , (H) ^ ij=2(fcosJti7+^8inJb),
Ç=«2f (fcosfc-t-tsinlp).
Alors v représentera la distance du point (x, y, z) à un plan O C0" mené par l'origine et perpendiculaire au demi-axe OP, cette distance étant prise avec le signe •J- ou avec le signe — , suivant qu'elle se mesurera dans le même sens que le demiaxe -OP, ou en sens inverse, à partir du plan OO O' dont l'équation sera,
(12) ajc+by + czzz:0»
II reste à faire voir comment ou pourra trouver les valeurs des coefficients fc, e , f , g* 1), i exprimées en fonctions de la variable t et des constantes arbitraires ft, «, b , c. On y parviendra sans peine, à l'aide des considérations suivantes*
Considérons d'abord le cas particulier où chacune des inconnues £, 17, £ serait représentée par un seul des termes compris sous le signe S dans les formules (H)» c'est-à-dire, le cas où l'on aurait
(13) ^ 2=fC08i*+l)8iiiJfrtf 5
Ç = f cosfo + t sinkv.
Alors, en indiquant par la caractéristique J l'accroissement que reçoit une fonction de x> y, z, quand on fait croître x de Jx^ y de Jy % z de Jz % et par la lettre â l'angle que forme le rayon r avec le demi-axe OP, on trouvera
(14) cos£=aco8a+(co8/?-|«cco8y; % puis on tirera 1.° de l'équation (10), jointe aux formules (4) du §. 1.",
(15) Jv=zaJx+bJy+cJv=Zrcoidi
et par suite
J cosïp = cos (ht + iJv) — C08(ft*)
=3 — [1 — C08(£rc08<7)]c08£» — 8in(£rco8<7).sinJhr ,
J sin ho = sin (J&*+ Te Jv) — sin (ko)
=z — [1 — cos (krcosâ )]sinl* •+• sin (£rcos<?).cosJh? , 2.° de la première des équations (13)
(17) J'i = — (fccosft* + g sin ko) [1 — cos (jfcrcosd)] -|- (9 cos£* — & sin£*) 8Mi(Jb*cos â).
Donc, si. l'on prend pour variables indépendantes v et f,. au lieu de .r, y, *, /, on aura simplement
*x, «. sin (krcosô) d$
(18) y | = - [1 - €08 (fc-COS*)] g +— ^ ' ^
on, ce qui revient au même,
^ ,. . „/Jtrcos<î\ . BinCkrcoBÔ) d^ 4
//£ = — 2 £ sin 2 f — ^ — 1 + v - -r- : on trouvera de même
do
kreosâ \ 8in(ircos(î) «^77
r4Q x J Â . / ffreoso \ sinjffrcosoj aq
^ a - . . / fcrcoscf \ . 8in(Jtrcostf ) «JÇ
En substituant leg valeur», précédentes de J% , Jr^ J± dans les équations (16) du § !.•% et faiimt, pour abréger,
<*> J 9tt=8 |M±^(±2ïî)j + 8JM^w /!d ..(i^l)j
n \2mf(r\ , ,/trcoBâ\) . a l2mf(r) , ,,/krcouâ\) 36 s S |— ^sla't -y- ^ + S -^a cot^to^— g- ) j ;
* = S Ï&P- c../?co8y.ia* ( ^ ) J , (21) | 2. = s|i2Mc My co««in'(±^!£)|v
*= SJ ^^ coB«co»/g 8 ^(±^ ) J » .
f = si r^ ff) 8in(*»-coBrf)| +S JM!l C o 8 '«8in(trco8d)J ,
(22) J ^' = S J!!î!!^8Kib-C08(f)l+sjj2^C08 i /Î8fn(^08d)î'
9t' = SP~ 8in(fc-co»d)j+S j Mîl C 08?y8in(*r«08<*) ,
4P = S }*^ r ^ cog/Jcosygin^cosd) J ,
(23) J 2,' = S ] cogyco808iii(Jb , c«8<>) J «
jr' = S ) . -W' cosacos/JsinfJycosd) 1er
on en«conclura
g = -(. J >; + «, + «)+(aiJ+w^ + î^),
Les équations (24) se simplifient lorsque, dans l'étal d'équilibre du syBlème proposé, les masses des molécules m, m', m", etc. . . . , sont tien \ a deux égales entre elles, et distribuées symétriquement de part et d'autre d'une molécule quelconque m sur des droites menées par le point avec lequel cette molécule coïncide. .Eu eiTet, comme la valeur de cos d déterminée par l'équation (14), et par suite les termes dont se composent les sommes indiquées par le signe S dans chacune des formules (22), (23), changent de signe en même temps que les cosinus des trois angles a, : i, y, il est clair que ce* termes, comparés deux à deux, seront, dans le cas dont il s'agit, équivalents au signe près, mais affectés de signes contraires. Donc alors les coefficients désignés par jÇ,', Oïl\ DS', T', 2,', 'X s'évanouiront, et les équations (24) se réduiront k
