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Les équations (25) fournissent le moyen de déterminer, au bout du temps I, les trois fonctions £, tj, Ç, ou, ce qui revient au même, les six fonctions S, f, f, g, h, i, lorsqu'on connaît les valeurs initiales de ces mêmes fonctions et de leurs dérivées prises par rapport à t. En effet représentons par
les valeurs initiales de
la i ty i
les Tileurs initiales de
?», &i> *»> ^M 0>> (k> fit
rf| «fy d£ «** «**• ££ ^£ £î>. .£*.
"3?* *"' "*** dt * <fc' «7* * A* ** *' On aura, en vertu des formules (13),
(**) ^ rj Q = focosjt* -f- l^sinJt* ,
c o = focosi* + t sin& ;
| a = ^cosfo + gisinjt* ,
(27) . { Ci — faCOsJb' -|- {jasinit* ,
r t =: f a cosir/ -|- t t sinJt* ;
et Ton pourra déduire des équations (25) les valeurs de §, 17, t, relatives à un instant quelconque, en suivant la méthode que nous allons indiquer.
Soient A, tft, 6 les cosinus des angles que forme, avec les demi-axes des jt y, z positives, une droite OA menée par l'origine, et prolongée dans un certain sens. On aura
(28) «i a + tô a +C a = i;
et la droite OA sera représentée par la formule
JL — y, ji
A. ift O
Soit encore
(30) 8 = cA»! + tài7 + £Ç.
La valeur de a déterminée par la formule (30), représentera le déplacement de la molécule m mesuré parallèlement à la droite OA, et sera positive si ce déplacement se compte dans le même sens que la direction OA, mais négative dans le cas contraire. D'ailleurs, si l'on combine par voie d'addition les formules (25) après avoir
multiplié les deux membres «le la première par A, troisième par C, et si l'on choisit A, il., G, ou de manière que les trois fractions
plutôt
seconde le rapport
par \\ de la
S.J.+'Ma+RS
deviennent égales entre elles, on trouvera, en désignant par a 1 , la valeur commune de ces trois fractions
Or il existe trois valeurs (le
,,,, £A+fl t * + 2.C
propres à vérifier la formule
•,...,, + :■, ., tS + TG __ a.A+giA + ate ^ ^ a
et par conséquent les trois équations
(34) 1 ift A-H3K— a')W + 5*C = o,
| a-A+^^+Cat— O c = B '
desquelles on tire
(35) (£— ^)( i >ll-^')(9t-«')$'(^»') &*(«*— .')— 'A'(3t-s')4-2<ia*Jl=0,
De plus à ces trois valeurs de s* correspondent trois systèmes de valeurs pour les
rapports -— -, — r— , et par conséquent trois droites OA\ OA'\ OA'" avec lesquelles
on peut faire coïncider successivement la droite 0.1. Enfin II résulte de la forme des équations (34) que ces trois droites se confondent avec les trois axes de la surface du second degré représentée par l'équation
£.x* + Wly ;! + 3lz t + 2<£yz + 1lïLzï + 2<Jiy.3 = i,
x, y, s désignant de nouvelles coordonnées relatives à de nouveaux axes rectangulaires qui seraient menées par le point parallèlement aux axes des .r, y, x; el l'on peut ajouter que, dans le cas où cette surface est un ellipsoïde, les trois valeurs de a' «ont précisément les carrés des trois demi -aies. Doue, à l'aide de la formule
(32), on pourra déterminer, an bont dn temps *, les trois déplacements de la taolécule . m mesurés parallèment aux trois axes de l'ellipsoïde, et par suite à trois droite» perpendiculaires entre elles. Si l'on désigne ces trois déplacements par e\ a\ a"\ et les valeurs correspondantes de X, 1A, G par
ji\ *\ e'j x\ **, e" 5 «*,"', * w , e'" ? .
on tirer» de la formule (30)
8"'=A' w î+ift'"i î +e' ; 'r}
et, comme on aura d'ailleurs
LA,'*+in>*+è' i =i % cH,"*+ifi"«+e'f*=i; «V" , .Mk"".f- ©'*=*,
(A'U'"-H&"t&'"+e"e'"=ao, rA'+fi¥+e w e'd) ) «ft.x'-HftW+e'e"=o
puisque les trois droites Ouf, OA\ QA" se coupent à angles droits, on conclura des formules (37)
| = «fcV + X'a" + X"o w ,
Quant aux valeurs générales de «\ tf", «'" , on les déduira de l'équation (32) en opérant comme il suit.
ds Soient & , «i les valeurs initiales de a et de — - . On aura
(40) «0 = a >lo + ^0 + er >
ou, ce qui revient au même ,
(42) 8 = (>o^ + «o^+f u e)«°**« > + (8o<«'+^'>ft + »oe)8 i n*«'»
(43) 8 i =(M. + fiiû+fâ©)cos*«'+(a 4 Jl,-H»î&+iie)8in*»}
et Tm tire et t f|—Jtisj («)
(44) e=a^e»«<+*-j-=«be«iJ«+«by.e«i««* ï
ou, ea d'antre* temes,
Cela posé, faisons pour abréger,
(46) fceosfc-H**»*»^^), f c M ir-H «iiii*= ï (r), f a toab-Ho«irt'=?(*) »
(47) >.cotK-t-î.rinir=<Z)(r), r,cotk-H 1 riiil»=X(»), f,codh-H.tddhr= 1 P(r),
et
(48) £ = fi.
Les fonction*
(49) ç>(»), *(*), VW; <K")i *(»)» *(»)
représenteront les Taleur» Initiales de
dt d* *;
?» f' *ï A » dt* A»
et l'on tirera de l'éqaation (44), réunie aux formules (42), (43),
. /.«j . QM-fl/M-fifr-oQ » ^.xM -fiiH-x^ao . ^ yfr+fiQ+yfr-fioL ,
•*v .r â + * * He 2 p
Concevons maintenant que, let trott valeurs de a* propres à vérifier l'équation (35) étant positives, les râleurs correspondantes et positives de s soient désignées par s , s" , *'" , et les valeurs correspondantes de 42 par 42' , 42" , 42"'. La formule (50) donnera
( 15) (M) s —A 2 '. . .' — rm j— 1-e ~ 1 —
■Mr+fl" , /i+ l /'-fr-Ji'"r> .
En substituant tes valeurs précédentes de «', a", a" dans les équations (39), on obtiendra pour i, -»;, -." des fonctions de e- et de * qui auront la double propriété de satisfaire, an bout d'un temps quelconque /, aux équations (,25), et de lérifier, pour une valeur nulle de I, les conditions
(54) g = *W, -i=ïW. &=*<«)ï
*(,), jfaXM,
Les inconnues £; r, Ç et s", a", e" ou les déplacements de U mnléciilc m mesurés parallèlement aux axes des .r, y, ' z et à ceux de l'ellipsoïde (36), étant déterminées comme on vient de le dire, on en déduira sans peine la lîlesse o de la molécule m au bout d'un temps quelconque t. Bu effet, si l'on projette cette vitesse 1 . ° sur les axes des or, y, a, 2 . " sur les aves de l'ellipsoïde (36), on trouvera pour projections algébriques dans le premier cas
dana le second caa
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