IV. TABLEAU

Rapports entre les durées des vibrations de Vcther et h

d'une seconde sexagésimale.

Limites des couleurs

principales.

Couleurs principales.

violet extrême

violet

violet indigo

indigo

indigo bleu

bleu

bien vert

vert

(198) Suite du 4* tsblran.

Limite* «Va tenir prîsripâlci-

GmUwi r '■«

Tert j«M

jmuse «raigé

ronge ru/iHt

El dJiisant l'unité pu les rapports inscrit* dam le quatrième tableau, et multipliant les quoiieaU obtenus par mille, on parviendra ans nombres qui eiprtmeat i de millions de millions de vibrations suceseme* s'eiécuent pour ane couleur d dans un seconde de temps. Ces nombre» sont ceux que présente le tableau snJvwt.

iVoworc j 7« cjrpriment combien Je mùllioms Je millions Je rihrwtiona «asecrastr* j* effectuent em ttme seconde tejragéûmale.

Limite* df» coule

principale*.

Caulrors jwiKipsJ

violet .sir cm?

■ iolel indigo

»WîB«

indigo bien

Ueu

bleu vert

vert

jaune orange

, orange ronge

range

rouge eilremc

ISi

Ainsi, dans le rayon rouge du spectre solaire, les molécules de IVther environ cinqcent millions de millions de vibrations par seconde. A ce nombre prstdlgfeut il faut ajouter presque sa moitié pour obtenir le nombre des vibrations par seconde dan* le rajou violet. Au reste on pent déterminer approximativement le nombre •les vibrations que présentent les rayons placés vers le milieu du spectre toUtre. en opérant comme il suit.

Ko une seconde teiaeéaîmale, les vibrations des molécules d' éther renfermées dams nue «««le plane, se transmettent itu nwlécitle» que renferment d'tutres ondes c«m-

prises entre des plans parallèles jusqu'à une distance d' environ 80 mille lieue», «le lelle sorte que les vibrations connu enceut dans la deuxième onde, quand elles s'achèvent dans la première, qu'elles commencent dans la troisième quand elles s'achèvent dans la deuxième, et ainsi de suite. Or les diverses ondes étant continues le unes aux antres, il suit de ce qu'on vient de dire que, pour obtenir la durci: de la vibration des molécules éthérées dans une seule onde il faudra diviser une seconde sexagésimale en autant de parties qu'il y « d'épaisseurs d'ondes dans une distance de 80 mille lieues. D'ailleurs chacune des lieues que l'on considère ici est de 2000 toises ou environ 4000 mètres, chaque mètre se compose de 1000 millimèlres, et il résulte du 3 e tableau que l'épaisseur d'une onde, pour les rayons placés vers I" milieu du spectre, est d'environ un demi- millième de millimètre, et qu'eu conséquence chaque millimètre renferme environ 2000 épaisseurs semblables. Donc le nombre des vibrations exécutées par les molécules délher dans une seule onde plane et en une seconde de temps, pour les rayons situés vers le milieu du spectre, sera sensiblement égal su produit des facteurs

80000, 4000 , 1000 et 2000 c' est A dire à

640000000000000, ou a 640 millions de millions. Il résulte du 2' et du 5* tableau que ce dernier nombre représente effectivement le nombre des vibrations par seconde dans le rayon F de Frauenhofer qui est un rayon bleu situé dans le spectre solaire vers la limite du bleu et du vert.

Les nombres compris dans le 5* tableau diffèrent de ceux que l'on trouve dans le traité ■le H. tlerschel sur la lumière. En recherchant la cause de cette différence, j'ai reconnu quelle devait être principalement attribuée à ce que les épaisseurs d'onde ou longueur* d'ondulation adoptées par cet auteur, et relatives aux diverses couleurs ou à leurs limites, dïHèrenl assez notablement des valeurs de 7 inscrites dans le 3* tableau cl données par F'rexncl.

En terminant ce paragraphe nous ferons observer que, dans les milieux qui ne dispersent pas les conteurs, les valeurs de k relatives a deux rayons différents conservent entre elles, en vertu de la formule (7), le même rapport que les deux valeurs correspondantes de *. Ce rapport est donc, ainsi qne les valeurs de a, indépendant de la nature du milieu que l'on considère, pourvu que la dispersion soit nulle ; eu sorte qu'il reste le même, par exemple, dans le vide et dans l'air atmosphérique. On peut en dire autant du rapport entre deux valeurs diverses de /, qui est toujours l' inverse du rapport entre les valeurs correspondantes de k. Si, pour fixer les idées, ou divise successivement la valeur /, de / qui répond au rayon B de Frauenhofer par les valeurs de / relatives aux autres rayons, c'est A dire, par les quantités

7 : , 7,, 7 4 , 7,, 7 6 , 7,, ou trouvera pour quotients les nombres dont les logarithmes sont (47) 0202930 067545* 1165319 1523944 2049754 2433373

c'est ù dire, les nombres

Or ces derniers nombres représenteront

il. 1I1S 1

■air et

tau

vide, il

on seulement

valeurs des rapports

mais encore celles lies rapports

on même des suivants

Si s,

§. 10. Considérations nouvelles sur la rîfraction île la lumière. Les loiv. de la réfraction simple, telles que V expérience les donne, se trouvei comprises dans les formules (8) et (9) du §. 5. Or, ÎJ est important d'observer (lue la méthode, à l'aide de la quelle nous avons établi ce» formules, les reproduira encore, si l'on suppose que les valeurs des déplacements s, ij, Ç relatives soit nu premier, soit au second milieu, et tirées en conséquence soit des équations (1). soit des équations (2), fournissent, pour les points situés sur la surface de séparation, des valeurs égales* d'une fonction linéaire quelconque de ces mêmes déplacements el de leurs dérivées prises par rapport aux variables indépendantes .r, y, t. En effet désignons par ;; la fonction linéaire dont il s'asïl. Si l'on y substitue les valeurs dis £, ij, £ qui représentent les déplacements moléculaires dans le rayon incident, » 1 dire, les valeurs de £, », l données par les équations (33) du § 4, e devient une fonction linéaire des sinus et cosinus de l'arc

k (.r cos t + y sin t) — st ensorte qu'on aura, par exemple

(1) a=gcos(*(.rcosT-T-.ysïnT) — s/)+gsin (*(jtcost+j situ — al)), les coefficients 6, 3 étant uniquement fonctions des quantités

(2) », 13, E, ffi, *, l, cost, sine.

Soient maintenant

©., St ou <S\ g' ce que deviement les coefficients

quand passe du rayon incident au rayon réfléchi ou réfracté, c'est à dire, quand • remplace les quantités (2) par les suivantes

et, comme en remplaças! ï par — Y os es tirera

(in (8+6,)».r-(i+ad.i=r».(;i)-S'ji(^i).

on anra encore

(15) (6 + €.) «* ï == Œ- es* (| t), t 3 + g.) «ta t = S M. (y ï)-

Si maintenant on rÉduii T à sera dut la première its farsmk* (15), die Ihilil

Dtac cette SarmaJe aassua pfaéralemest

(17) e*.T = es.(^ï)

■«i rè*fcâm le imslt se* fifiiht (151 *

« f f isaiiaa (12) à

(»» i...=iM|.

©s m trasre am»t rime**' tu e^ssati*** <8) et (9). **st les sexx «Visitii* rwni

«Vst aire le* f*rs»fea (8) et t.9) s* § 5.

Es i finir «s? ta (aseties narm s se* «pHtrscM» t, r , T et se lew* aV-

rt.ee* relâche* i /, j, l tt résanac làmpaïamst i k tariaak ç, ss ferait inàsiia'ii

le* aailîisi (8) a«* le* btsssie* (7) s» $ 4. Haâ* aasster ce* fn—ln. ce *c-

raît adaaettre. cssnse sam Taiss* seja asau 1 1, sse t"** pesai sas* or» n siïsli

se au îcsâr essaste se* ahentâssa prWsitts par le laûâsaçe ss ne rasai sufies, «as*

aisaçe ss pecaaki «aie* sas* k ratesr se $ sse sïlnsasi la pressera se* esss-

tâasa (>) sa *W*te parazrasse. A la «élite, es arr—S 1 torceuneasest psar « la Tark-

Me £. sn, ex ami mie»* as messe, la ritesase -^ , pais la nati usait, psrsllek i

aff

tue se* x, *t b prêtai** aatppsrtée par ss pbs a»ia»sa5iskârr i cet aie, paria

essai le* (lasnslu, asrsaVIc* an aies se* s et =. se la prmiis sssssrtéc par

exsk* sse j m ssssre* sas* le hasVUs se* aciesces se *L «V fTiiiin pamr raamée

ISMl et ssi * aeesrsest ai bacs a.ee ks s*rssasrs et le* eiperiesec* se rVessrf, sssss

ss ssssssr sse la sesssté se friser reste h aaêste sas* sass la* ■is'esj. Mala

et ks iiui'im ci sVassa aaisiiissi'i i sacres*, «as* k «sttsmn se k «srsatt se se-

paraiion de deux milieux, conserver la même valeur, tandisqu'on passe de l'un à l'autre. Des recherches approfondies sur ce sujet délicat m'ont eonduit à un nouveau principe de mécanique propre à fournir, dans plusieurs questions de physique mathématique, les conditions relatives aux limites des corps et aux surfaces qui terminent des systèmes de molécules sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle. Ce principe que je développerai dans un autre mémoire , étant appliqué à la théorie de la lumière, on en conclut que, dans le voisinage de la surface de séparation de deux milieu*, les déplacements £, 17, t des molécules d'éther, relatifs soit au premier milieu, soit au second, devront fournir les mêmes valeurs, de g, si Ton preud pour a l'une quelconque des trois fonctions

/•« élS ** *Ï*L

K ^ 1) dx djf' dar dz' dy tW

on bien encore si l'on suppose

a, i, c désignant les cosinus des angles formés par la normale à la surface de séparation des deux milieux avec les demi-axe» des coordonnées positives. Il est bon d'observer que la valeur de «, déterminée par l'équation (22), représente la dilatation linéaire de l'étirer mesurée suivant cette même normale.

Lorsque, les deux milieux étant séparés l'un de l'autre par le plan des y z, on suppose l'axe des z parallèle aux plans des ondes lumineuses, et par conséquent perpendiculaire au plan d'incidence, ou a dans la formule (22)

et de plus §, 17, f deviennent indépendants de z. Donc alors en changeant, ce qui est permis, le signe de la première des différences (21), ou trouvera que les fonctions (21) et (22) peuvent être réduites à

(m *± 9 *ï n 1I*3 il.

^ ' dy 9 dx' dy dur' dar

Donc, si Ton nomme £', 17', £' ce que deviennent les déplacements £, 17, £ tandisque l'on passe du premier milieu au second, on aura, pour les points situés sur la surface de séparation, c'est à dire, pour x =0,

(24) ^-*L', *l*2 = ££2s.', et

dx dx' dy dx dx dx'

d l — *L II — rf JL

dx dx ' dy dy

Lorsque dans les équations (24) et (25) on substitue à £, ?;, c les seconds membres des formules (1) du § 5, et à §', tj', C les seconds membres des formules (2) du même paragraphe, on obtient les loix de la réflexion et de la réfraction qui ont lieu à la surface des corps transparents, avec les diverses formules que contiennent les deux lettres adressées à M. IAbri les 19 et 27 mars, et imprimées dans le n° 14 des comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, pour l'année 1836. On déduit aussi des conditions (24) et (25) les loix de la réflexion opérée par la surface extérieure d'un corps opaque, ou par la surface intérieure d'un corps transparent, dans le cas où l'angle d' incidence devient assez considérable pour qu'il n'y ait plus de lumière transmise, c'est à dire, dans le cas où la réflexion devient totale. (Voir à ce sujet les deux lettres que j'ai adressées à M. Ampère les l* r et 16. avril 1836). Comme je l'ai montré dans ces différentes lettres, les formules auxquelles conduisent les conditions (24) et (25) non seulement déterminent l' intensité de la 'lumière polarisée rectilignement par réflexion on par réfraction et les plans de polarisation des rayons réfléchis ou réfractés, mais encore elle font connaître les diverses circonstances de la polarisation circulaire on elliptique produite par la réflexion totale ou par la réflexion opérée à la surface d'un corps opaque, et en particulier, d'un métal. D'ailleurs les divers résultats de notre analyse se trouvent d'accord avec les loix déjà connues, particulièrement avec les formules proposées par MM. Fresnél et Brcwster^ ainsi qu' avec les observations de tous les physiciens* Au reste je reviendrai sur ces résultats dans de nouveaux mémoires, oii je déduirai directement des équations (15) du § 1 les loix des divers phénomènes lumineux, y compris les phénomènes de 1' ombre et de la diffraction.

■ 11- Sur la relation qui existe entre la vitesse de propagation et F épaisseur des ondes lumineuses.

Pour une couleur donnée, la durée T des vibrations lumineuses, ou, ce qui revient au même, la quantité

reste la même dans les différents milieux. Maïs l'épaisseur l des ondes lumineuses, aussi appellée longueur d' ondulation, et par suite le rapport

devront, si l'on adopte la théorie exposée dans ce mémoire, se trouver liés a la vitesse de propagation

par la formule (1) ou (5) du § 6, c'est à dire, par l'équation

tî = & = «, + a,* 1 + a,* 4 + etc.

en vertu de laquelle £2* se développera en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de k. D'ailleurs, en posant comme dans le § 6,

b,»' + b ] s*+b J »» + e tc

. . b, , bj , bj . . . , que renferment les seconds membres

on tirer» de 1' équation (4)

Les coefficients a,, Sj, a ; des équations (4) et (5), dépendent de la nature du milieu dans lequel se propage la lumière: les quantités k, Si dépendent en outre de la valeur attribuée a s, c'est à dire, de la couleur. Dans le vide, et dans les milieux qui ne dispersent pas les couleurs, pur exemple, dans l'air atmosphérique, les coefficients

Bj, a,, . . . . bi, bj, . . . .

■'énnouissent; alors la formule (4) réduite à (?) p = 0'=i„

exprime que la ulesse de propagation îî est indépendante de s, et a 1 proportionel a tf. Concevons maintenant que, les valeurs de i- cl ik' .'i étant relatives à l'air atmosphérique, on désigne par (8) *' = fl *,

ee que devient la quantité * lorsqu'on substitue A l'air an antre milieu. La valeur de $ déterminée par l'équation (8), ou, ce qui revient au même, par I* équation (16) du § 5, ne sera autre chose que l'Indice de réfraction d'un rayon lumineux qui passerait de l'air dans le nouveau milieu que l'on considère ; et la formule (6) deviendra

(9) *'' =3 S'A* =: b» s* -4- b,«« + b, «• + ete. . .

SI dans cette dernière formule on remplace a par sa valeur tirée de I' équation (3), on trouvera

(10) 0* = b.fî' + b,fiV+ b,£V + etc

Donc, en posant pour abréger

(11) 0.3' = i, b 1 fî« = b, b,.'2» = f, etc.

on an» simplement

(12) 6 1 = a + b s 1 -f- 1 ** + etc

On ne doit pas oublier que dans les formules (10), et (11) Q représente la vitesse de propagation de la lumière dans l'air, vitesse qui resle la même pour toutes les couleurs.

Soient maintenant

0», fci t , 5,, 0., 0„ fl,

es valeurs de $ relatives aux rayons

de Frauenkofer, et

les valeurs correspondantes de a.

entiers

i l'on désigne par i l'un quelconque des nombre*

et si l'on pose en outre

la formule (12) donnera

(14) @i S3 a -f- b*,- 1 + cV -*- etc. . . .

Or, 11 résulte des calculs développés dans les paragraphes 6, 7, 8 qu'on peut. Mans erreur sensible, réduire le second membre de l'équation (4) ou (C), et par conséquent le second membre de la formule (14) à ses quatre premiers termes. Dons cette formule pourra s'écrire comme il suit

D'autre part on pourra encore négliger J'O- dans le premier membre de la formule (11) du § 7, et réduire cette formule à

(i«) e f = -|- (U' — &) fo + [U" — — (ET— 0) 9" fit] y.

le* valeurs de

étant celles que fournissent les équations (10) et (6) du § 7, savoir,

- * se ^ Q. + e. + Qi + Qv+^ + Q.

/ V = S ' G { = 0, + 0, + 0, + 0, — 0, — 0, — 0, , U "= S " 0; =3 — 0, — ©, + ©, + ©, + 0, + 0, — ©t , U"= S"' 0; = — 0, + 0, + 0, — 0, — - 0, + 0, -+■ 0, ; el l'on tirera de ces dernières équations combinées avec la formule (14)

=a+jS V+ y» tf+jSif,

(18) < V=a+i>&' af + tS' «/.f-ftSV»

D"= + n S" •/ + e S" s£ + s S' Vi F""=û+Ï>S"V + (S"V + ïS"V>

les notations S*,-*, S'a. 1 , &"af t S'"*,- 1 ; S*,-*, etc. . . . exprimant ce que deviennent les sommes désignées par S0;, S'0-, S*'0 t -, S'"0; dans les équations (17)i quand on y remplace 0,- par S,-", ou par S^' , etc. . . . Enfin, il est clair que h substitution des valeurs de

fournies par les équations (15) et (18), transformera leB deux membres de 1' équation (16) en deux fonctions linéaires des quantités

qui varient avec la nature du milieu réfringent- Or, ces deux fonctions devant être égales entre elles, quel que soit le milieu réfringent, ou peut en conduire que dans l'une et l'autre les coefficients des quantités (19) devront être les mêmes. Par suite, l'équation (16) devra continuer de subsister, si dans cette équation, et dans les formules (17), ou remplace 0,- par l'une quelconque des quatre quantités

ce qui revient à supposer, dans les formules (15) et (18), l'une des quantités a, b, r, B réduite à l'unité, et les trois autres à zéro.

Remplacer &■ par l'unité, c'est substituer l'air aa milieu qui devait réfracter la lamîcre. Alors on trouve no» seulement &; = 1, mais aussi

et l'équation (16) devient identîqnc, comme on l'a déjà remarqué (page 153).

Remplaçons maintenant, dans l'équation (16), 0/ par *,", m désignant l'an de troii nombres entiers 2, 4, 6 ; et faisons pour abréger

ç" = S '' *,■" = — «," — V + V 4- «." + «," 4- a,' — «,", ç" — S '" s." — — a," 4- «i" 4- #," — * t " — a," 4- V + *7* : l'équation (16). jointe aux formules (17)> donnera

(22) , ( . = 5 + ( ç ' 5 ) / ,,- + r ç " ç {s ' ç )sv,-]r,-

+ |ç"'-ç-(ç'-ç)s"'ft— [s"-t-(e , -s)8"MS™ w |<»f

L' équation (22) fournira pour «y" des valeurs approchées de divers ordres, si l'un réduit la polynôme que renferme le second membre an seul terme ç, ou à la somme

de ses deux, trois, quatre premiers termes; et, si l'on i

A a .", # af, d* a;"

les différences finies des divers ordres qui doivent compléter les valeurs approchée* dont il s'acit, on aura rigoureusement

^ç + iç-çiPi + J'*?,

= ç + (^-ç)fr + r<r"-<r-(ç'-?)s"Wîv + ^V'

4-!ç"'-ç-(ç , -ç)S'"^-[ç"-Ç-(ç'-Ç)S" ( 3 ( -]S"; V ; ( î'4--^/ Oh trouvera par suite

I J\" = ff — s — (5—5) /».• — ts" — S— (s - s) S" ft] ;■; ,

puis, on en eonclnrra

BJâf = g(lf — ç) = SV — Ç, etc

fui, ce rjui retient bu même

( S'VV = ç'"-ff-(?'-ç)S'"/9 t .-tç"-ç-( Ç '-ç)S"' rt ., de sorte que la formule (23) donnera

(26) #r=;s*r + ^Vi

et pourra être remplacée par le système des équations

De plus la formule (22), réduite à

(28) sC = 4 S 9f + (*i S'Jsf + yi S 'J\* + â £ S" ^ sf ,

fournira précisément pour * e -" le valeur que Ton tirerait de l'équation (26), ou des équations (27), en y- posant

On tire des équations (2) et (3)

(30) s = i2i = 2nQr\

Si, dans cette dernière formule on suppose fi, £ et Z relatifs à l'air atmosphérique, la valeur de Q sera la même pour toutes les couleurs, et en désignaut par

les valeurs de Jfc, l relatives à s = #/ on trouvera

(31) ê. = fi* t . = 2ttSïh par conséquent

(32) #/• = û- */• = (2 re £>" J f — .

Soient maintenant ^Jfcf", J*hf*- . • Jlf, d*l{-*> etc. .... ce que deviennent le« différences J»f, 4P*C-, • •» • • déterminées par le système des équations (27) , quand on remplace dans ces équations */• par kf on par /,— "• On aura

puis on tirera des formules (33), (34) combinées avec les équations (37) et (33)

J '--=(é)" J ^ ^'.-=(^) V ''- ^r-=(énf'"f'

«!, en multipliant les deuï membres de 1' équation (28) par f — 1 ou par

on en conclurra

</ = ; 8 a-,' ■+■ fj S' -/ (•,- ■+• y,- S" *«,■* + <t, Ç" J 1 i, •-. /,■— = ;S/i— + ft-S'i//,-- J '+>' ; S"J'/,— -f- ef,- S" J'l r :

• ■■■!.■ pos

Les formules (37) et (38), entièrement semblables à l'équation (28',, fournissent p tisément les valeurs de i,-" et de If que l'on tirerait des équations (33) et (34) eu y posant (39) J*kf=0, ^*/.--=0.

Les Taleur8 de 0. on des indices de réfraction, déterminée! par les expériences de Fraucnhofer, sont composées chacune do sept chiffres, et le 23 e tableau du § 6 montre que l'on peut compter sur l'exactitude des cinq ou six premiers chil.Vi.-s. Les valeurs de /,• n'ont pu èlre déterminées avec la même précision, et, pour chacune d'elles on ne peut regarder comme exacts que les trois ou quatre premiers chiffres. Il en résulte que, dans les valeurs de Xy, * ( -, et par suite dans tes valeurs de lf~*t £,-", ■>;" on ne saurait compter sur l'exaclUude du cinquième chiffre et des suivants. On ne doit donc par être surpris, lorsqu'on veut appliquer au calcul des différences finies des divers ordres de * ; ", *,-", If' les formules (27), (33) ou (34), de trou< it les différences finies du troisième ordre, sensiblement nulles, aussi bien que lea différences finies du 4" ordre, c'est a dire comparables aux variations que produisent les erreurs d'observation. Or c'est précisément ce qui arrive. Si, pour Axer les idées, on applique les formules (27) à la détermination des différences finies

Jsf, 4*êfi J'af,

et, si l'on prend pour unité de temps, non plus la seconde sexagésimale, mais le quotient que fournirait la division de celte seconde en mille millions de millions de parlies égales, alors, en faisant usage des logarithmes de + /ï ( - et de + ■/• renfermés