SUR

LA DISTRIBUTION DE L’ÉLECTRICITÉ i u snrtct di lia spitas cmmctocb comimai imées

Lu liant la téanct du 10 mars 1844.

Les deux célèbres Mémoires sur la distribution de Iclectricité à la surface des corps parfaitement conducteurs, présentés par Poisson en 1812 et 1 8 1 3 à l’Académie des Sciences de Paris, renferment le principe général du véritable équilibre électrique, qui, désormais, avec la loi de Coulomb , doit servir de base à la solution de tous les problèmes d'électricité statique, quelle que soit d'ailleurs la cause qui retient l’électricité libre à la surface des corps conducteurs. La masse de la matière électrique et la figure qu’elle affecte sont les seuls élémens pris en considération.

Peu importe, pour la solution ( du problème qui nous occupe, de savoir, que la figure de la couche électrique est maintenue en équilibre par la pression de l’air, ou celle de l’éther; ou par une action particulière de la matière pondérable du corps conducteur , d’une manière qui nous est inconnue. C’est ainsi, par exemple, que pour calculer l'attraction d’un ellipsoïde liquide, nous pouvons, à la rigueur, nous passer de savoir «pie la force centrifuge, née de sa rotation, est celle «pti associée avecla pesanteur maintient la figure ellipsoïdale de la masse. Et à l’égard des expériences par lesquelles, dans ces dernières années, «juelques Physiciens ont cru pouvoir démolir le principe dont nous parlons, je me bornerai à dire «ju’elles ne me paraissent pas avoir nécessairement la seule interprétation «pii leur a été attribuée. Il faudrait établir les équutions relatives lu ces expériences d’après le principe de Poissos, et démontrer ensuite que les conditions ainsi exprimées sont incompatibles avec les résultats de l'observation. Alors les Géomètres seraient forcés

iTy renoncer, en attendant ta découverte d’un autre point d'appui pour une théorie mathématique. Un tel travail n’ayant pas été fait, Di essayé avec succès, que je sache, j’ai repoussé toutes les objections d’un autre genre, et dans ce Mémoire j’ai adopté, sans restriction, la loi de Coit.omk et le principe de l’équilibre électrique, tel qu’il a été défini cl développé par Poisson.

L’application qu’il en a faite au cas particulier où il s’agit de deux sphères conductrices électrisées, mises en coutact, ou séparées par un grand ou un petit intervalle, quoique conduite avec une admirable analyse, est loin d’élre, sous plus d’un rapport, complète. Par un examen approfondi l’an reconnaît que , malgré le mérite incontestable de ces deux Mémoires de Poisson, la question avait besoin d’étre entièrement reprise, soit pour conduire à son dernier terme la solution sous forme finie , soit pour rectifier plusieurs résultats qui ne sont pas une exacte conséquence des équations fondamentales. En outre il fallait offrir uu système de formules susceptibles d'une plus facile rédaction numérique. Mais c’était un grand pas, relni d’avoir soumis à l'analvse algébrique une des branches de la physique expérimentale qui semblait se refuser à toute déduction théorique rigoureuse. Si le principe fondamental peut être saisi d’un coup d'œil, il y a, il faut l'avouer, une énorme distance entre ce point de départ et l’ensemble des conséquences variées qu’il recèle dans sou énoncé; par, simple, et dégagé de toute action de lu matière pondérable sur la matière constituante le fluide électrique. Pour les luire ressortir , et donner ainsi raison de l'expérience ( ce (pi doit arriver si ie principe est vrai en lui-même) il faut souvent employer des artifices de calcul qui ne sont pas faciles à imaginer. Et on trouve dans les deux Mémoires de Poisson déjà cités plusieurs résultats pour lesquels il faut s’engager dans des recherches d'analyse détournées et épineuses, si l’on veut acquérir des notions claires sur le mode «le leur existence-

Je sens que cela peut être inutile peur la plupart des Physiciens , qui , contens d’avoir une idée du principe de l'équilibre électrique et des principales conséquences qui peuvent s’en déduire sans le secours de l'expérience, sc bornent à lire les deux préfaces de Poisson, où ils trouvent tout ce qui peut les intéresser. Celte facilité, offerte par fauteur lui-méme, cache en quelque sorte le mérite de la difficulté vaincue; et là, où il y a une théorie profonde à admirer, il est pénible de voir qu’on {misse se faire illusion , et croire qne l'effort du génie mathématique n’a eu

PAR J . PLAXA

d'autre effet que celui (le produire d’une manière savante la simple confirmation des expériences et des lois établies par Coclomb. Mais les Physiciens-Géomètres conviendront aisément, que la singularité de l'analyse employée par Poisson mérite toute leur attention. Et c’est par une méditation long-temps continuée sur ce sujet, que j'ai trouvé les principaux résultats dont je vais rendre compte dans ce préambule. Pour plus de clarté je distinguerai les trois cas qui peuvent se présenter lorsqu'on demande les lois generales de la distribution de l'électricité entre deux sphères.

Le premier est celui où les sphères sont mises en contact: le second lorsqu’elles sont séparées par un intervalle quelconque : le troisième cas est celui où les surfaces des deux sphères en présence sont séparées par un intervalle fort petit en comparaison de la distance des deux centres. Ce troisième cas, quoiqu’il ne soit qu'une variété du second, exige un développement spécial pour mettre en évidence les modifications lout-à-fait remarquables que la circonstance de la petitesse de l’intervalle fait subir aux formules générales.

Afin de rattacher celte théorie à une autre dé jù connue j’ai commencé par faire voir dans le premier Chapitre de ce Mémoire, que les formules primitives peuvent être immédiatement dérivées des formules relatives à l'attraction des sphéroïdes, données par Lapi.ace dans le second Volume de la Mécauiquc Céleste. Cette application est permise, puisque la raison inverse du carré de la distance est ( comme pour la matière pondérable) la loi de l’attraction cl de la répulsion entre les élémens d’une masse de fluide électrique.

Je me suis attaché à démontrer d'une mauière qui me parait nouvelle et rigoureuse le principe que l'on énonce en disant : que la différence des répulsions électriques sur deux points placés sur la même normale, l’un très-près de la surface extérieure cl l'antre très-près de la surface intérieure, est proportionnelle à l'épaisseur de la couche électrique. La démonstration synthétique de Laplace ne peut être admise sans l’appui de plusieurs développeinens propres à faire cesser les objections que l’on pourrait élever contre les hypothèses sur lesquelles elle se fonde. J'ai ensuite remarqué que les considérations employées pour démontrer ce principe pouvaient éclairer la théorie du plan cTépreu ce, si heureusement imaginé par Coulomb : mais le Mémoire étant déjà terminé, j'ai consigné dans une addition placée à la fin ce développement ultérieur des §§ fil et IV-

6 MÉMOIRE SUR LA DISTRIBUTION DE l’ÊI.ECTRICITÊ ETC.

Après avoir établi les deux équations fondamentales aux différences finies et variables qui expriment les conditions de l'cquilibrc électrique entre les deux sphères , quelle que soit la distance de leurs centres , j'ai commencé le second Chapitre par l’intégration de ces équations pour le cas particulier où les sphères sont mises en contact. La méthode que j’ai employée pour cela , si dans le fond elle est la meme que celle imaginée par Poisson, je puis dire que je l’ai reproduite ici d'une manière nouvelle et propre à rendre plus facile et plus lumineuse la marche du calcul et celle des transformations qui se succèdent.

Pour faciliter autant que possible la comparaison de cette théorie avec l’observation j’ai réuni plusieurs séries convergentes propres à calculer les épaisseurs moyennes et les épaisseurs maximum des deux couches électriques. Ces dernières ont lieu, pendant le contact, aux deux points qui lui sont diamétralement opposés: et les premières succèdent au contact , lorsque l'on sépare les deux sphères de manière que chacune d’elles, maintenue isolée , puisse emporter la quantité totale d’électricité dont elle était recouverte et la retenir uniformément distribuée.

On a par la des formules fort commodes pour calculer, en fonction de la quantité totale de l’électricité primitivement communiquée à l’une et à l'autre sphère , le rapport suivant lequel cette quantité totale se partage entre les deux sphères: ce qui peut être utile pour varier les expériences sans être géne dans le choix des rayons. J’ai même calculé une petite table, où l’on pourra prendre immédiatement ce rapport, lorsque celui des rayons sera donné par une fraction rationnelle assez simple. Celte table placée vers la fin du Mémoire (*) est précédée d’une autre table qui rend très-facile le calcul des épaisseurs maximum.

La loi de l’épaisseur variable de la couche électrique qui recouvre deux sphères en contact peut être exprimée par trois séries distinctes. La première est particulièrement opplicablc aux points qui avoisinent ceux opposés au point de contact. La seconde, au contraire, ayant explicitement lu propriété de devenir nulle au point de contact, offre plus d’avantage pour exprimer la loi de cette épaisseur aux environs de ce point. Ces deux séries remarquables sont tout-à-fait nouvelles. Poisson avait seulement reconnu l’existence de la troisième qui , généralement parlant, s'applique aux points de la couche placés entre les extrêmes.

Au reste, on peut aussi exprimer cette loi sous forme finie, par des intégrales definies. Poisson avait trouvé le principe propre à celte trans-

(•; Vojei J XXVII, page 311.

PAÎl I. PLANA

formation: mais ia complication de l'expression lai avait paru devoir rendre ce résultat théorique inutile. Cependant un examen attentif m’a fait découvrir que l'on pouvait simplifier considérablement le résultat primitif, et l’on verra dans ce Mémoire, que la formule est en elleinème fort remarquable et susceptible d’être évaluée par les quadratures avec plus de facilité qu’on ne l'aurait d'abord espéré.

Chaque terme de la troisième série dont je viens de parler est un radical de la forme

(//■+• B cos. $) ;

6 désignant la distance angulaire du point que l'on considère sur la surface d’une des deux sphères au point de contact. Le calcul numérique de cette série pour une valeur donnée de B est fort pénible ; et d'autant plus que l'angle $ est plus petit. A l’aide d’une équation transcendante facile à former, on peut connaître a priori combien de termes on doit calculer pour avoir une approximation donnée. Et ce nombre est, en général, assez grand pour imprimer un sentiment de frayeur. Par exemple, pour un point placé à 3o° du point de contact de deux sphères égales, il faut calculer au moins no termes de la série si l’on veut que le résultat soit exact à un millième près. Ajoutons à cela , qu’il y a même un point où la série cesse d’être convergente; ce (pii arrive aux environs du poiut de contact. Alors on croit d’abord pouvoir sauver la difficulté en mettant chaque radical sous la forme

B(i — cos.ff)|~‘ ,

pour les développer ensuite suivant les puUsnnces entières et positives du sinus verse. Et c’est effectivement ainsi que Poisson a opéré la transformation au N.* 38 de son premier Mémoire. Mais , sans faire attention à ln nature intime de la fonction qu’il s’agissait de développer, il a borné le développement de chaque radical aux deux premiers termes, et rien n'indique qu'il ait remarqué, ni 1 impossibilité de la forme présupposée, ni la loi générale qui a lieu pour la somme de tous ces développemens dont le nombre est inûni. Cette limitation aux deux premiers termes a été la cause radicale d’une interprétation erronée , qui, pendant plusieurs semaines , a tourmenté mon imagination. Voici en quoi elle consiste.

Poisson voyant que chacun des deux termes qu’il avait ainsi calculé était nul , s'est hâté d’en tirer la conséquence que l'épaisseur de la couche

électrique était développable par une série dont le premier terme significatif devait être le produit d’un coeflicient numérique par le carré de i — cos.5. Kt comme, tacitement, il supposait la série légitime à l’égard delà forme, et même convergente, il croyait avoir de la sorte démontré par la théorie le fait observé par Coulomb; savoir, que l’épaisseur de la couche électrique était presque inscusible jusqu’à une assez grande distance du point de contact. Mais, sans contester le fait , on pouvait démontrer qu’il y avait illusion dans cette manière de l'expliquer. Car, en calculant le troisième terme de la série , lequel a pour facteur le carré du sinus verse , on le trouve composé de plusieurs quantités, qui par une destruction mutuelle donnent un résultat exactement nul. De sorte que , en transportant à ce point l’argument de Poisson , on en conclurait que la série dont il s’agit commence pour un terme de l’ordre du cul>e du sinus verse ; ce qui semblerait devoir rendre encore plus lent l’accroissement de l’épaisseur de la couche depuis le point de contact. Mais cette conséquence ne serait pas moins illusoire que la précédente. Pour s’en convaincre il n’y a qu’à calculer le quatrième terme pour voir qu’il est également nul. Et cela arrive aussi pour les termes ultérieurs par une étonnante combinaison entre les différentes quantités, qui, associées aux nombres flcmoulliens , composent ces coefficiens.

En lisant ce Mémoire l’on verra que la cause radicale de cette singularité tient à ce que la véritable forme de la série par laquelle la fonction dont il s’agit est développable , doit contenir les puissances négatives et fractionnaires du sinus verse , et non les puissances positives: ou bien, les puissances négatives et fractionnaires d'un binôme de la forme i -+-/>( i —cos. 6). C’est de quoi on peut avoir une idée plus claire par la simple inspection des équations (121) et (127) données, pour la première fois, dans ce Mémoire. L’on rencontre ici une es|>èce de phénomène d’analyse semblable à celui que présente la formule propre à exprimer la température des couches de la Terre à une petite profondeur, comparativement à son rayon, pour l'époque trèséloignée de nous , où la température de l’espace traversé par le système solaire était à son maximum. Si l’on voulait développer celte fonction suivant les puissances descendantes de la profondeur, on trouverait égaux à zéro les termes successifs de la série (*).

Cependant le fait observé par Coulomb étant incontestable, nous en avons trouvé l’explication dans notre série (127) qui, pour une distance

Vojci p. 37 du Supplément à U Théorie de U Chaleur pur Poiuor.

PAR 3. PI.ASA

angulaire de 10’ du point de contact., donne dans le cas des sphères égales, par exemple, une intensité <pii est à peine la millième partie de l’intensité moyenne. Et certes, d'aussi faibles intensités électritpies devaient paraître insensibles d’après la manière dont elles étaient observées par C011.OMB.

J’ai terminé le second Chapitre en donnant les détails du calcul qui sont à l’appui de celte explication. Cela était d’autant plus nécessaire qu'il fallait faire voir qu’il 11’y a aucune similitude entre la véritable formule , et la formule empirique par laquelle Coui.owa croyait aussi expliquer la lenteur du même accroissement (*).

Le troisième Chapitre renferme la solution du problème pour lr ras où les deux sphères électrisées seraient séparées par un intervalle quelconque. Ici, l'intégration des deux équations de l'équilibre électrique a été faite par un procédé tout-ù-fait analogue à celui du contact. Un examen attentif lait sur la forme du résultat m’a fourni des formules nouvelles, ù la fois générales et explicites, propres à résoudre avec plus de facilite, par les séries, le cas particulier où les surfaces des deux sphères électrisées en présence sont à une grande distance; ou, du moins, sont placées de manière que le rayon de la plus petite est fort au-dessous de la distance de son centre à la surface de la plus grande. Ce cas est le plus simple de tous, sous le rapport de l’expression analytique. Poisson l’avait traité dans son premier Mémoire; et j’ai perfectionné la solution qu’il en avait donnée en découvrant la loi par laquelle on forme les termes successifs de la série qui s’y rapporte. Ce perfectionnement rend manifeste l’avantage du principe à l’aide duquel, par une simple permutation entre les lettres, on peut adapter à la seconde sphère les formules trouvées pour la première. Ce principe, naturel à prévoir, se trouve démontré a priori dans le sixième paragraphe de mon Mémoire , tandis que Poisson l a présenté comme une conséquence de l'intégration déjà exécutée (**).

Les formules générales, dont je viens de parler, ont la forme convenable pour démontrer a priori le fait, qui* l’influence mutuelle entre deux sphères séparées ne saurait augmenter la masse algébrique de l'électricité |>ositive et négative répandue sur leurs surfaces. Celte démonstration rapportée vers la fin du § XVIII a l’avantage d’être toul-àfait explicite , et de n’avoir pas besoin que l'expression de l’épaisseur

(*) Voyez pjçe 455 du Vulumc de l' Académie de* Sciences de l’ari* , pour l’année ITH". (”) Votez la page 74 de *ca premier Mémoire , et le* page* $3 et $4 du «eeoud-

électrique soit, préalablement , réduite en une série composée de termes semblables b ceux dont Laplace a fait la base de su Théorie de la figure et de la Chaleur de la Terre , si justement estimée par les Géomètres.

Mais ces mêmes formules générales subissent une modification remarquable, lorsque les surfaces des deux sphères électrisées après avoir été mises d'abord en contact sont séparées pour être replacées a des distances diverses. Alors, la circonstance, que les épaisseurs moyennes et primitives des deux couches cesse d’être arbitraire donne lieu à des formules nouvelles qui deviennent la base de l'explication, comme de la mesure , des expériences faites par Coulomb avec des sphères inégales, graduellement séparées du coutact pour être amenées à une distance telle, où il voyait que l'électricité devient de nouveau nulle, non sur les deux sphères mais seulement sur la plus petite des deux, au point même qui avait été en contact avec la plus grande. La formation et la solution de l'équation qui doune a priori la distance entre les surfaces où ce phénomène a lieu , présentait une difficulté assez grande que je ne puis clairement indiquer ici; mais en lisant les §§ XX, XXI et XXII l’on verra où elle prend sa source et de quelle manière elle a été surmontée. C’est un problème qni avait échappé aux recherches profondes de Poisson; car il dit, dans le préambule de son second Mémoire: « il h parait difficile de déterminer cette distance a priori, lorsque les rayons » des deux sphères que l'on sépare sont donnés ». Toutefois, afin d'offrir aux Physiciens toute la facilité possible, pour vérifier et varier les expériences de ce genre que Coulomb croyait « propres à jeter du jour sur » cette matière », j'ai terminé le § XXII par une petite table où l’on pourra prendre celte distance pour plusieurs valeurs de la fraction qui exprime le rapport des rayons des deux sphères.

Considérant ensuite que les séries appliquées à la solution des problèmes précédens étaient impuissantes, lorsque la distance des surfaces devient fort petite , et même évauouissantc , je les ai transformées de mnnière à pouvoir, en général, exprimer l'épaisseur de la couche électrique sous forme finie par des intégrales déGnies. Ce problème avait été in abstracto résolu par Poisson dans son second Mémoire ; mais il fallait encore franchir une grande distance pour faire disparaître le signe imaginaire et arriver aux formules nouvelles que l’on trouvera dans le § XXIII de ce Mémoire; on verra que ces formules sont dignes de fixer l'attention par la symétrie, ci même par la simplicité de leur forme.

PAR J. Pt. ARA

Toutefois elles deviennent incomparablement pins simples à l’égard des i|uatre points placés sur la ligne des centres, ainsi que je le fais Toir dans le § XXIV.

Je me suis attaché à élaborer ces dernières formules, pareeque c’est par elles que j’ai pu développer dans le quatrième et dernier Chapitre les lois tout-à-fail remarquables de l’électricité à la surface de deux sphères conductrices séparées par un petit intervalle , eu considérant , pour les points les plus rapprochés et les plus éloignés, les deux cas qui peuvent se présenter : c’est-à-dire , celui de la séparation qui précède le contact, et celui de la séparation qui aurait lien après le contact.

J’ai trouvé pour le premier de ces deux cas les formules de Poisson , abstraction faite d’une correction qui me parait duc à une méprise dr calcul (*). J'ai donné à ces formules une forme propre à faciliter les applications qu'on en voudrait faire, comme on peut le voir par les équations (35t) et la Table qui les accompagne. Cela peut être utile pour comparer la théorie avec l'observation des distances, qui, avec, ou sans l'interposition d'une lame de verre ou de toute autre substance isolante différente de l’air atmosphérique , précèdent immédiatement la rupture de l’équilibre électrique et l’apparition de l’étincelle.

Mais en considérant ce qui se passe après le contact, l'accord qui a lien pour des sphères inégales entre mes formules et relies de Poisson, cesse de subsister pour le cas particulier oà les deux sphères sont égales et également électrisées. Ici en bornant d’abord les développemens aux termes de la quatrième puissance de la variable 5 qui règle l’approximation, j’ai trouvé que la série do la forme

W-|- A”d‘-t-ctc. ,

qui représente l’épaisseur de la couche électrique, était telle que l'on avait I =o, À’ = o , taudis que Poisson a trouve k=o et

tao . Log. 3

dans la |>agc io5 de son second Mémoire. Mais je fais voir que cela tient à une erreur de calcul qu’il a commise à la page 83. D’après cela il devenait nécessaire de calculer le terme suivant k" à * , et en exécutant ce calcul j'ai obtenu pour k" un coefficient numérique négatif. De là j’ai conclu qu'il faudra concevoir que, immédiatement après la séparation de deux sphères égales, il y a, par influence, décomposition

(*) Vu»ci 1rs éqaatioos (324), (325) et la page 273

1 2 MÉMOIRE SUR I.A DISTRIBUTION DE l’ÉLECTRH.ITÊ ETC.

d’une partie de l'électricité naturelle et affluence d'électricité contraire vers les points qui étaient primitivement en contact; ec qui est une conséquence de la théorie opposée a celle énoncée par Poisson à la page 106 de son second Mémoire. Cet exemple prouve qu’il est par fois difficile de tirer des mêmes équations fondamentales les véritables conséquences qu’elles recèlent. Je puis en offrir une nouvelle preuve en ajoutant que dans le XXVIP"** et dernier paragraphe j’obtiens, pour les intensités électriques des points les plus éloignés qui ont lieu après le contact, deux expressions où la variation est logariütmique et non proportionnelle a la petite distance qui sépare les deux surfaces, ainsi que Poisson l’avait affirmé en finissant son second Mémoire. Au reste je ne puis donner ici une idée exacte de tous les résultats qui sc trouvent dans le dernier Chapitre : on ne peut absolument en prendre connaissance que par une complète lecture. Je dois en dire autant ù l’égard de deux Notes placées à la fin du Mémoire. La première offre le calcul des expériences faites par Couuomb avec plusieurs sphères électrisées mises en contact, desquelles il expose les détails dans le Volume de l’Académie des Sciences de Paris pour l'année 1788. La seconde Note, qui serait mieux placée à la tête de ce Mémoire, contient une démonstration nouvelle sur la loi fondamentale de la répulsion électrique. J'ai voulu faire voir par une analyse, qui me paraît fort simple, que le seul fait général de l’électricité libre , toujours amenée par couches disposées en équilibre à la surface des corps conducteurs, suffit pour démontrer a prioriy que la loi de cette force doit être la raison inverse du carré de la distance. C’est ainsi que , d’après les faits généraux qui s'observent dans les diff'ércns cas d'équilibre qui ont lieu sous l’action mutuelle des courans voltaïques, on peut, sans aucune mesure effective, déterminer le signe et la valeur absolue des deux constantes qui entrent dans la formule primitive découverte par Ampère.

J’espère que les Géomètres surmonteront un jour les difficultés que présente la distribution de l'électricité à la surface des corps conducteurs d’une figure différente de la sphérique. Peut-être on trouvera des formules, où la loi de cette distribution y sera empreinte avec cette admirable simplicité qui préside souvent aux lois de la nature. La complication est ordinairement inhérente a la limitation, et même aux défauts des premières conceptions humain es. Une méditatiou continuée et bien dirigée soulève enfin le voile qui couvrait les formes algébriques qui ont l'avantage d’être à la fois les plus simples et les plus générales.

PA* 1. PLAXA