EXPOSITION DES FORMULES GÉNÉRALES
En empruntant les formules de Laplace sur l'attraction et la repulsion des sphéroïdes peu différons d'une sphère , il résulte du théorème démontré dans la page 37 du second volume de la Mécanique Céleste , que l'action d'une couche sphéroïdalc sur un [>oint qui lui est extérieur sera nulle, si les rayons vecteurs r" et r' de sa surface extérieure et intérieure sont tels que l’on ait;
(■) r' , =a'+«.u'ir ( , r t-r' t ,r»-Jf"tn-+-ï"( t )-»-etc.| ,
<’> r'-«+«.-|t'.r M H-F' w 4-5r' tll +ÿr’ M + elc.| .
La dilférence r" — r 1 de ces deux rayons, sera
r"—r'=(a'—a)+-*(a!—a)r\, ) - t - a ( a , “ „ " * K',„-t-ete. :
«loue, si l’on fait a' — a=zb, Ion aura , en mettant eu eviileure le facteur commun b ;
-etc.
La dilférence a'— a étant de l'ordre de petitesse de la quantité « , c'est-à-dire de l'excentricité du sphéroïde, l’on peut ici faire a —a dans les termes multipliés par a, puisque, dans cette théorie, l'on néglige
le carré de a. Alors, en posant pour plus de simplicité , y—i r — r', il viendra ;
(3) j«6^«6jr^ a r w ^3r W H-4r w ^-ci€.|.
Telle est l'expression (que Poisson obtient dans la page 24 du I er Mémoire) de l'épaisseur de la couche électrique en équilibre sur la surface du sphéroïde ayant r" pour le rayon vecteur de sa surface extérieure.
Je préfère cette démonstration , pareeque , elle est une conséquence immédiate d’une théorie déjà connue.
La masse de cette couche, c’est-à-dire la quantité d’électricité qu'elle contient, sera exprimée par la double intégrale
* JS
a'‘.'jyj's\n$'.dS’.du' ;
où & et a' désignent les deux angles qui déterminent les coordonnées polaires d’un rayon vecteur quelconque correspondant ù l'épaisseur y . Cette masse sera vitrée ou résineuse suivant que le signe qui l'aflcete sera positif ou négatif. Mais , f" ( .j est , comme l’on sait , une fonction de ces deux angles telle que l’on a
^yV'..)Sin5'.rf5'.rf4i'=o ;
donc, la masse de la couche sera toujours exprimée par 4 na ,a b. De sorte que, elle est indépendante des quantités variables V iy etc.:
et sa valeur est équivalente à celle d’une couche sphérique très-inince qui aurait a pour rayon et b pour épaisseur constante.
§ il
Pour avoir la valeur de V relative à faction de la même couche sur un point extérieur placé à la distance x de son centre de gravité ; c'est-à-dire, la somme des molécules électriques que contient la couche divisées , respectivement , par leurs distances à ce point , il faudra appliquer la formule (3) posée dans la page 3o du second Volume de la
PAR J. PLAlU
Mécanique Céleste; ce qui revient à considérer la couche comme la différence de deux sphéroïdes dont les rayons vecteurs de leurs surfaces sont r" et r\ D’après cette manière de voir nous avons d’abord
et eu mettant en évidence le facteur commun b , l’on aura
r= ^ (a n -h a «*) ■+• 4 « ir b . a' («'■•+• a a'-t- a'*) |
(a*+a n a-*-at'a % -+-«* ) —
-t- ^ - a ~ - (a'"'-t-a ,|, ii-t- .
-♦-etc.
Ai lucllcmciit , si I ou tu i t a'=a duos les termes multiplies par a , l oti aura
4 n ah
JC
-H etc.
ce qui s'accorde avec la valeur de V que l'on voit dans la page a(5 du Mémoire déjà cité.
Pour avoir les trois composantes rectangulaires de la force qui agit sur le point déterminé par les trois coordonnées polaires x f 0 et q, il
MÉMOIRE SUR LA DISTRIBUTION DE l'ÉLECTRICITÉ ETC.
faudra déduire de la formule (4) les trois quantités
-L(iL\ i Æ\
\dxj ’ x \ dO J ’ xsinfi V du J
Mais nous n'entrerons pas dans le détail des conséquences que l’on peut déduire de la considération de ces forces. IN’ous rappelerons seulement que l’on tire de là et de l'équation (3), après avoir fait x=r" et supprimé les termes qui seraient multiplié, par le carré de a;
De sorte que cette composante de la force répulsive dirigée suivant le rayon vecteur r", est, à la surface extérieure du sphéroïde, proportionnelle en chaque point à l'épaisseur y de la couche. C’est d’après cette propriété que l’on peut, expérimentalement, évaluer le rapport des épaisseurs de la couche électrique qui ont lieu sur deux points donnés
de sa surface. Cette variabilité du coefficient différentiel — (£) fait
un contraste frappant avec la valeur constante que reçoit V pour tous les points de la surface. En effet, si l'on fait x — a dans les termes multipliés par a, la formule (4) donne d’après l'équation (i);
4ira’i r” , L
c’est-à-dire une quantité constante égale à ^r.ab , en négligeant le carré île b.
§ ni.
Pour obtenir les deux valeurs de V que l’on voit dans la page 35 du Mémoire de Poisson , il suffit de supprimer la partie due à la sphère du rayon a dans les formules (3) cl (4) , posées dans les pages 3o et 36 du second Volume de la Mécanique Céleste. En outre, il faut observer que le facteur commun a . a est censé compris dans les fonctions jr., J’,, etc. Alors l’on a, comme Poisson;
(6) n -hr = « -+-/j -+-etc.
pour le rayon recteur de la surface extérieure de la couche; et
tyr.a
-p^-.-t-e te. J ;
pour les râleurs de V qui se rapportent, respectivement, à son action sur un point intérieur ou extérieur.
S'il était question d’une couche ayant
a -t-y = « -¥jr, •+■/, -+*/i ■+■ de- ,
pour les rayons vecteurs de sa surface extérieure et intérieure, les mêmes formules de la Mécanique Céleste, donneraient
y=t\«a )(/.—/.')•+■ —y ,)-l-etc. | ,
y =~\ (/.— rD+sî'J'— 7.’)-*- et c- 1 •
Mais, en faisant z.=y„ — J J ; «.sey, — j! ; s,=y, — y x ; etc. l’on pourra considérer les fonctions z „ , s,, s, etc. comme assujetties à la même forme et aux mêmes propriétés que celles désignées par y t , y , , , etc. C’est re qui derient manifeste par la seule inspection de l’expression générale de ces fonctions explicitement donnée par Lkcïndre dans la page 70 du second Volume de scs Exercices rie Calcul Intégral. Par le rapprochement des équations (6) et (7) il est facile d’en conclure , que l’épaisseur y de la couche peut toujours être déterminée par la fonction V et son premier coefficient différentiel pris par rapport à x. En effet ; en dillérentiant par rapport i> x les deux membres de l’équation (y), et multipliant ensuite par sr, il est évident que l’on a l’équation
Comme Tou a évidemment V — V , il est clair que le changement de signe du premier membre dans le passage de l’équation (g) à l’équation ( 10 )
doit dériver d’une différence absolue entre les deux quantités et ;
ce qui tient à la nature des forces exprimées par ces coefliciens différentiels.
L’équation (g) constitue un principe fondamental dans cette théorie . puisque , par son moyen, la recherche de l’épaisseur y de la couche est concentrée dans celle de la fonction V , relative à son action sur 1rs points qui lui seraient intérieurs. La masse de la couche dépend aussi de cette même fonction, puisque en faisant x = o l'équation (y) donne. aV =- f \Tt a jr a j c’est-à-dire la masse de la couche d’après ce qui a été démontré dans le premier §.
Pour la clarté des idées, il importe de ne pas perdre de vue, que les deux séries (y) et (8) résultent de la meme intégrale déGnie développée de deux manières différentes, aGn d’avoir une série convergente propre au calcul de la quantité V, soit pour les cas de x<a , soit pour les cas de x>a. L’expression unique de y est, en négligeant les quantités de l’on ire du carré de l’épaisseur y de la couche ;
PAU J. PI. AS A
p p j' sin 5'. dO'.d'J
où y représente une fonction quelconque de 6' et u' qui ne devient pas infinie entre les limites de l’intégration, et
p = cos 0 . cos 0 '-t- sin 0 . sin 9'. cos (a — o>' ) .
dF
(ia)
De là l’on tire pour l’eipression unique de ;
— ^5^ysin0'.d0'i/«'
„ dF r+ixjax
f* jy*in 0'.d0'«/u'
JJ ('-'î-'+py
Or y on ne peut remplacer ce radical unique et toujours positif par des séries convergentes sans observer que Ton a
\ a — iax.p-*-x u a a* a m 1
pour les cas où — < i ; et
Ÿu * — aflx./J+Æ
a n fl* fl* /flV + ' „
js * p f|,) "'~*~\x) f c) +|,|f ' ’
pour les cas où ~>i. En diHérentiant ces deux équations par rapport à x , Tou aura
-, (se+ . Æ P ; . J -4-etc. ,
( x jr‘v
pour toute valeur de x plus petite que a ; et
— (“-*-1) «Ir.
pour toute valeur de 2 ? plus grande que a.
Il est manifeste d’après cela que , ces deux valeurs doivent être, en général, inégales et de signe contraire , et que pour distinguer ces deux cas, sans exécuter aucune intégration, il faut remplacer l'équation ( 12 ) par les deux suivantes; savoir
sin V'.dS'd»'
„ df
J'-t- a jr -j— r= dx
Il ‘Jlt
-= — /> .7. /i-h 1 P (m) .ysin$'.d6'dt>' ;
où le signe 7. s'étend ù tontes les valeurs entières et positives de n depuis n —o jusqu'à n = oc.
Il est clair d’après cela que, dans le cas particulier de x = a, le second membre de ces équations devient égal et de signe contraire. Et comme en meme temps on conclut de l’équation (n), que les deux valeurs de V sont alors égales et de même signe, il faut nécessairement
admettre que les deux valeurs de sont inégales. Ce que l’on démontre ainsi d’une manière générale serait confirmé par le calcul dans tous les cas où la double intégration du second membre de l’équation (ta) serait possible sans développer le radical. Alors, la double valeur de l’expression que l’on aurait serait inhérente à la condition que le radical a toujours une valeur positive dans les élémens de l'intégrale. Au reste, en posant ÿ=f( 6', w'), il est possible de démontrer, sans développer le radical, que la limite vers laquelle converge la double intégrale ,
à mesure que la quantité i , toujours positive, décroit pour s’ap-
procher de zéro est -t-4 ***.J\ 8 , «); et qu’elle est égale a — a) lorsque l’on prend — — i pour la quantité positive évanouissante. On
peut lire dans le Chap* VIII de la Théorie de la Chaleur de Poissoa , les détails de l’admirable explication qu'il a donnée de ce paradoxe de Calcul Intégral.
La comparaison des équations (9) et (i 3 ) fournit l'équation
n sic
( 1 5 ) 4*J'= : E-J'J'(3n '+- 1 )P lm} f'sia0'.d9'.do' ,
à l'aide de laquelle on pourrait déterminer, par les quadratures , les différens termes -t-^.-t-etc. de l’épaisseur jr, même
dans les cas où la fonction f serait donnée d’une manière discontinue. En calculant ainsi, pour choque valeur de n, un nombre 5«+ i de valeurs particulières correspondantes aux coordonnées polaires
censées connues, l’on aurait le nombre suffisant d’équatious qui est nécessaire pour déterminer l'expression générale de^-.. Car l'on a d’un côté
* Il
et par d’autres considérations, si l’on fait jx =2 cos 9 ,
( 1 — a fl .s-*-s') i = i-t- <?,, ,s -h <? (l) s*-t- Q m z’-t- h <?(., :”-H etc. ,
l'on a ;
MÉMOIRE SUR LA DISTRIBUTION PC l’ÉLECTAICITÉ ETC.
y. = A l . ) Q { , ) +s\aS(B { . ) cosu+C (l) sinw)'-^ ;
y, = A M Q, x - 1 - sin 5 ( 2? (1) eos a ■+■ C (t) sin s>)
jq m
dp
•+■ sin* 6 (Z? w c os a 0 )-f-£', 1J sin a a)
y, = A m Q w -Jr sin 5( Z? (1 , cos a -f- C ( „sin a)
-+- sin* 0 (£> (JJ cos aa+ C (J; sin a a)
- sin 1 G (i^,, cos 3 &i - 4 - G ( i ; sin 3 a) i
etc.;
où A t ,), /? ,) etc. sont autant de coefiiciens indéterminés.
Après ces généralités je reprends la considération des deux équations ( 7 ), ( 8 ), lesquelles étant diflcrentiées par rapport à x donnent
( dy\ , 1 1 a x 3 x* 4 x 1 1
-(s) s -^k' + 5 , ^‘ + ï ^ + 9-^' +elc ! *
( dV\ 4na*l a a 3 a* 4 a * . I
-y=VK* + szS’+sP-r'+ï ?*-*-**- 1 •
En faisant x = a, et nommant T la première de ces valeurs de — ( Sx) j et T' la seconde , nous aurons
7 ’ =- 4* 1 3 /. + |-r, -t-^-*-elc. | ,
pour les composantes de la force que la couche exerce suivant le même rayon vecteur , relativement à deux points électriques dont le premier serait placé sur la surface intérieure et le second sur la surface extérieure. Malgré l’excessive proximité des deux points sur lesquels ces forces agissent.
