AT
^(iH-^x.Xx, — i)‘ — x t ^3-t-^x ( * — — .“)
! (i -i- qx, )(x, — i )'-f-(4x i -t-'j8x i ! — 6Gx, s )(t — fi)
U^ssX "<
Cela posé si l'on substitue pour x sa râleur — — - , et si l'on fait
pour plus de simplicité , l’on aura
F ;, )=£/ s j (4^) A - (4 ^ aA + *>)( , h) J .
f( 8-4-A) — 3(i-+-*)»J(, — fa)
/ ( I 0-4-6 I -4-A j[66— 9Ô( i -*-&)*— 4( i-h 6) »]( I — fA) \
— ( H-6)[i io-f-a ( i -»-*)*] ( i — n')
[ ( < , -^)*-m4o( ,+ty*5( < ,- F )\
de.
Relativement aux quantités j®, Q [S * etc., il importe «le remarquer que l'expression île Q^"'- peut être écrite ainsi: savoir
et cela , à cause que le polynôme
7 — — :> ~T“ eu*,
devient égale à zéro pour toute valeur entière de n plus grande que l’unité. Comme les coefliciens P tJ P t etc. deviennent chacun égal à l'unité en y faisant fL=i, il est clair que Ton a
Pt - > =-^( < ;
La forme (les fonctions P* 1 ’, P 1 * 1 , F !>) etc.; Q l)) , ç< 5) etc. est maintenant telle qu’il est facile de vérifier, que la première ligne de la valeur de y donnée par la série ( 127) , ainsi que chacun de scs termes, respectivement multiplié par A', B’, C etc., devient nul en y faisant , comme cela doit être. Cette série cesserait d’être convergente en s’éloignant du point de contact; mais elle est avantageuse pour calculer l’épaisseur de la couche électrique aux environs de ce point. D’après cette propriété et la propriété analogue de la série ( 1 2 1 ) il faut regarder les séries (131) et (127), comme propres au calcul de l'épaisseur électrique vers les extrémités opposées de la couche ; et cet avantage suffit pour 'rendre raison des détails dans lesquels nous sommes entrés pour établir ces formules lout-à-fait nouvelles avec toute la clarté [wssible.
A l’égard des points intermédiaires il y a une troisième série qui s'obtient immédiatement à l’aide de la formule primitive (H) trouvée dans le § VII. En faisant P=o , et g=h , cette série donne
(129) f(x)=zhb 2 . ï hb 2 . D 1 j- ■ ,
’ -, P-q* • pf-qx
après avoir fait
Donc, en appliquant à chacun de ces termes la règle démontrée dans le § V, nous aurons la série que Poisson trouve dans la page 74 de son I er Mémoire; c’est-à-dire
(1 3 0) 7 (p, x)=l,b\(B-RJ)-i-(n— il/ fl,')-4-elc.J ,
où l'on a
H.'= [p" — ip'rfn • * -+- fx' J ~ 1 ;
II suit <lc là, et des formules (39) et (1 30) , que l’on a
O t * CO f» f»
( 1 3 1) . . . — — — kbTL. — 2 - j .
( p * — 2pq.cos0+q x f 9 (p n — 2jJq'.C0S r J-+-q n *
En remplaçant b par j, Ô par $ % i et y par bz cette formule donne
(17" — iq'q.cosO,-t-q‘)‘ ’ (p" — 2 p'p.cos$ i - 4 -p‘) s
pour expression de 1 épaisseur z de la couche qui recouvre la sphère du rayon b.
En faisant le meme changement dans les formules (tai) et (127) l'on aura les valeurs correspondantes de z ; mais nous nous dispensons d'écrire ces formules pareeque leur formation est tout- à-fait évidente. Pour faciliter le calcul arithmétique de la formule ( 1 3 1 ) nous ferons
(y=t»ng.(45*
•ni
cos £=cos$.cos2 II ;
tang. n
^ = tang.( 45 "-t-ll') ;
00s Ç'= cosî.cos 1 1l’ ;
A-t- an(i -t-6 ) ’ ,a "S- n 3 - 4 -n(i -t-A )] ’
ce qui donne
h b “ cos(45“-4-ll).sinaII h b t cos (45'-t- II'), siu a 11'
77TZ ïïpï . , . , I,,
PAR J. Pl.ÀNA
-, ii > . • . rr ^ , b COS (45' , -f-n ) ..
Et comme l équation tang. H = JT+'îq ” onnc ÿ = y= i * smTï 1 1 eî!l
clair que Ton a
. , * cosIT.sinMï . £ cosfl'.sinMV
( 1 33) . . . jr=h.*. h.£.‘
sin\ - Ç
sin’.-Ç'
Maintenant j’observe, que les deux angles II et IT étant liés par l'équation
< *34) tang. (yo* — fl' ) = ^ -t- tang. (go*— Il ) ,
l'on pourrait développer l’angle n’ par la série connue (*) ;
(i35) . . . n’=n — i'-+- sini/. cos(a FI — i p') — ^ sin‘if sin ( 4 n — af)
— ^sin J ^'.cos(6n — 3f')-+-^sin'é'. sin(8n — 4 'Z)
-+- ^sin'<|/.cos( 10 II — 5 </>') — gsin‘^'.sin ( iiü — 61 Ç) -♦-etc. ;
où l’angle : V est déterminé par l’équation tang. •
Mais, en général, il conviendra de faire tang. ^"= ï— , et de calculer l'angle 11' d’après l'équation
sinll.sinii"
tan 6 n = sin(.l-fr) ’
Lorsque b sera un nombre entier , si l’on fait ■n b(b^-an)
J(£-4-n)‘ — 2n(b-+-n )cos 0 -\-ri |* n' = n(l -+-A) ;
(*) Vojei page 941 du fécond Volume dea Exercice* de Calcul Intégral de LtcEirpaa.
Il8 MÉMOIRE SUR LA DlSTRtBUTIOJI DE L'ÉLECTRICITÉ ETC.
il est clair que l'on a
(/»’ — îpq.cosO-t-q'f (p" — ip'q’.cosO-^-q 1 ') 1
et par conséquent
(■36) <r ft*|i.r,-£.r iAM | :
donc en faisant
tang. A = y ^ 2n > costf = cos î. cos a A ;
,, cosA.sin*. A
sin’.-*
l’on aura T m =s i . U. ; et
Si l'on veut savoir a priori combien de termes de cette série l'on doit calculer pour avoir y avec un degré donne d'approximation , l'on
fera 7\ = ; ce qui fournit l'équation
^(6 -4-7» )* — 2 7i(6-4-t*)cos 0-4-7»*^ =£*(6*4-271)* io a *,
nu bien
( 6 \*j* £‘(6-4-27»)*. io àX
T ^ > === 6 .'il, *
asm. -0 11 a 6 , sin - 6
En prenant le logarithme tabulaire des deux membres de cette équation , nous aurons
PÀJl J. PLANA
I 3Log.|n(6-*-n)-»-^ as i n i •)'l — a Log ( A -+- a n ) |
= 3 X-»- 3 Log. A — 6 .Log. a — 6-Log.sin.^ 5
De là il sera facile de tirer la valeur de n à une unité prés.
Soit, par exemple, 5 = 3o"; A = i ; 1=3; nous aurons
3Log.|rt(i-»-n)-+.3, 73 ao 5 j — aLog.(i-+- 3 «)= 4 , ig38a-t-3, 53303 = 7 , 7 i5S4-
i n prenant ^=119 le premier membre de cette équation devient 7, 70773, et en prenant n=iao il devient 7,73330. Ainsi il faudra calculer 1 30 termes pour avoir la valeur de jr à un millième près.
En faisant 0 = Go*; A = 1 ; à 3= 3 , l’on a l’équation
3 Log. | n(t -+-«)•+• 1 j — 3 Log. (t ■+■ an) = 6 ;
ou il suffit de faire n = 44 , puisque sou premier membre devient 6, 00187.
En faisant 6=90“; A = 1 ; X= 3 ; l’on a l’cquatiou
3 Log. j n(n- 1- i)-t-o, 5 | — aLog.(t-t-an) = 5 , 09691 ,
où en posant 11 = 3 6 le premier membre devient 5,09139.
En faisant 5 =i 8 o”; A= 1 ; X = 3 ; l’on a l’équation
3 Log: j n(i -+-«)-*- 0, 35 J — aLog.(i 3 «) = 4, ig383 ;
où en posant n=i 5 le premier membre devient 4 , > 5 ga et en y faisant n = ■ 6 il devient 4, 3669.
En posant 5 = 6 o“; A = a, X = 3 , l’on a l’équation
3 Log. | n(a-+-n )-+-4 j — aLog. (t -+■ /i)= 6 -+- 4 Log. 3=7, ao 4 ta .
Eu prenant n = 48 , le premier membre devient 6,7635, et en faisant « = 49 11 devient 7, 79744.
Comme le nombre n ainsi trouve représente un multiple de i-fr-6, il faudra le diviser par 1-1-6 et doubler ensuite le quotient pour avoir le nombre total des termes de la forme U* qu’il faudra calculer.
Si l’on demandait le nombre des termes relatif au second membre de la formule (t 3 i), il faudrait tirer la valeur de n de l’équation
( p * — 3 pq . cosQ + q')* 10
laquelle étant traitée d’une manière tout-ù-fait analogue à la précédente deviendra équivalente à celle-ci ; savoir
3 Log. | ( 1 -t-b)n [A-*-n( i -t-*)] | - aLog J H-an( i -ni) J )
I = 2 / 2 Log. b — 6 Log. 2 — G Log. sin. — 0 .
Les formules (121), (127), (i 33 ), et (137) que nous avons démontrées dans ce §, offrent, par les séries, une solution complète du problème concernant la loi de l'épaisseur de la couche électrique qui recouvre les deux sphères en contact. Cette solution deviendra beaucoup plus intéressante en la rapprochant de celle, sous forme finie, que nous allons exposer dans le § suivant.
En terminant ce § il ne sera pas inutile de faire observer , que la série (i3i) présente un inconvénient analogue à celui delà série ( 121 ); c’est-à-dire que l’on obtient j— — oc pour 0 = o. Car, alors l’on a
