A)* — a(i -\~b)px~\~x l

Pour pouvoir appliquer immédiatement le même principe au second tonne, j’observe que l’on a

donc, en développant le binôme f i — suivant les puissances

entières et positives de x, et multipliant ensuite chaque terme par i, P,, P„ P , etc. , rcs|>cclivcment , l'on verra que le terme

introduit dans ?(ft, x) 1 intégrale definie

hb Ç dl

<(A-t-<)ftx-M‘x“

h b f dt

i -4 -b’J y b'-i- 2 b(i — ptx)t-t-(i — a/ix-4-x‘ )t‘

Kn appliquant au troisième et au quatrième terme de f(x) la formule

au Ver; y—,

a ‘-t-u a u y— 7 a — uy~t ’

l’on aura

a(t -t-A)fi x)< V37 JCT,

YEH YB

Donc, le troisième terme de f(x) introduira dans ?((*, x) l'intégrale

quatrième

terme introduira l'intégrale

-hby-x

f dt J ,

où l’on a fait pour plus de simplicité ; P =b‘ — (i-t-i)’(i — 2/in -x')Y ;

Q =ai(i -t- A ) { i — iix)t ;

P'=( i - 4 -i)( I -I- b — 2px)-4-x*— ( i -t -4 )‘( l — 2 ,ux-t-x’)l’ ; Ç>'= 2(1 -+-A) J 1 — î^x+x'+i) 1 — px)jt .

La Somme de ces ijuntrc parties donne

2 2 y A‘-t- 26(1 — iix)- 4-1 — i/tx+r 1

hb f

■ hb\ :

y Ù‘-*-2 b( I ftX)<-l-( I 3/J.X-hx')/'

f dt

— f dt

) IY J'-t-QlB V^-QV-

PAR J. TL ktlk 133

Maintenant, si l’on veut faire disparaître les imaginaires, il suffira d'appliquer ici la formule

y-, y-, syjà

y A+BY-i Y J'+ï? :

mais, la forme affectée du symbole imaginaire est préférable pour obtenir l'eipression de l’épaisseur j de la couche , laquelle doit être déterminée d’après l’équation (29); c’est-à-dire, d’après l'équation

r=-'An,

où l’on doit faire x= 1 après la différentiation. Nous allons exposer le calcul qui fournit cette formule.

Après avoir fait x=zi , l'on trouve

P=b‘- 2 (,+b)‘(,— rtt* ;

/ y =sà*-+-a(i -♦-*)( t — f») Ji— (i-t-£)t*| i Q'=3(m-ô)(a-t-6)(i— n)t ;

^ = 3(1— -ix— bp.)— m)»‘ i ^ = 3(i+i)(a — 3ft— 6ft)< .

Il suit de là que , en posant ,

ia4 MÉMOIRE SUR LA DISTRIBUTION DE l’ ÉLECTRICITÉ ETC.

A/=(n-6)*(i— fi)<* ;

N =( i -+-è)6(Ji/ ;

M'z = — ( i — ft — i ■ 4 -é)*( i — fi)<* 5 jV' = — ( i -hb)(i — 2 f ;

l'on a

~(P+QY=-,i ’

d.(P-QY-,)~ l

~(p-QY=iy ’

d.(P'^rQ '\- 7 p

Nous trouvons de même

t -^-\b x -*-*b( i — ux)-+- i — QUX-+-X 1 a Je

|é*-J- ai(i— f»)-|-a(i — fi)(’ ^-lè*H-a A( i-uJC)i-f-{ i — afLX+.r’)/'J l = — — — — j 5

Cela posé l'on trouve saus difficulté que, en faisant pour plus de simplicité

P+iM = H j Q + zN = S ,

P-t-iM'=R‘ ; Q-*-iN'=S' ;

l'on a ,

PAR J. PI. ARA

a|A'-+-a(t ■+■/>) (t — fi)|*

hb C

TTï j F

A‘-4-3é(l — fi)<-*-a(i — <t)/* trft.j&p.— (1 — ^)t|

2hb Ç tdt.\bi± ”+- y J 1 6’-+- 2 A ( 1 — f

j (i<-»-.yy-,) (R-sy=r,) l

C dt l (*'+j'y=r.) (H'-S'v-,))

J ver;)* (P' — Q'y^ï)*)

En appliquant ici les deux formules

xdx a(a A-t-Bx)

(A+Bx+Cxy— (4JC-1T)V A+Hx + Cx' '

x'dx 2 AH—(^AC— 2 B‘)X

( A+ Bx+Cxy- C(4AC-B‘) Ÿ A-hBx-t- Cx‘

ifÿ

^ A + Bx + Cx' ' ion obtient, après les réductions qui sc présentent;

f KA‘-+-aA(i — fx.)t-h2[t — [4*.

2 tdt\bn — (* — M)<1

|A‘-t-aA(i — a ( 1 —

Donc en substituant ces valeurs, et observaut que Ion a

P = b‘ ; ff'=é(3H-é) ,

lé 1 -*- a ( i -*-A ) ( i — M ) I * h b'

(i -t-b){ i — jajy 6'-4-a(i-t-i)(i —,a)

, l.C n dt . LL ,f n dt

où l’o» a fait pour plus de simplicité

\fi-t-a(i-t-A)ey^ï] [b— a(i-4-é)ty^î] j

Y \ (p-t-çy- T ) 1 (p-Qy-,r \

(fi-t-3-t-a(i-t-*)ty-^î] fA-»-a — a ( i -v-*) i V— ï] i

iras— yn7 r v — — f > •

Cette valeur de j peut être écrite ainsi ;

, A AA aAA

( a ' >r ÿJ£j r y{ [ , I — U.) { A-t-y/j‘-+-a( I -+-*)( I — u)î

-fAA | %rt -»- ;

où + comme dans le § précèdent.

Relativement au tpialrième terme, il faut observer, tju en faisant par t l'on a

et par conséquent ;

„ „ — jfA-+-a{. - 4 - 6 )tV— '] [*-»(« I .

n«*v=« p Tÿi — ~rpr — \ •

„ — j r*-+- 3 -t-a(n-A)/V-^ 7 ] [* -»- a — 3(i-*-b)/\pP<]l

n-Hn'=v^7|4(i-4-i)<y-^ — 4 (i+i>)ty-, j=o .

De sorte que celle expression finie de l’épaisseur de la couche électrique a la propriété de devons' nulle as peint de contact. Et comme la partie algébrique est précisément la même que celle que l'on voit dans le second membre de l'équation (137), il faut en conclure que la série ordonnée suivant les nombres BtvwauUiens A', B', C 1 etc. représente le développement de l'intégrale définie

A *.fk±±iÜ.

ce qui est un fait touUà-fait digne d’étre remarqué.

Maintenant , pour faire disparaître les quantités imaginaires . je fais

P = U cos <f ;

P’= f/'cosf' ; b =jTcosi^ ; b - 1-3 = r'cosf ; ce qui donne

Q = U sinj ;

Q‘= f/'sinç' ;

3 ( « -I- A ) / = y sin ; 3 (i+i)(s 7 "snij>' ;

a 7 ’ sin

CPl

6 sin. -g — at(i-t-/>)eos

Il'=—

» 7 "sin(^'~f)

3) sin .-c'~ 3t( 1 -t-ô)cos.- ç' | .

138 MÉMOIRE SU» l.A DISTRIBUTION DE l. ÉI.ECTRIC 1 TÉ ETC.

En appliquant à ces fonctions les formules P

eos.- = 1/ --+--.-77 i

sin.^tp =sin .^ 9(4

COS .-ç I

' v? u'.ÿu+p'

ens .^ f =cns.i ? ^4, l oti trouvera ,

cos'.^f— 3 ]

*V if> Q\ h

"*■ cr ) fi’ - p\

f/” fy

Q’Jfïj A-*- 2 2t(l-t-A)(

c‘ )yrr^

Pour réduire ultérieurement ccs formules, j'obserse que l’on a

^=6*-4(i-+-i)Vsi.i\i9 ;

Q = 4A( 1 -t-A)t sin*. :

P'=b‘- 1-4 (1 -t-A) 1 1 — (1 -+-A)t‘ j sin“.^5 ; y=4{< -t-A)(a-4-A)isiii\^5 ;

d’où l'on tire

<?‘= f/'= A' — 8 A' ( 1 -+- A )■ /’ siu*. - 5 . cosî-t- 1 1» ( 1 ■+• AJ'f'sin*. ^ 5 .

Donc, en faisant ,

4(i -*-6)'.sin\-5

Tz=Y H — A ;

B—\ t ' — a Al'. cos 0 ■+■ A ‘ ;

nous aurons ;

. nr\ b't(A — <*) .

/><? <‘) fTj+P (t + b)A'T '

PQ b't[A—t') U ~ P (i-*-b)A'T’

n a Yi-A't(A—t')\b a t(i-t-b)\ b'(i+b)R‘ j T T i

. V^- AU t b tUt+b) ,

Pour exprimer d’une manière analogue la valeur de II', remarquons ijue l’on a ;

P '=b'+- v - b 'Èï i o'=Ü^i.

Donc eu posani

R— < a -t-*)-Ma-*-A)(i A-b)A ; t’=(a I -t-6 ) ,

nous aurons

cl ru faisant

P* O' s= b* t.( B — Cf)

V (i-¥-bfA'

B' = y <*— lA't'-i-ir ;

l30 MÉMOIRE SUR l-A DISTRIBÜTIOX Dt L’ÉLECTRICITÉ ETC.

il vieillira

il suit de là que si l'on fait

T m = V (R'+t){i+b)-t — AU-t-b) ;

1 uii aura

P\r Vt{B — Ct) .

P'Q' bH(B-Ce)

rv t ^P'~~ {y+bf.Âr'' ;

,VïJnn-cu‘) jfc-t-a

il — i i ~~*rw

V{t+bfR n 1 1

Y^A'tlî-lrb) | A-t-a . 3/(1 -t-/') |

De sorte que nous avons ;

hyiA

rf/(n-»-n')

I tdi

lr +

-cü*H

fi-4-a a/(i

(i-f-6)(a-4-A)fi-t-:

Nous allons maintenant exposer la transformation qui peut faciliter le calcul tic ces deux intégrales. Soit

H — Ÿ — a 7 <\ cos 5 - 4 - 7 “ Au :

les limites de la nouvelle variable u , correspondantes à t=o et <=oe, seront «=t, u= — cos9. Il suit de là que, en posant

K=H‘-t-3«.COSÎ-t- i ,

nous aurons

i ' \u-4-eos9/ ’

a u - 4 - cos 0 9

<U =-ÏÂ (u-t-cos9) l .Ydu

T" ^ 1 cosS).(i — «)

« cos 9

Il suit de là que l'on a

dt (rt-t-cos9) , </M