XXII

Appliquons maintenant l’équation (a35) à quelques cas particuliers afin de mieux découvrir la marche de la fonction dont le second membre

oifre le développement. Soit d’abord a— 1 et b — g. Alors, le rapport 2 = i, 3g664 sera celui des épaisseurs électriques qui s’établit au contact

des deux sphères, ce qui donne trouvera

Cela posé , l’on

d'où l'on tire; c — a — é = (o, 4o3646)a , pour la distance à laquelle il faut éloigner les surfaces des deux sphères, suivant la ligne des centres , pour que l’intensité électrique soit de nouveau nulle au meme point de la plus petite des deux sphères, qui, auparavant, avait été mis en contact dvcc la plus grande. Ce résultat est fourni, comme l’on voit , par le calcul d’une série dont la convergence, depuis le troisième

terme , est manifeste : et l’on peut regarder la fraction o, 4o365 comme exacte à un centième près au moins.

Si l’on remarepte actuellement, que la formule (ai 8 ) démontre que l'on doit avoir c— a — 4 = o, 35c>48 , lorsque a=i et que le rapport

— devient une quantité infiniment petite , l’on en conclura que la distance , dont il est ici question, est plus grande de cinq centièmes environ pour deux globes ayant le rapport de leurs rayons exprime par la fraction finie - 1 . , que pour deux globes dont le même rapport serait exprimé par une fraction évanouissante. Au reste, les idées seront mieux fixées sur ce point, en observant que si l'on prend a= i et b= l'on a, d'après le calcul exposé vers la fin du § X ,

t, 6 a 4 ai ..

et par conséquent ;

Z/e=o,35goo ;

— L"= 0 , oo3oa ; a *

tr '

f'.c résultat met en évidence, que l'accroissement de la distance c — 11 — b est très-lent depuis -=o iusiiu’à .

Dans l’expérience citée an § XX l’on avait ,

D'après cela , nos formules donnent

Et comme, ici, le sixième terme surpasse le cinquième, il faut regarder cette série comme une de celles que Lf.cfndre a nommées demiconvergentes y et s’arrêter au cinquième terme j c’est-à-dire prendre

Donc en prenant 4 = 66, l’on aura, en lignes du pouce français, c — a — £ = a6 “*■, 46 > tandis que Coulomb trouvait 39 lignes. Mais il est au moins permis de douter que celte expérience ait été faite avec des moyens capables de rendre inadmissible une différence, en excès, de trois lignes environ entre l’observation et la théorie. D’ailleurs , si l’on calcule par la formule (301) l’intensité électrique s, qui doit avoir lieu à la distance c — a — £=(0,43989)4, où Coulomb voyait le passage du négatif au positif, on la trouve positive et égale à la vingtième partie de l’intensité moyenne A qui se manifesterait à la surface de la plus grande sphère. Ainsi, il est naturel de penser, que cette force était trouvée nulle , pareeque , elle échappait par sa petitesse aux moyens employés pour la mesurer. De sorte que , on ne saurait tirer de là aucun argument contraire à la théorie mathématique de ces phénomènes.

Pour a =1 et £ = ^ l’on obtient directement à l’aide de l’équation (301),

c — a — £ = (o,36ooo)4 .

La distance que nous trouvons ainsi a priori , sera donc, pour 4=66 1 ** et £ = 33 , ‘ i , de 66.0, 36ooo = 33 ,if -, 76. Et Coulomb, dans un cas fort approchant de celui-ci, où il avait a = 66 et £ = a4 l,, ‘, trouvait c — 4 — £ = 24 ^ (*)•

(*} Vo je* page 450 du Volume de l'Académie de* Science* de Parta pour l'année 1787

P A fl J. PLANA

Pour comparer avec plus de précision le résultat de cette expérience

avec celui de la théorie, j’ai calculé par la formule (201) l'intensité s

qui, pour a=i cl — = — , reponu a

c — a — £ = 0,39 et à c — a — 6 = 0,4° •

J'ai trouvé , pour la première , l’équation

s = ja \~( o , 435416)— 0,54357! ;

et , j>our la seconde , l'équation

* Maintenant, si l'on lait ici y = i , a 3435 , l’on obtient ces deux valeurs

de signe contraire-, savoir z — — ^(o, oi 683 ); z — A (o, 3687 1 ). Ainsi, il est manifeste que la véritable valeur de c — a — 4 est comprise entre o, 3 g et o, 4 o, et qu’elle se rapproche davantage de o, 3 g : d’après cela nous avons fait c — a — 4 = «(o, 3 ga) ; ce qui donne r — a — 4 = aS" 5- , 87 pour le cas de l’expérience de Coulomb. Mais il faut avouer , que l’on n’a pas la certitude , que ces expériences de Coulomb aient été faites avec la précision convenable pour être comparées, jusqu’à ce point, aux résultats de la théorie.

Toutefois, je ne puis admettre entièrement les doutes énoncés par Poisson dans les pages i 3 et i 4 du préambule de son premier Mémoire, au sujet de l’expérience relative aux deux sphères dont les rayons étaient de 66 et 13 lignes. Car, sur ce point, il est essentiel de remarquer, que la distance

était calculée par Poisson , en supposant infiniment petit le rapport - des deux rayons : ce qui est absolument inadmissible dans le cas acb 2

luel où -=— . De sorte que, l’argument employé par Poisson en

:>3o MÉMOIRE SUR LA DISTRIBUTION DE I.’lLECTUICITÉ ETC.

faveur de son résultat perd toute sa force dès que l'on arrête (connue il l'a fait) le calcul au seul premier terme de la série.

Celle expérience de Coulomb étant fort importante sous le rapport de la comparaison entre la théorie et l’observation, )’ai senti la nécessité de développer au moins les six premiers termes de la série (a35) afin d'acquéiir la certitude , que malgré la lenteur de la convergence de la série l'on pouvait adopter avec confiance le résultat qu'elle donne dans un cas aussi défavorable pour une déduction a priori. Et pour écarter tous les doutes, il suffira de dire que la valeur de c — a — b ainsi trouvée rend sensiblement nul le second membre de l'équation ( 30 i), ainsi que je m’en suis assuré par le calcul. L'on a par là une explication complète des motifs qui m’ont déterminé à pousser jusqu’à son dernier terme la solution de l'équation (î 33) pour obtenir le résultat définitif exprimé par l’équation (a35). Ce résultat (que j’ai eu le soin de vérifier plusieurs fois) est étonnant par sa simplicité, si l’on veut bien méditer sur l'excessive complication des calculs intermédiaires. Il est, à mon avis , d'autant plus remarquable en ce qu’il présente la solution d’uu problème qui avait échappé aux recherches profondes de Poisson : car il s’exprime ainsi eu parlant de la distance c — a — b dont il est ici question : a il parait difficile de déterminer cette distance a priori , » lorsque les rayons des deux sphères que l'on sépare sont donnés ».

La série (a35) donne celte distance, par approximation, même dans plusieurs cas où elle devient divergente, pourvu que l’on ait l’attention de la terminer là où commence la divergence. C’est de quoi l’on a une preuve frappante en l’appliquant au second cas extrême ; c’est-à-dire à celui des deux sphères égales. Alors l’on saila priori que, c — a — b — a, est l'unique distance où l’intensité électrique puisse être nulle. Or, en appliquant ici nos formules générales, il faut prendre a — i , b= i ,

a = ^ ; ce qui donne

Z.' = yi — 1=0, ^ 3 ao 5 o ; = o, 16666- ;

Donc, en rejetant U* et prenant seulement les trois premiers termes, Ton aura

c — a — 6 =o, 7.3 ao 5 — o, 16667— -o, 55283 1 =0, 01216 j

c’est-à-dire une distance qui n’cst pas très-éloignée de la véritable.

Au reste Ton comprendra mieux cette remarque par l'application suivante qui m’est suggérée par une autre expérience effectivement faite par

Coulomb. Soit a=i , 6 = —: alors l’on a

De là l’on tire ,

donc en eicluant te terne multiplié par L”, nous aurons

Maintenant, pour prouser que cette valeur offre au moins une approximation, j’ai calculé par la formule (201) l’intensité z qui répond à

et j’ai trouvé

d’oit l’on tire ^en prenant ^ = 1,07219^ ,

Le signe positif de z nous indique que la distance o, 33486 est trop grande pour avoir z = o : mais en la reduisaut à o, 37 , et refaisant ensuite le même calcul, j’ai trouvé l’équation

laquelle donne z = — A (o, o 333 i). Il suit de là que la distance c des

a 3 a MÉMOIRE su» la distrioutiok de l’électricité etc.

deux centres qui rend de nouveau nulle l'intensité électrique est telle

que l'on a

en prenant la moyenne , I on aurait

c — a — A=(o, 3 oa 4 >) a •

De sorte que pour le cas de a=G6 l ’ tÉ et £= 48 “* l’on devrait avoir c — a — i = i9 u, -,96, et non c — a — b= la 1 *- comme Coulomb le dit dans la page 45 ° citée plus haut. Ici il y a un écart sensible entre la théorie et l’observation ; mais il faudrait répéter cette expérience avec toutes les précautions qui sont nécessaires pour en assurer l'exactitude, avant de vouloir prononcer qu'elle a assez de force pour infirmer une théorie solidement assise, et d’ailleurs en harmonie avec d’autres expériences du même Physicien.

Ces calculs doivent toujours être exécutés de manière à pouvoir garantir l'exactitude du résultat à un centième près au moins. Et a cet égard, sur le calcul fait par Poisson pour a=t, c — a — A=^ ,

il faut observer que notre formule (aoi) donne

et par conséquent s = — ^(o, 11811) = — 5(0,09036), lorsque l’on

prend — = i,a543i , qui est le rapport entre les intensités moyennes A

qui s’établit au contact des deux sphères. Poisson trouvait z = — 5(0,0704) ,

parreque il n’a pas poussé assez loin le calcul de la série (*).

A l’aide de l’équation (aoi) j’ai fait un calcul semblable pour « = i , 1 5

b — -\ n=i, i = s ; o = t, t=£ , et quelques autres cas oi’i

l'emploi de l’équation (a 35 ) n’était pas admissible. Je regrette de ne pouvoir trouver place dans ce Mémoire pour y consigner les détails des calculs que j’ai exécutés sur ce point : l’on y verrait mieux le degré de convergence qui répond à chaque cas particulier. Mais voici du moins, dans leur ensemble les résultats que j’ai trouvés :

(•) Vojm page 44 de son second Mémoire.

a34 MÉMOIRE SUR LA DISTRIBUTION DE l'elECTRICITÉ ETE.

Cette petite table est propre à mettre en évidence la marche de la courbe qui aurait - pour abscisse et c — a — b pour ordonnée, depuis

~=o jusqu’à - = i. Elle suffit même pour faire connaître pour toute

valeur donnée de - la valeur approchée de c — a — b. Et si l’on voulait

un plus grand degré d'approximation l’on y parviendrait à l'aide de l’équation (aoi), en essayant deux valeurs de c capables de donner

pour deux valeurs fort petites et de signe contraire, afin de pouvoir

prendre ensuite la valeur moyenne. S’il s’agissait d'expériences d’une extrême délicatesse, ce serait le cas d’employer la méthode des approximations successives de Newton pour obtenir le degré de précision qui serait exigé pour une comparaison lout-à-feit exacte entre la valeur théorique et la valeur observée de c — a — b.

Relativement aux valeurs de c — a — b , correspondantes à des va-

leurs de j comprises entre -=0,9 et t=i , leur calcul devient plus

pénible: mais si l'on se contente d'une première approximation, on pourra les calculer par la formule fort simple,

p — a — A = o, ao 5 — ^ - — o, 8^0, 20 — — o, — °> 9^8, a 5 ,

que l’on obtient , à la manière ordinaire, par la considération d’un arc parabolique.

En général , lorsque la distance c — a — b devient fort petite , et même évanouissante , les développemens précédeus deviennent illusoires. Alors, l'on ne saurait calculer les épaisseurs électriques j cl s à l’aide des formules (ig 5 ) et (196) sans les transformer convenablement. Pour opérer cette importante transformation il est d’abord nécessaire d’avoir , sous forme finie, les expressions de et î; et c’est à quoi l'on parvient par l'analyse que je vais exposer dans le § suivant.

TAA J. T I.AKA