CHAPITRE SECOND

LOIS DE LA DISTRIBUTION DE L'ÉLECTRICITÉ A LA SURFACE DE DEUX SMIÈRES CONDUCTRICES EN CONTACT.

§ vn.

Considérons maintenant d'une manière spéciale le cas où les deux sphères électrisées sont en contact. Soit a=t et c = i -\-b : en faisant en outre

l'équation (£) donnera

Nous pourrions faire, dès ce moment, g = h ; mais comme cette circonstance ne facilite pas l'intégration de l'équation (G), nous introduirons plus loin cette condition. D’après la forme linéaire de cette équation, il est évident qu’en établissant séparément les trois équations

$—,X J (jS-yx) -0 ’

(3 — yx 7 V)3— yx/ ’

l’on aura l’intégrale de l’équation (G), en prenant pour f (x) la somme

fw+r w+yw

Cela posé; considérons l’équation (G') et remarquons que, en posant

l’on o

J \j=^J-(Bp-C/)-(By-C)x ‘

Donc l'équation (G') donnera

A Ab

H—Cx ~ (B$— Cy) — (Z?y — C)x~° ‘

Or il est clair que l’on rend celte équation identique en prenant les coeflieiens B H C tels que l’on ait

n$—C t =zBb ; B-j — C—Cb ;

ce qui arrive en faisant B — i , C= i .

Ainsi, A, étant une constante arbitraire, l’on satisfait à l’équation (G’), en faisant

Mais , afin d'augmenter autant que possible la généralité de cette fonction de x , il ne faut pas regarder A comme une quantité absolument constante. Conformément à un principe fondamental , relatif aux intégrations de ce genre , l’on doit remplacer A par une fonction arbitraire de x } assujettie à la condition de demeurer invariable par le changement de x

eu — — . Or, avec une légère attention l'on découvre , que cette

condition est remplie par toute fonction de cos 57 et sine, eu prenant

inb

a a étant l’arc de 360°. Donc, en écrivant P au lieu de A, nous aurons

s,, . n(cossr, sins») P / x)=— ; -= ,

pour l'intégrale complète de l’équaliou (G’); la fonction désignée par fl étant arbitraire.

PAR J. PLARA

Passons maintenant à l’intégration de l'équation (G"). D’abord remarquons que, en y faisant f" (x)=Af(x) la question est réduite à intégrer l’équation

9 (x >-jr =^ 9

Pour cela, nous ferons tf(x)=i-t-bf'(x)-, ce qui donne

Actuellement , je prends

et par la substitution j'obtiens

après avoir fait , pour plus de sim|)licité ,

Si l’on fait ici

l’on aura de même

en faisant

^ ^ ' k 7 — c"x p — yx^ V/3 — yxj

Rien n’empêche de continuer indéfiniment ces transformations successives , ce qui fournira cette suite régulière d’équations : savoir

A"=j3.A' — y.tf , k>"=p.k"—y.c",

*<’'=p.A(— >— ycl— > ;

etc.

d'=y.kr—c” , c"=y.k"'—c'" ,

et l'on aura

En éliminant de l’expression de A l’on a

et comme (3 — i — ib; (3 — y‘ = — b\ cela revient à dire, que, trois coefficiens consécutifs sont liés par l’équation

(34) *<•>— ubb - 1 * >=o .

L’on trouve de la même manière

(35) ycM=b‘.K— '-4-A<*> :

PAU J. PLARA

île sorte qu'il suffit île chercher l'expression île D’après la théorie îles séries récurrentes, l’équation (34) nous indique que l'on a ce développement, savoir

■: = i -t- A u -+■ AV-t- k* a 1 -t-A'" , «**"-t-clc. ;

mais, i — 5 /i« + 4‘m‘=(i — 4«)‘; partant nous avons aussi

'~*~ u — ( i -t-n)( t -t-a iM-t-36‘u‘-t-4A , tt 1 -*-etc.) :

i — aéu-t-o u '

d'où l’on tire

En substituant cette valeur de A 0,1 dans l'équation (35) l'on trouvera yc l * 1 =(n4 - 1 )6*( i -+-4)‘ ;

et par conséquent

l>e sorte que nous avons

La fonction f"{pc) est donc telle que l’on a

où la caractéristique I indique, que l’on doit prendre la totalité des termes semblables formés en donnant à n toutes les valeurs entières et positives o, t, a, 3, oo .

En remplaçant n -1- i par n l’on pourra comprendre le premier

CS

terme h sous le signe T. et écrire

f"(x)z =bhï

On peut intégrer de la même manière l’équation (G 1 *).

En faisant d'abord f"'(x) =— gbty(x) , l'on a

Soit ,

nous aurons

après avoir fait

Actuellement l'on fera

*'U) = ÿÿ7 Z ^-l-6^(*) ,

ce qui donnera

en posant

/5 — yx^ \|3 — yx/

En continuant ainsi l'on formera cette suite d’équations ;

ï'( x )=JFZ^’*' b '?W >

f (x)=^i^ + if'(x) , ’r’ (x)= J'fi'ZZg"x ^ >

etc* ;

>— y.gi— > ,

etc. ;

g" =zy. fi”- g"> ,

etc. ;

d'où Tou tire

/'V) — g b , fr—g’.v~ h n"—g / 'jc - • • g - ('

Il est clair que les équalions (34) el (35) auront encore lieu dans le cas actuel , après avoir remplacé Jt w par // "* et e J " ) par g' ni . De là, et de la théorie des séries recuiTCnles, il est facile de conclure que l’on a

i — a bu- 4 -b‘u‘

’-t-ete.

H^=(n^ri)-,b- , ^»=i'j.H-n( ,+*){;

et par conséquent

De sorte que l’on a

/”' (x) = — gbî i — .

L’intégrale complète de l’équalion (G) est donc

-*-bh7.

-bgZ-

Il est maintenant facile de sommer ces deux suites infinies par des intégrales définies.

§ MH.

En elfet; la formule

donne

tLt

Z r ZC. <*+■»>-» Ç , Z

l = e.| dt.t

.p-t-nq .1 J °

ce qui revient à dire que I on a

Ht C. r—'{ 4 M 3» \

t. =r Idl.t I 1-4-7 -4- f -4-t -4- etc. 1 ,

cp-*-nq ) V /

bien

Çdt.i

nq J —**

Donc en faisant p = h, iji = (i- 4 - 6 )(i — x), celle formule donnera

. 6-4-71 ( 1-4-6 ) — ti( i -4-6 )x

f dt.t

et en y faisant, ys=( i -+- b )— x ; ^s(t-f^)(i — x) , la même formule donnera

PAR J. Pl.AtIA

En substituant ces valeurs dans le second membre de l’équation (//), nous aurons

P i Cdt.t~' \h—R .t~*\

t T=^ rb f

pour l’intégrale complète de l'équation (G), sous forme finie.

Indépendamment de l’intégration, les deux équations {J) et (B) démontrent a priori , que dans le cas du contact des deux sphères l'on doit avoir £ = /«, puisque, en y faisant c—a-t-b et x=a les deux premiers membres de ces équations deviennent identiques. Donc, en posant g = h, la formule ( IP ) deviendra

, r, , P » , Idt.t ' (t —t *)

<" > t t (rW -a •

Il y a une autre manière de sommer les deux suites infinies que l’on voit dans le second membre de l’équation (H) : elle est fondée sur le principe que l’on a l'équation

i a<jt f t lit

p-*-nq itj (p‘+q‘t‘)(n'-bt‘

En (Ilot ; par la théorie de l'intégration des fractions rationnelles, il est d'abord clair que l’on a

dt

r cdt g r dt f r

| /4 B t -*-Ct' (~r — /‘J -t-G G— fj (

en |>osant pour plus de simplicité

G = -B^--Y F=-B—-Y B‘—4JC.

MÉMOIRE SUR LA DISTRIBUTION DE l'eLECTRICITÉ ETC.

Il suit de là que

\-JTB

dt

A + Bt'->rCt' *y~c'\ G+-\~P

Donc en prenant A-hBt‘-t-Ct' = (/>'-+- q‘ t‘ )(n-4-t' ) , l'on a C=q' j G=p' ; F=t/‘n‘ ;

c’est-à-dire l’eupressiou précédente de la fraction .

Par ( application de cette formule nous avons en conséquence

(i — x) f \ t'dt S i

j A‘-H i -+-£)’( i —x jÿ't ’

' (»+ «)(l -4-i) — j I -+-/t(i-4-i)jx

j(i -t-6)(i — x) f tdt

Donc, en observant que l’on a

by ( I X)' t à * e H*-f- f*

nous aurons » après avoir fait ;

JT )/>'■

t'dt

jt J ( i -4- A —

x)’-+- 1 1 -t-A)‘(t — x)’ C f n’jK?

Mais l’on sait que

TT \ n-k-f a an t~*~ e **‘

Donc en remarquant que la quantité

1 LocJ 6‘-+-(i-t-6)‘(i — x)Y |

a(i-t-4)(i — x) b 'j(i-t-A — x)‘-*-(i — x)Yj ’

devient égale à zéro, lorsque l’on y fait <= oc , l'on trouvera que dans le cas de g — h l’on a, au lieu de l'équation (//") ;

... P h b h bh , / i — x\

r tjU

r tju

3 AA (, +/>)(. -x)J [( I +A X) * H .( 1 +A)* ( , jr) v]'

Cette expression de f(x) s'accorde avec celle que Poisson a trouvée, par un procédé moins simple, dans la page *j3 de son second Mémoire. Si l’on veut démoutrer d'une manière expéditive l’équation précé-

dente qui fournit, sous forme finie, la valeur de la somme 7.—; \ ,

il faut partir de l'équation

cot.ç= - — 2?

f ît — «p 4* — 9 qk — ç \

donnée par Euler, et remarquer qu’en y remplaçant ç par r.t\ i ,

l'on a

cot.B/V rr T= — ^ >

et par conséquent

ir*

O» verra plus loin que l’équation (//") est préférable à l’équation (//") pour obtenir, sous forme finie, l'expression de la fonction s (/a, x), définie dans le § V.