VI

L’élimination île la' fonction F entre ces deux étjuations est exécutée par Poisson d'après un raisonnement qui me paraît obscur. Pour expliquer ce passage, je fais dans l'équation (fl); - ^ J ; ce qui

donne

r' — }' — ex'

JC— —

et la transforme en rcllc-ci ;

a(c — x') ac — ax > I , „/ b \

T-b'^jS j c 'J‘ cx '| -*- bI ' \F^') =e ’

L’équation (A) devant se vérifier par itlentité , rien n’empêche d’y substituer x' au lieu de x , et d'écrire

Actuellement , l’élimination de la fonction F entre ces deux dernières équations donne , après avoir remplacé x! par x ;

Quoique toutes les valeurs de x comprises dans les équations (A) et (fl) soient renfermées entre les limites — a et -+-a , il u’csl pas vrai

PAR J. PI.AKA

tic dire, que les vileors de x f tirées de 1 * équation — ^ ^ soient aussi renfermées entre les mêmes limites. Eu faisant x = o, par e\eii)]de , l’on a x’src— — ; c'est-à-dire une quantité qui surpasse -+-*/.

C'est donc en s'appuyant sur le principe de T identité, que cette manière d'éliminer la fonctiou F devient légitime, même eu faisant abstraction de la grandeur absolue des limites entre lesquelles les équations (./) et (B) subsistent , physiquement parlant. Toutefois , je ne passerai pas sous silence, que cela ne serait pas permis dans les cas, où, conformément à la théorie de Foc mer , l’on voudrait substituer aux fonctions primitives de x d’autres fonctions en termes périodiques qui cessent d'être équivalentes au-delà des limites données.

C’est d'après le principe de l'identité que je vais éliminer de la même manière la fonction f et former l'équation qui détermine la fonction F.

Pour cela, je fais — =x\ ce qui change l’équation (Z?) en celle-ci;

Maintenant, si l'on écrit ax au lien de x dans l'équation (A), il viendra

Celte équation devant avoir lieu par identité, rien 11’einpêelie de remplacer x par x après cela, si l’on multiplie les deux membres par x 1 l’on aura

ax'f(x ’)- f

b'x> c — ax '

Donc , eu faisant l’expression de la différence g — h x J , nous aurons Cela posé, si l’on fait

~bxP~

zx ” , c'est-à-dire x'z

c — bx’’

38 MEMOIRE SCR LA DISTRIBUTION DE l'ÉLECTRICITÉ ETC.

l’on aura , après avoir écrit x au lieu de x' ;

, n , . ji, . “b‘ bc — b'x \ ah

bF{x) c ‘ a ‘ cb:c F V— cixj - S c—bx ’

En remplaçant x par «x, l’équation ( C) devient

7 *' c —b — \c — b — aexj c — ax

Le rapprochement de ces deux équations démontre que, après avoir obtenu f(x) , l’on pourra en conclure F(x) par une simple permutation entre les lettres. En effet , il est évident que , si

/(x) = foncU(x, a, b, c, h, g)

est la fonction de x qui rend identique l'équatiou (E), il suffira de Iprendre

F(x) = fonct:(x, b, a, c, g, h),

pour rendre identique l’équation (O).

Dans le cas particulier oii les deux sphères sont en contact , l’on a c = u-hb; ce qui contribue à simpliGer cette règle. Alors, en faisant a— i , et posant, pour un moment, b F(x) — V (x), les deux équations ( D) cl (E) se changent en celles-ci;

„ . . i r ( i -t-ê — bx \ h

b- t-a — ( i-l-A)x V4-+-2 — (i -*-b)x) ^ i -V- b — bx '

Si l'on fait b'=j, la première de ces deux équations peut être écrite

ainsi :

i -I -ib ' — (i-t-A’)x \i-t-aA' — (i-t -b')x) "

Donc, en supposant que l’on ait trouvé

PAR S. Pl.ASA

/(ar) = fonct:(a:, b, h, g) ,

l'on aura immédiatement , par un simple changement de lettres ,

r (x)= i F{x) == fonct: ( x , b', g, A) .

Et comme, dans le cas du contact des deux sphères, l’on a g = A (*) , si l’on trouve d’après cette condition

y(x) = fonct:(jr, b) ,

l’on aura

*F(a-) = fonct:^x, ■

Cette règle fort simple, remarquée aussi par Poisson dans la page " 4 de son premier Mémoire, peut donc être démontrée à priori Sans avoir, comme lui, exécutée l’intégration qui donne les deux fonctions f {jc ) , F(x). Il en est de même de la règle relative au ras général que nous venons de démontrer directement, et que Poisson a reconnue dans la page a4 de son second Mémoire après avoir exécutée l'intégration.

Relativement aux deux constantes désignées par h et g il faut d’abord observer, qu’il sera démontré ci-après, que l'expression de f( x ) est nécessairement de la forme

/(ar) = A./,(jr, a, b, c)+g.f,(x, a, b, c ) ;

et que , par conséquent , celle de F(x) est telle que l'on a

Or, en faisant x = o, et posan 1 ^/( 0 )=^, F(o)~Bj Ton lire de là;

4=bf,(a> b > b > c ) >

(*) Pour s’en container*, il culfil de remarquer, qu>n faUanl c=a-«*é et x=» , l'équation (£) •c réduit à — af(i)-=sh — g; ce qui exige que l’on ait kt=g.

4<> MÉMOIRE SUR LA IIISIRIDITION UE l.'Él.IXTAlr JTK ETC.

Mais, d’après cc qui a été dit dans les §§ III et V l’on |>ciit regarder les quantités faa'.A, 4 nb'.B comme exprimant, respectivement , les masses des deux couclies électriques répandues sur les surfaces des deux sphères. En outre l'on sait que ces masses, en excluant le cas du contact et celui d’un rapprochement assez grand cuire les surfaces pour déterminer la diffusion du lluidc électrique par étincellement, demeurent les mêmes avant et après l’influence qui a eu lieu entre l’électricité des deux sphères. Donc , eu supposant évaluées d'une manière quelconque les épaisseurs A et B des deux couches avant l’influence, I on pourra déterminer par ces deux équations les constantes A et g en fonction des données physiques et initiales de la question. C’est-à-dire que Ion a, en général;

en faisant, pour plus de simplicité;

Il était important d’anticiper cette remarque , afin de pouvoir définir, dès ce moment, avec clarté l'idée que l’on doit attacher aux constantes h et g qui entrent dans les équations générales du problème.

Comme l'on vient de voir que la différence h — g est nulle dans le cas particulier du contact, l’on doit présumer, que son expression générale présentera un numérateur nul, ou bien un dénominateur infini, lorsque l’on y fera c=a-+-b. D'après cela il conviendra, par la suite, de remplacer h et g par les valeurs de h-t-g et h — g, afin d’introduire dans les fonctions qu'il faudra développer le facteur h — g, que l'on sait d’avance devoir être évanouissant avec la distance entre lès surfaces des deux sphères électrisées.

pau J. PLXtiA