K". VU
|-+-XX"[/f/(A, a, c) — BfXa, b , c)]n,"(A,a, e)
Nous nous dispenserons d'écrire l'expression de bD".t que l’on tire de cette formule par la permutation des lettres A , fl; a, b, conformément à l'équation (278).
Mais ces formules deviendront plus symétriques, en posant
( 3 to) T (a, b, c)=f % (a, b, c)-f-/(a, b, c) \
( 3 ") Ha, b, c) —J\ ( a, b, e) —/(a, b, c ) ;
et eu introduisant les fonctions f, r', dont l'expression est, ainsi (pion vient de le voir, plus simple que celle des fonctions / et/. Alors, eu faisant
( 3 12) Ü(A, a, c) = X"-^-4-iyL-{n t '(A,a,<7)-*-X.II 1 '(A,a, c)j
- 4 AT"VTv j II, "(A, a, e)-t-XXMl,"(A, a, c)}; ( 3 . 3 ) &(b, a, c)= J II /(A, a, c) — X. 11/(6, a, c)J
-t- 4 *"VTv j II," (A, a, c) - X X’*. 11," (A, a, c) J ;
Ion aura, pour déterminer les épaisseurs électriques qui ont lieu sur les quatre points des surfaces sphériques placés sur la ligne des centres, c*cs deux équations; savoir
PAR J. PI. AK A
a ty'-y = | A F (b, a, c) — B P [a, b y c) J Û {b, a y c)
- j A V'(b, a, c) + BV'(a, b, c) J £>'( b, a, c) ;
(3i5) ...... bU’.z= \BV (a,b,c)—AV{b, a,c)\ù(a,b,c)
— J BV '(n, b, c)-^~ AV\b, a, c)j i Y(a, b, c) .
Parvenu à ce point, il devient necessaire de séparer les deux cas qui, jusqu'ici, ont etc réunis par l'ambiguité du signe rt . Toutefois, il est remarquable que l'on puisse ainsi conduire l'analyse de manière, que les deux cas opposés soient exprimés par des formules ambiguës, où il y a plusieurs facteurs qui leurs sont communs. De sorte que , tonte la diversité tombe uniquement sur la valeur durèrent e que prennent les deux fonctions Sl(a, b, c) , Û'(<t, b, c) , suivant que l’on considère l'un ou l'autre point plaeé sur la ligne des centres. J’ajouterai encore, que le calcul des deux fonctions
AV (b, a, c) — BV(a, b, c) . AV (b, a, c)-î- BV'(a, b, c)
a, en outre, l'avantage d'être commun aux formules générales (a63), (a 64 ) par lesquelles l’on détermine les épaisseurs électriques de la couche relatives à un point quelconque de la surface des deux sphères. Car, en posant
a(c* — a«c.cos5-+-a*)*
( 317 )... . &{b, u, c, î) = — ■i — ^n,(i, a, c, fi)-*-* H.(*, a, c, 5)
a (c* — a « c . cos 5 -t- )*
il est évident que les deux équations (a63) , (aCf) deviennent équivalentes à celles-ci ; savoir
a D ".y — j.YT (b, a, c ) — BV (a, b, c)| ü (b, a, c, 6)
— jAV'(b,a, c)-hB r' (a, b, c) j Û.'(b,a,c, 6) ;
(3.9) bD".z= \BV(a,b r c)—AV(b,a,c)\sHa,b,c,û)
— \BT(a, b, <?)-+- AV '(b, a, c)\f)f(a, b, c, 6) .
Mais, pour pousser plus loin les développe me us dont il est ici question, il est indispensable de distinguer les deux cas, et nous commencerons par celui où l’on prend le signe supérieur dans les termes ambigus.
g XXVI.
Expression des épaisseurs électriques y et z qui ont lieu sur les deux points des surfaces sphériques les plus rapprochés , placés sur la ligne des centres.
Avant tout, je remarque que nous avons ici
(c — a)* b ab{a-4-b) ’
a yiv la afja — a b ) y ,
i(c—a)(c — a-f-A) b GA(a-t-A) ’
cl par conséquent
Knsuilc j'observe que, eu négligeant les tenues multiplies par i* il suflil tic prcmlre
( aa-*-*Y 4 «(a-l-A)
.-AA —I - ^ —b~~) T‘ 5
PAR J. PI. API A
as
r K '(*> a > c)-xx“n ,-(«, b, c)j=- f—~- t ;
Af'd a(«-*-A)
KTV - 6 ’
ce qui donne
3VH __b
b ia(a-f-A) a-t-b Gb‘
Ainsi , il est démontré par là , que la valeur actuelle de la fonclion Q!(b,a,c) est, au moins, de l'ordre des quantités multipliées par d*. De sorte qu'il est permis de la négliger dons cette approximation , et de considérer seulement la fonction ü(b, a, c). Mais comme, en prenant les signes supérieurs , l’équation (389 os) donne, en négligeant les termes multipliés par J* ;
V> 4(«-*-*) , j \b-ia a[ .
bi‘ j ib a-t-b |
ou voit qu’il aurait fallu tenir compte des termes multipliés par d'dans le développement de la fonction T (b, a, c), afin d’avoir exactement les termes multipliés par d* dans le second membre des deux équations
(3ao) aD".y= j AV(b, a, c) — /?r(a, b, c)|û(A, a, c) ,
(3ai) b D". z= J Br(a, b, c) — AV (b, a, c) j Ü{«, b, c) ,
auxquelles on peut ici réduire les formules générales (3 r 4) > (3i5). Cela posé il est clair que la valeur actuelle de û(b,a,c) doit être formée sans avoir égard au terme multiplié par — 4 bi " , et en prenant
seulement
Ç | n/(* f a, c)+xn,'[b, a, c)j = 3 J~i!lL. = .1 ;
ce qui donne
n/i > ("H-*) 4 (a-hti) b — a a
Mb, a, c)=V iiTT" = b,y~ H TT " 4 " 7+~b '
Il suit de 1;\ , et des équations (3o4), (3o5) , que nous avons „D".j = 1 A(B'-hB“3')—B(A , +A"3') j Q(b, a, c) ; bD".z— j B(A'+A”i') — jü(a, b, c ) -,
d'où l’on lire
(3aa) ...
(AB'—BA') j4(fl-+-i) b— a i
abS * a b a •+• b
(AB' — HA') J b) a — b
4 (AD" — BA”)(a+b)' ab.lV* ’
/,(AB" — BA")(a-t-b) ab.D”' ’
pour la valeur, mathématiquement exacte, des deux premiers termes du développement de y et z ordonné suivant les puissances de d.
Mais, pour rendre ces formules plus immédiatement comparables avec l’observation, il convient d’en éliminer d*. Pour cela, remarquons que l'équation ( 289 ) donne
4 Ui-*-b)
A abà*{ 1 -4- d‘) ab*à k
oh A =sc — a — b : et en y substituant pour y/ (ll sa valeur, nous aurons
A u bd* 3 u b ”** a -f - b
Ainsi il est clair que les valeurs precedentes de y et z sont équivalentes à celles-ci;
/v (AB'—BA ' ) la . 4A — 3Û | é 4 (An*—BA*)(a+b)
1 4;- • 3 ~ ~ÏF j A 4 JZb~ 1 4 ui./J" ’
-, (AB’—BA') la 4 «— ail /, U B" — B A" )(a b)
(Ja5)...* 2P ja* 4 ’ j TOP ’
PAR J. PÎ.AüA
ou il suffira de faire, conformément aux équations (286) et (3o~);
cil se rappelant que l'emploi de celte formule exige «juc so ' 1
une petite fraction.
Ce résultat très-remarquable n'est pas fort différent de celui trouvé par Poisson dans la page 8tj de son second Mémoire. Pour rendre l'accord parfait il faut d'abord corriger dans cette page deux fautes d’impression : c’esuà-dire , lire l\ b — la au lieu de 4 a — a b dans la valeur de y , et vicevcrsa 4« — a b dans celle de a. En outre, il faut observer que le dénominateur A de Poisson ( duquel il donne les deux premiers termes dans la page 10a) deviendra égal à celui que nous avons désigné par ü", en y remplaçant — aLog.3* par — -Log.3*. C’est, par méprise , que Poisson a doublé à la fois le logarithme du nombre a et celui de 3 \
On voit par ccs formules, que leur premier terme étant divisé par la distance A qui sépare les deux surfaces sphériques, peut croître indéfiniment à mesure que l’on diminue cet intervalle , et qu’il devient inGui au coutact. Mais cette circonstance capitale du phénomène , qui amène la rupture de l’équilibre et l’apparition de l’étincelle , n’aura pas lieu, si les épaisseurs initiales A et B étaient telles que l’on eût AB' — BA' = o , puisque cette équation entraîne la disparition du terme susceptible de croître jusqu’à l’iuGni. Or cette équation , qu’il est assez difficile de réaliser expérimentalement sans le coutact, est précisément celle qui s’établit nécessairement au contact des deux sphères: car nous avons déjà démontré (Voyez les équations (64) et (65)) que, alors, il y a entre les épaisseurs moyennes A et B un rapport tel que
p — jp ■ Donc, après le contact, et à la petite distance A entre les
deux surfaces, les formules qu’il faudra employer pour déterminer les intensités électriques y et z seront celles-ci ;
w J r “ - — inrzpü" A ■
8 ' ab.B~ r 7T r ~ H ’
mbuoisie son la distribution de l’électricité etc. abstraction faite des autres tenues ordonnes suivant les puissances de ô* liai suivent ce premier et principal tenue.
Ainsi, c'est à l’aide de ces formules que fou pourra déterminer a priori l’intensité de l’électricité qui aillue sur chacun des deux points en regard au moment de la séparation des deux sphères. Et comme on démontrera ci-après que le coefficient A' B" — B' A" est toujours positif, si la différence a — b des deux rayons est elle-même positive, on tire de là, et de ce que les quantités A', B r et I.) " sont évidemment positives, la conséquence, que: « à l’instant de la séparation de deux sphères court duclriccs et isolées, l’électricité qui afflue aux points par lesquels elles » sc touchaient, est d'égale intensité et d’espèce différente: mais, toujours. » de même espèce sur la plus grande et d’espèce contraire sur la plus » petite, relativement à l’électricité totale dont A ci B expriment, res- » pectivcmcnt, les épaisseurs moyennes ».
Mais cette conclusion n’est pas vraie eu général : il y a un cas d'exception, soit à l’égard des dernières formules soit à l’égard de la conséquence. Ce cas est celui de deux sphères de me me rayon et également électrisées. Alors l’on a A=B , A t =B , f A*^B n j et en général
AT {b, a, c) = BV{a t b, c) :
et comme il est manifeste que, dans cet état d’égalité, l’on a / = s il faudra , pour déterminer y partir de l'équation
à laquelle se réduisent les formules (3 1 4 ) et (3i5). Or il est clair, par les équations (3oG) et (3o^), que le premier terme du rapport
f’fa, a, g)
est
de
jr la quautilé
du moins cela est vrai en négligeant dans celte valeur
2 A'.Q.* {a y a y c) aC-4-L og.(l) ’
PAR S. Pl.ASA
dont te numérateur (déjà de l'ordre de d* ) est eu outre diminué par ta grandeur du dénominateur: donc, puisque pour a—b, nous avons
Log. a ,
la question consiste à déterminer au moins le premier terme de la fonction il' ( ii , a, c), pour en faire ensuite la substitution dans l’équation
Log. i
Cela posé, voici toutes les principales parties de ce calcul. D’abord on trouve que, dans le ras de b=a, l’on a
(3açj)
(Mo) ..
