ADDITION AUX §§ III ET IV

Les forces T et T' dout nous avons donné l’expression vers la Gn du § ni peuvent être écrites ainsi ; savoir

De cette manière l’on voit , cpie chacune de ces deux forces peut être considérée comme composée de deux forces ; desquelles, une est due à I attraction , ou à la répulsion , du petit segment ayant y pour flèche , conformément à la démonstration exposée dans le § IV. Mais sur cela, il importe de faire une distinction entre ce qui se passe dans le cas de l'équilibre électrique d’une seule couche , et ce qui se passe dans le cas de l’équilibre électrique entre plusieurs couches. lorsque plusieurs corps électrisés sont en présence, et que leur équilibre est établi d’une manière permanente , il faut ajouter aux forces précédentes la résultante due à l’action des autres couches qui couvrent les autres corps. Soit R la composante , suivant la normale , de cette résultante : elle sera sensiblement la même pour les points placés i la surface de la couche extérieure , et pour les (joints placés entre les deux surfaces terminalriccs de la même couche. Donc les valeurs complètes des forces T et T' seront

T =/?-(- a il j^.-f-etc.^— 2ity ,

Mpis , par hypothèse , le fluide électrique est en équilibre sur tout point appartenant à la couche que l'on considère , et placé entre les deux surfaces qui la terminent : donc un tel état exige que la force

PAR J. PLASA

désignée par T soit nulle: et alors l'élimination de H entre ces deux équations donne 7” = 4 C’est-à-dire que la force normale à la sur-

face extérieure, laquelle est balancée par la pression de l’air ou, peut être, par l'action même de la matière du corps conducteur, sera toujours exprimée par 4 , et par conséquent proportionnelle à l’épaisseur

de la couche. Et cette importante conséquence aura lien , soit que la couche électrique soit unique et en équilibre par elle-même, ainsi que cela arrive dans le cas considéré au § II ; soit que l'équilibre de la couche ait lieu sous l’action simultanée des forces émanées des points qui la composent , et des forces émanées des autres couches qui sont en sa présence. Tel est le motif du succès de la vérification faite par Poissoa dans le N.‘ (ao) de son premier Mémoire, pour le cas de l'équilibre électrique entre deux sphères. Et tel est aussi le motif qui justifie l’emploi du plan <T épreuve pour mesurer les rapports des intensités électriques. Toutefois il ne sera pas inutile d’analyser en pen de mots cette méthode.

D’après les formules que nous avons données au § IV , l’attraction ou la répulsion exercée par un cylindre homogène sur un point placé sur le prolongement de son axe à une distance fi du centre île sa base , sera exprimée par

rpuJuiz.

fi)dz

En intégrant d’abord par rapport à z, l’intégrale indéfinie sera

— anudu ju , -t-(z-t-|S) , j *-t-Const. :

et comme elle doit commencer avec z = o , l’on a

— an u du .

Maintenant si l'on fait ici z = //, l’on aura pour l'attraction totale

/ udu / udu

nsan]/ — an]/ u‘-\-(H-*-fi )' — anjS-f-an(J7-t-, l 5) .

Donc , en désignant par u’ le rayon de la base du cylindre , il faudra faire u — u, ce qui donne

Q' = arr J//-4-V |9 *-»-«'» — Ÿ j .

Cetlc formule peut être considérée comme une exteusion de celle désignée par l'équation (au) au § IV.

Lorsque le cylindre est réduit à un disque , il faut regarder u ' comme quantité fort grande en comparaison de H : et si en outre fi est une quantité du même ordre de petitesse que H , Ton pourra réduire cette valeur de Q' à Q' = 2 i:U. Or en mettant un disque eu contact avec une surface électrisée et conductrice , il y prendra autant d’électricité qu’il eu faut pour balancer la force 4 n JT qui a lieu sur l’élément touché de cette surface: en conséquence, l’on aura l’équation 4rc/ = 3n//, laquelle donne Hs=i 2 jr. Cela revient à dire, que l’épaisseur de la couche électrique qui couvre les deux faces opposées du disque, et non l’épaisseur matérielle du disque, doit être double de répaisseur y qui a beu sur l’élémeut de la surface touché avec le plan d'épreuve. Telle est aussi la conclusion à laquelle Coulomb est parvenu dans un de ses Mémoires (*). Mais sa démoustration a un vice radical duquel il faut l'affranchir pour la rendre rigoureuse. Au beu de considérer comme nous venons de le faire un disque physique chargé d’électricité, Coulomb considère l’action d’un plan électrique circulaire sur im point placé sur la normale élevée par sou centre à la distance fi de son centre. En nommant Z cette force , nous aurons

.5 it x J y

où x et y sont les coordonnées d’un point quelconque du cercle. De là l’on tire

Z = fi I d x

-4- Omit.

VojM page (T7G du Volume de l 'Académie de» Science» de Viril pour l’iooee 1TSS.

Soit x'-i-j* = u'* l’équation du cercle: il faudra intégrer depuis yz=z — Y u’* — x* jusqu’à J‘=Y u 1 * — x* : ce qui donne

Maintenant, si l'on double cette intégrale, il viendra

4P / àx . — j / ilx

Ÿ P‘^u“ J Ÿ u'*— (?'+x')Y uf‘-x‘

d’où l’on tire

Et, en multipliant cette valeur de Z par l'épaisseur H du plan, c’està-dire par l’épaisseur de la couche électrique qui couvre le disque, l’on aura , comme Coulomb;

//Z = a ît //

Or, en rapprochant cette valeur de HZ de celle de Q' trouvée plus haut , l’on voit, que ces deux expressions ne peuvent pas être identiques. Mais il est vrai de dire que leur différence s’évanouit, sensiblement , lorsque le rayon u' du plan circulaire devient fort grand eu comparaison de l'épaisseur H et de la distance J3.

Coulomb ne parait pas avoir remarqué que l’intégration relative au disque était plus facile que celle relative au plan circulaire', autrement, il n’aurait pas dénaturé la question par un artifice qui semble infirmer la démonstration qu’il voulait établir , en pénétrant par la théorie le secret de son plan d épreuve.

Dès que ce plan est éloigné de 1a surface électrisée avec laquelle il a été mis en contact , quoique isolé , il ne peut pas retenir l'électricité qu’il a enlevée avec la distribution primitive. 11 est évident que

3l8 lSKUOtfcS SUR LA DISTRIBUTION DK L^KLLCTRICITÊ ETC.

» celte distribution succédera celle qui convient à l'équilibre de lu couche qui couvre les deux faces du disque : c’est-à-dire , que régisseur électrique y deviendra variable conformément à la formule donnée par M. Biot à la page 377 du second Volume de son grand Traité de Physique public en 1816. Mais, comme nous supposons d’une fort petite étendue le disque employé pour plan d’épreuve , son action sur un autre petit disque électrique qui en est éloigné de plusieurs fois son diamètre sera, sensiblement, la meme que si la couche y était uniformément distribuée. Car celte propriété a lieu, même pour des sphères électrisées qui agissent sur un point éloigné de leur centre ainsi que l'on peut mieux s’en convaincre par les calculs exposés dans le § XIII. D'après cette considération on ne doit pas craindre que les expériences faites avec le plan d’épreuve puissent être influencées par l’épaisseur variable de la couche électrique qui le couvre.

Néanmoins s’il s’agissait, non d'uu corps conducteur de figure quelconque, mais d’une sphère dont l’épaisseur électrique primitive serait Y et devenait y après lui avoir applique tangcnliellement un disque assez grand, l’on pourrait par l’égalité des masses du fluide électrique établir l’équation

où S et S' désignent, respectivement, la surface de la sphère et celle du disque. Cette équation mise sous la forme

SJ'=(S-*-aS' )j

est celle qui, expérimentalement, à été vérifiée par Coeuova avec la restriction dont il parte à U page 6-5 du Volume cité plus haut

bah /. blasa