etc

Donc, la formule (//*) donne

et comme on sait d avance que la valeur de f( i) doit être par sa nature finie, il en résulte que pour la solution du problème de physique, dont il est ici questiou, I on doit nécessairement prendre P=zo ; ce tpi donne

et réduit la formule (//’’) il celle-ci;

/ I b — ■ I / X— Jt\

dt.t (t— t )

Pour tirer de celte formule la valeur du coefficient différentiel

—J’( x ) qui répond à x = i , j’observe qu'en développant d’abord suivant les puissances de i — x, l’on a

/(*)— T^b^ Jt ~ ^ L «g‘-t-e* c | •

De 1» Ton tire

mais, en faisant x=i , tous les termes tpii suivent le premier dans cette suite infinie deviennent nuis ; partant l’on a

dit I.og.fM-elc.

Nous avons vu daus le g V, qu’en désignant par Y' l'épaisseur de la couche au point de contact, l'on a Y'=f( i ) -H a/ 1 ( i ) : donc nous avons à ce point , l o. C’est ainsi que l’on démontre, a priori, par cette théorie le fait découvert d'abord par l’expérience, que l’épaisseur de la couche électrique doit être nulle au point de contact des deux sphères. Car, il est facile de conclure de là, que le même phénomène doit avoir lieu au point de contact sur la seconde sphère dont le rayon est égal à b. En effet ; si l’on fait a = t , c— r — t— , x = i dans l’équation (A), l’on a /(i)-l-A F(i)—h. Donc en substituant ici pour f( i ) sa valeur trouvée plus haut, nous aurons

La même équation (A), c’est-à-dire l'équation

étant différentiée par rapport à x , donne

MÉMOIRE St'n !.» DISTMBUTIOK DE l/ÉLECTRlClTÉ ETC.

■4-À— x)‘ \ I -t-i — 1 -1-4 — JT)* \ I -f- A — x) °‘

Donc , en faisant x= i , il viendra

d’où I on tire

Mais , en nommant Z’ l’épaisseur de la couche électrique sur la sphère du rayon b au point de contact , l’on a par les formules du § V ,

partant Z'—o.

Au reste, ces valeurs de F{ i ) et F'(i) pouvaient être établies immédiatement , sans aucun calcul , d’après la règle démontrée dans le § VI pour former la fonction F(x) en ayant celle de f(x). Néanmoins la conséquence est tellement importante, qu’il n’est pas inutile de l’avoir aussi établie de cette manière directe.

Eu vertu de la règle que nous venons de citer, le simple change-

ment de b en

dans le second membre de l’équation (3G) donne

L’équation (36) est susceptible de plusieurs transformations qui ont des avantages particuliers : les plus simples sont celles-ci. D’abord , par la nature des limites de la variable t l’on peut faire t' , et les

limites de i seront encore léro et l’unité. En ocrant ce changement et écrivant ensuite l au lieu de /’ l’on aura

Par la meme raison, si Ton fait ici l , “ jr =*' Ton trouvera

ce qui s’accorde avec l’expression de J\x) que Poisson donne dans la page 55 de son i w Mémoire. Et, par la règle du § VI l’on aura l'expression de bF(x) que l’on voit dans la meme page en remplaçant b

dans le second membre de cette équation.

Cette forme de f(x) est celle qui donne avec plus de simplicité le coefficient différentiel /'(x). En effet, l’on a immédiatement

(i-hA)“(i— x)

rh,)<^^Log ,(i)

Donc en faisant x = — i, et reprenant la formule Y — i)-t-a \f( — i)

démontrée dans le § V, l’on aura

h b' l dt (t

pour expression de l’épaisseur de la couche électrique au point diamétralment opposé à celui du contact.

En faisant x=o et posant f( o) = v/, la même équation ( 39 ) donne

pour expression de l’épaisseur constante de la couche qui recouvrirait la surface de la sphère dont le rayon est égal à l’unité , après l’avoir

MliMOlKE SCR I.A niSTRlRCTION DF. l’ÉI.F-CTRICITÉ ETC.

sepaiéc de In seconde sphère de manière qu elle fût entièrement soustraite à son influence.

En nommant li et Z les quantités analogues à celles désignées par A et Y, l'on aura pour la sphère du rayon b, d’après la règle du § VI;

-bJT^T)

Au reste. si I on fait dans l'équation (4a) et a f =-|— j~g = 1

dans 1 équation (44) ? l'on aura d'apres la notation de Legendre ;

où en faisant ,

l'on a

C — Log. hyp.' 3—37^ 5(1) — 577g s m — 5,.,— etc —0,57- a i566... ,

et , en général ,

d -Z(p) </Eog r (/t)

J ; dp ~ dp

De sorte que nous avons

(45) A = — 4a.|C-hZ'(a)j ,

(46) tf=^p^|c+Z'(.-a)|.

Mais, a et i — a étant îles quantités plus petites que l’unité l'on a, comme l’on sait, entre les fonctions Z’(a), Z’(t — a) l'équation

( 47 ) Z'(a) — Z'(i — a)= — Tt-coi-air ;

partant nous avons (*)

(48) B= — )C-t-a.cot.aa-t-Z'(a)j .

En éliminant Z’( a), les équations (45) et (.(8) donnent

( 49 ) b' B — y/ s= A . a a . cot. = — A. aa. cot.au .

Pour réduire en nombres la valeur A avec la Table de Lecfsdbf , il faut observer qu'en vertu de l’équation générale

r ( \-t-p)=pT(p) ,

l'oii a ;

Log.r(i-t-p) = Log.^-+-Log.r(^) ;

d’où l’on tire

z'(.+,.)=4zv) ,

et par conséquent

(5o) A=h\ 1 — Ca — a.Z’( t-t-a) | .

Celte équation subsiste, en supposant que Log S (p) = Z(p) soit calculé comme logarithme hyperbolique ; il faudra donc diviser par le module o, 434 2 ... = ni les valeurs de Z’(p) déduites de la Table de Lkgesdbb, qui les donne en logarithmes tabulaires. De sorte que nous avons pour le calrnl arithmétique de A et de B :

(3') A=h\i — C’a— ^Z’(iH-a)| ;

(5a) h' B— A — A.îra.cot.(i8o“.a) ;

Log. in = 9 , 63-7843 ; Log. -|- = o, 36aat57 ; Log. C= 9 , -6i338i .

(•) Vojcï pape* 45. 48 et 53 do M'cond Volume de* Esernctt J* Calcul Inkgrat de I.EOTMiRt.

Les valeurs de Y et Z peuvent être calculées avec la méim de Legendre. En effet , d’après l'équation

nous avons d’abord

(53)... r=*ÿ : jz'(;.)-z'(.-i.)j ,

(5« ... z=*ü^î£jz-(i-;»)-z"(i+;.)j .

Mais l’on a, en général ,

donc l'on peut écrire

/-«v v À.a* jazYM —A

(56) ... r = — { Va ) sin » ( »

* rra cos . — a

Ces deux équations donnent

a' (i— a)‘ j Va J Va a / sm.ira|

Donc en observant que l’on a eu général l’équation

il viendra

(5 9) ... Y-»Z=h j aa ‘.Z-(a)-(^)‘j •

(*) Voyez page 53 du Volume cilé de Legf.hdul.

Table

Et comme

nous avons pour le calcul arithmétique de Y et Z ;

b' Z — Y — h L— é-JÜ-Y i-h. — Z"(, -h a) .

Vsni r.a/ | m '

Sur cela , il faut observer qu’après avoir réduit en décimales le nombre p, il faudra poser l'équation p = q-t-(p — q ) ; où q désigne les millièmes contenus dans p. Ensuite, si l’on fait x= iono(p — q), l’on aura

.(lfj=|£±fL) A ..Z(,+ 9 )+eu-.

I 4 ‘.Z(i -t-^)-t-(ar — 1 ) A 3 . Z( 1 -4-9) ■+■■ — A*.Z( i-w/)-4-etc.

où l'on a

A .Z(i-fr-<7) = Z( i 001) — Z(i ,

etc.

Pour ia démonstration de ces formules, l'on peut lire les pages 81 et 82 du Volume cité de Legendre. En les appliquant , il faudra avoir égard au signe qui afTecte les différences A, A% etc., et faire attention que les seconds membres des équations ( 5 a) et (61) doivent être calculés avec une approximation supérieure à celle de ji et Y , afin que la multiplication par -p et par p ne porte pas atteinte au degré d'approximation avec lequel l'on entend calculer les valeurs de li et de Z.

Cette remarque est propre à faire sentir la limitation il laquelle est sujette 1a Table de Legendre, et nous avertit qu’elle doit être employée avec circonspection, surtout à l'égard de la valeur de Z.

Pour écrire les valeurs de A et de B , ainsi que celles de Y et Z, sans y faire a = i , l’on posera ces équations

D’après ces formules, I on voit aussitôt, qu après avoir calculé les valeurs de A , H, Y , Z pour et pour uue valeur donnée de b ,

l’on aura les valeurs correspondantes Â, h, Y, 2 qui doivent avoir lieu

pour et pour une valeur de b qui serait égale à ^ , en posant

les équations

Il est facile de démontrer, à l’aide de ces formules, que les épaisseurs Y et Z ont un rapport déterminé avec la ipianlité totale d’électricité répandue sur la surface des deux sphères. Kn effet, cette quantité totale étant désignée par £ a pour expression

donc en luisant A-szhA', BsshB’, nous «urons

En substituant cette valeur de h dans les équations (64) , . . . ( 67 ) il viendra