Mémoire sur la distribution de la chaleur dans les corps solides

L a question que je me propose de traiter a été le sujet d’un prix proposé par la première classe de l’Institut, et remporté par M. Fourier au commencement de 1812. La pièce couronnée est restée au secrétariat, où il m’a été permis den prendre connaissance : j’aurai soin , dans le

(*) Ce Mémoire a ete lu à 1 Institut, le 29 mai 181 j ; le mois suivant, j’en ai donné des extraits dans le Journal de Physique et dans le Bulletin de la Société philomatique ; mais depuis cette époque, j’ai eu l’occasion de reprendre mon travail sur le même sujet, et d’y ajouter plusieurs paities qui en ont presque doublé l'étendue: c’est pourquoi je ne donnerai à mon Mémoire d’autre date que celle de sa publication,

XIX/ Cahier .

courant de ce Mémoire, de citer les principaux résultats que M. Fourur a obtenus avant moi; et je duis dire d’avance que, dans tous les problèmes particuliers que nous avons pris I’un et l’autre pour exemples, et qui étaient naturellement indiqués dans cette matière, les formules de mon Mémoire coïncident avec celles que cette pièce renferme. Mais c’est tout ce qu’il y a de commun entre nos deux ouvrages ; car, soit pour former les équations différentielles du mouvement de la chaleur, soit pour les résoudre et en déduire la solution définitive de chaque problème, j’ai employé des méthodes entièrement différentes de celles que M. Fourier a suivies.

L’application de l’analyse mathématique à des questions de physique est fondée, dans chaque cas, sur un certain nombre de lois données par l’observation, ou, à leur défaut, sur des hypothèses que l’on veut vérifier : le calcul n’ajoute rien à ces suppositions ; il sert seulement à les développer jusque dans leurs moindres conséquences; et, pour cette raison, il offre le moyen le plus propre à comparer, sous tous les points de vue, les théories à l’expérience. Dans la question présente, les principes qui servent de base au calcul, sont constatés par des expériences antérieures, et admis de tous les physiciens ; et s’ils sont sujets à des exceptions, ce n’est que dans des cas extrêmes que nous ne nous proposons pas de considérer. Nous allons successivement énoncer ces données de la question qui doit nous occuper.

i.® Dans tous les corps solides, les accroissemens de température sont proportionnels aux accroissemens de chaleur, ou, autrement dit, la capacité calorifique est constante pour un même corps et indépendante de sa température. Ainsi, à quelque température que soit une masse de fer, par exemple, il faut toujours la même quantité de chaleur pour élever cette température d’un même nombre de degrés : ce principe est hors de doute, tant que le fer n’approche pas de l’état de fusion ; et généralement il est vrai pour tous les corps solides qui sont encore loin d’un changement d’état , ce qui comprend tous les cas auxquels nous vouions appliquer le calcul.

i 2 |-ir^ a commun ' catl ' OM de la chaleur dans les corps solides dont es ifferentes parties sont inégalement échauffées, ne dépend que des températures relatives de leurs molécules, et nullement de leur température absolue, du moins lorsque celle-ci n’est pas extrêmement eevce. chaque molécule du corps communique à celles qui i’avoisment et qui sont moins échauffées quelle, une quantité de chaleur proport,onnelle. d’une part, à l’excès de la température de la molécule échauffante sur celle de la molécule échauffée, et dépendante, en outre, d un coefficient relatif à la matière du corps, dont la valeur donne beu a la conductibilité plus ou moins grande de cette matière. L’augmentation de température qui en résulte pour la seconde particule, sera égale à (a quantité de chaleur qui lui est communiquée , divisée par la chaleur spécifique de la matière du corps ; et ce quotient marquera en même temps l’abaissement de température de l’autre tnolecule.

3 ° Nous admettons enfin que la quantité de chaleur qui traverse chaque élément de la surface, et s’échappe sous forme rayonnante est proportionnelle à l’excès de la température du corps en ce point sur celle du milieu dans lequel il est plongé; le coefficient par lequel cet excès de température est multiplié variant d’ailleurs avec la ma tière du corps et la nature de la surface. Cette loi d’émission est la plus simple que l’on puisse supposer; l’expérience la donne, d’une manière certaine, pour une grande étendue de l’échelle thermométrique ; et elle ne s’écarte sensiblement de la vérité que dans le cas es très antes températures, dont il ne sera pas question dans ce mémoire. On peut au reste consulter, sur ce point, les Recherches experimentales de MM. Petit et Dulong, qui sont imprimées dans le precedent volume de ce journal.

Telles sont, dans la question présente, les seules données que le calcul emprunte de l’observation. Elles se réduisent, comme on voit a trois, qu’il faut bien distinguer entre elles: la chaleur spécifique de la matière du corps, la mesure de la conductibilité propre de cette

matière, et le coefficient de la température dans l’expression du rayonnement extérieur. Ces trois quantités étant données en nombres pour le corps que l’on considère, le problème que l’on aura à résoudre, envisagé sous le point de vue le plus général, peut s’énoncer ainsi:

Tous les points d’un corps de forme déterminée, homogène ou hétérogène, ont été échauffés d’une manière arbitraire; des portions de sa surface rayonnent dans le milieu environnant, dont la température peut être variable avec le temps, suivant une loi donnée; et d’autres portions sont entretenues à des températures également données : on demande, après un temps quelconque, la température de tel point qu’on voudra, soit dans l’intérieur, soit à la surface de ce corps solide.

La solution de ce problème général se divise naturellement en deux parties : la première a pour objet la recherche des équations différentielles du mouvement de la chaleur dans l’intérieur et près de la surface du corps; la seconde, qui n’est plus qu’une question de pure analyse, comprend l’intégration de ces équations et la détermination des fonctions arbitraires contenues dans leurs intégrales, d’après l’état initial du corps et les conditions relatives à sa surface.

Il semble, au premier coup d’œil, que la première partie de notre problème ne doit présenter auçune difficulté, et qu’il ne s’agit que d’appliquer immédiatement les principes de physique que nous venons de rappeler. En effet, pour ne citer ici que le cas le plus simple , supposons qu’il soit question d’une barre cylindrique et homogène, enveloppée d’une matière non conductrice, de sorte qu’il n’y ait aucune déperdition de chaleur à la surface. Si l’on partage cette barre, par des sections perpendiculaires à l’axe, en une infinité d’élémens infiniment petits, et que l’on considère l’action mutuelle de trois élémens consécutifs, c’est-à-dire, la quantité de chaleur que l’élément intermédiaire communique ou enlève à chaque instant aux deux autres, en raison de l’excès positif ou négatif de sa température sur celle de chacun d’eux, on en conclura facilement l’augmentation de tempéra-

ture de cet élément pendant un instant infiniment petit; égalant donc cette quantité à la différentielle de sa température, prise par rapport au temps, on formerait l’équation du mouvement delà chaleur suivant la longueur de la barre; mais, en examinant plus attentivement la question, on reconnaît sans peine que cette équation serait fondée sur la comparaison de deux quantités infiniment petites non homogènes, ou de différens ordres, ce qui serait contraire aux premiers principes du calcul différentiel. O11 ne peut faire disparaître cette difficulté qu’en supposant, ainsi que M. Laplace l’a remarqué le premier (*), que l’action de chaque élément de la barre s’étend au-delà du contact, et qu’elle s’exerce sur tous les élémens compris dans une étendue finie, aussi petite qu’on voudra. La loi de cette action peut s’exprimer, comme dans la théorie des réfractions et dans celle des phénomènes capillaires, par une fonction de la distance, qui devient insensible ou nulle aussitôt que la variable acquiert une valeur sensible : or, dans cette hypothèse, la variation de température d’un élément quelconque est donnée par une intégration dont le résultat est indépendant de la forme de cette fonction; l’équation du mouvement de la chaleur conserve la même forme quelle avait auparavant; seulement l’homogénéité différentielle s’y trouve rétablie, et elle ne présente plus rien d’irrégulier.

Au reste , la supposition d’une action à distance entre les molécules différemment échauffées d’un corps solide, n’est pas simplement une considération mathématique propre à faire disparaître l’irrégularité du calcul ; elle est conforme à tout ce que nous observons dans la nature, où nous savons que toutes les actions moléculaires s’étendent au-delà du contact, et jusqu’à des distances finies, qui, à la vérité, échappent à nos sens. En suivant donc l’analogie, on est conduit à admettre que la communication de la chaleur dans les corps solides se fait par une sorte de rayonnement- intérieur, qui n’est sensible

(*) Mémoires de la i. rc classe de l’Institut, année 1809, page 332.

que jusqu’à des distances tout-à-fait inappréciables. Ce serait toutefois une question à décider par l’expérience, de savoir si la sphère dactivité de ce rayonnement est aussi bornée que nous le supposons : si, au contraire, son étendue était un tant soit peu sensible, la forme de l’équation différentielle serait changée ; et généralement cette équation est subordonnée à l’hypothèse que l’on fait sur le mode de communication intérieure.

En adoptant celle qui réduit la sphère dactivité de ce rayonnement à une étendue insensible, j’ai formé l’équation différentielle du mouvement de la chaleur dans l’intérieur d’un corps hétérogène, pour lequel la chaleur spécifique et la conductibilité varient d’une manière quelconque d’un point à un autre. Dans le cas particulier de l’homogénéité, cette équation coïncide avec celle que M. Fourier a donnée le premier dans le mémoire cité, en la déduisant de l'action des elemens contigus du corps, ce qui n’a pas paru exempt de difficulté. Outre cette équation, commune à tous les points du corps, il en existe une autre qui n’appartient qu’aux points de la surface supposée rayonnante, et que M. Fourier a également donnée. Pour l’obtenir, j’avais d’abord employé une considération qui me paraissait suffisante’, et que l’on trouvera encore indiquée dans le n.° 6i de ce Mémoire ; mais j’y suis ensuite parvenu par une autre méthode qui me semble jeter plus de jour sur la question, et qui est fondée sur la nature meme du rayonnement extérieur, considéré de la manière suivante.

La chaleur qu’un corps solide émet au dehors ne part pas seulement des points de sa surface ; elle émane aussi des points de la masse qui sont situés à une petite distance de la superficie; de telle sorte que l’intensité de cette émanation diminue très-rapidement à mesure que la distance augmente, et na plus deffet sensible à une très-petite profondeur. Cette manière d envisager le rayonnement extérieur est naturellement liée au mode de communication de la chaleur que nous avons supposé entre les molécules du corps; et ce serait une contradiction d’admettre l’un et de rejeter l’autre, ou vice versa. Mais nous suppose-

rons de plus que chaque particule du corps, voisine de la surface, rayonne vers tous les points matériels du milieu environnant; que la quantité de chaleur qu elle envoie à l’un de ces points est proportionnelle a 1 exces de sa température sur celle de ce point; quelle dépend, en outre, des longueurs que les rayons calorifiques ont à parcourir, et de la matière qu ils traversent, soit dans le milieu extérieur, soit dans l’intérieur du corps; et qu enfin elle ne dépend nullement de 1 angle sous lequel ces rayons viennent couper la surface. Ces hypothèses paraissent résulter des données les plus générales de l’observation; et je les ai prises pour base de mon analyse dans la recherche de l’équation relative à la surface d’un corps rayonnant. Elles conviennent également au cas où le fluide qui forme le milieu extérieur est en repos, et au cas où ce fluide est en mouvement par l’effet de la chaleur, ou autrement, pourvu que l’on connaisse à chaque instant la température de la molécule fluide qui occupe un lieu donné. Toutefois il n’est question ici que de l’effet du rayonnement mutuel qui subsiste entre des particules matérielles, et se fait toujours, quelle qu’en soit la cause, en raison de la différence des températures. Je n’examinerai pas s’il existe réellement un rayonnement absolu des corps dans l’espace, dé* pendant d’une manière inconnue de leur état calorifique, et que l’on puisse comparer à I émission de la lumière. Les principes que je viens de rappeler suffisent à l’objet que je me suis proposé; et, en effet, en partant de ces données, j’ai formé d’abord une équation qui appartient à tous les points voisins de la surface , jusqu’à la profondeur où ils cessent d émettre de la chaleur au-dehors ; puis j’en ai déduit l’équation relative à la surface, quil fallait obtenir. Les considérations dont j’ai fait usage à cette occasion, trouveront, si je ne me trompe, quelques autres applications utiles dans les questions qui se rapportent aux diffère ns genres d actions moléculaires et aux fonctions des petites distances qui en expriirient les intensités.

Les équations différentielles du mouvement de la chaleur à la surface et dans l’intérieur d’un corps de forme quelconque, étant ainsi trouvées,

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ce n est que dans un très-petit nombre de cas que l’on peut parvenir à les résoudre d’une manière complète. L’analyse singulière dont j’ai fait usage pour cette résolution, pourra, ce me semble, mériter l’attention des géomètres. Dans quelques exemples, on parviendrait plus brièvement au résultat en suivant une autre marche; mais le cas d’une barre homogène qui rayonne inégalement par les deux bouts, et celui d’une sphère composée de deux parties de matières différentes, que j’ai traités dans les §§• 2. e et de ce Mémoire, me paraissent propres à montrer les avantages de cette analyse, et la nécessité d’y recourir, lorsque les conditions relatives aux limites des corps sont devenues un peu compliquées. J’essaierai par la suite de continuer ces recherches et de les étendre à d’autres cas qui n’ont point encore été considérés.

§. I. cr

Équations différentielles du Mouvement de la Chaleur dans une Barre d’une petite épaisseur .

[i.] Nous considérerons, en premier lieu, la distribution de la chaleur dans une barre homogène, prismatique ou cylindrique, et d’une assez petite épaisseur pour qu’on puisse regarder, sans erreur sensible, tous les points d’une section quelconque, faite dans le sens de cette épaisseur , comme ayant en même temps la même température ; en sorte que nous aurons seulement à déterminer les lois de cette distribution, suivant une seule dimension du corps échauffé, c’est-à-dire, suivant la longueur de cette barre.

Menons dans son intérieur, et parallèlement à ses arêtes, un axe qui la traverse d’une extrémité à l’autre ; partageons la barre en élémens infiniment petits par des sections perpendiculaires à l’axe, et prenons arbitrairement, sur cette droite, un point fixe que nous indiquerons par la lettre O. Soit aussi M un autre point quelconque de cet axe; dési-

gnons par a- sa distance au point O; I épaisseur de l’élément qui répond au point A4 sera dx, et son volume codx, en appelant co l’aire d’une section de fa barre, perpendiculaire à l’axe. Représentons enfin par u, au bout d un temps quelconque t, fa température de la barre au point A4, faqueife appartiendra à tous les points de l’élément adx, et sera une fonction de .y et de t, qu’il s’agit de déterminer.

D apres ce que nous avons expliqué plus haut, nous supposons que la communication de la chaleur dans l’intérieur de la barre, se fait par une sorte de rayonnement qui s’étend à des distances finies, mais trèspetites. Pour déterminer la variation de température de l’élément cod x pendant 1 instant dt, il faut donc avoir égard aux quantités de chaleur, positives ou négatives, que cet élément reçoit de tous ceux qui sont situés de part et d autre du point A4, et compris dans la petite étendue du rayonnement. Ainsi A4 étant un point de l’axe situé en-deçà et à une ties-petite distance s du point A4, ou à la distance .v— s du point O, nous allons d abord considérer l’action de l’élément qui répond au point

A4, et dont le volume sera c*>ds , sur l’élément qui répond au point A4, et dont le volume est adx.

[ 2 .] Représentons par u ce que devient u quand on y met x — s à la place de x, de manière que u soit, au bout du temps la température de la barre en M', ou la température de l’élément œds. La quantité de chaleur qu’il enverra à l’élément u>dx pendant l’instant dt, sera proportionnelle à la durée de cet instant et à l’excès u — u de température de A4 ' sur celle du point A4; elle le sera aussi au produit dx ds des épaisseurs des deux éiémens ; mais elle dépendra seulement de la premièie puissance de leur base a>, ainsi qu’il est aisé de le voir en observant que les dimensions de cette aire «, quoiqu’elles soient supposées trèspetites, sont cependant très-grandes et comme infinies par rapport à l’étendue du rayonnement intérieur. Cette quantité de chaleur aura donc pour facîeur, le produit ( u — u ) a> dx ds dt, lequel devra en outre être multiplié par la fonction de la distancer, qui exprime la loi XIX/ Cahier. r

de ce rayonnement. Nous désignerons cette fonction par cpj, et l’expression complète de la quantité de chaleur demandée , sera

(u — u ) cps . où dx ds dt.

La fonction q>j représente une quantité essentiellement positive ; car il faut que l’élément cods enlève ou communique de la chaleur à l’élément o>dx, selon que la température du premier est plus élevée ou plus basse que celle du second, ou selon que la différence u—u est positive ou négative. La forme de cette fonction n’est aucunement connue; il est possible qu’elle dépende de la matière de la barre, ou qu’elle ne diffère d’une substance à une autre que par la grandeur d’un coefficient indépendant de s; mais nous admettons, dans tous les cas, qu’à partir de s'izz o , les valeurs de cette fonction décroissent très-rapidement à mesure que s augmente, et qu’elles deviennent tout-à-fait insensibles dès que cette distance a acquis une grandeur sensible.

[3.] En intégrant la quantité que nous venons de trouver depuis s~ o jufsqu’à la limite du rayonnement intérieur, nous aurons la quantité de chaleur que reçoit l’élément udx pendant l’instant dt, et qui lui est communiquée par la partie de la barre située en-deçà du point M. On verra de même qu’en appelant u j la température au bout du temps t, qui a lieu au-delà de ce point, à la distance x-)-s du point 0 , l’intégrale cù dx dtf [u t — u) <ps ds, prise entre les limites précédentes, exprimera la quantité de chaleur que l’autre partie de la barre envoie au même élément pendant l’instant dt. Réunissant donc ces deux intégrales définies, qui sont prises entre les mêmes limites, nous aurons

cù d x dt f («H— k' — 2 u) Qs ds ,

pour l’augmentation instantanée de chaleur de l’élément cù d x, due à la communication intérieure.

Le rayonnement extérieur enlève à chaque instant à cet élément, une quantité de chaleur proportionnelle à sa surface latérale et à l’excès de sa température sur celle du milieu environnant. Pour simplifier la

question, nous supposerons cette dernière température constante, et nous fa prendrons pour le zéro de l’échelle thermométrique ; appelant en outre e le contour de la sections, la surface latérale de l’élément u>dx sera e dx, et la chaleur qu’il perd par le rayonnement extérieur pendant 1 instant dt, pourra être représentée par

y m dx dt;

y étant un coefficient constant et donné, qui dépendra, dans chaque cas, de la matière de la barre et du degré de poli de sa surface. Ce coefficient est une quantité finie : il exprime la quantité de chaleur qui serait émise, pendant l’unité de temps, dans un milieu à la température zéro, par une superficie équivalente à l’unité de surface, dont tous les points auraient le même pouvoir rayonnant que ceux de la surface latérale de la barre, et seraient entretenus à une température constante, égale à celle que l’on prendra pour unité de température (*).

Cela posé, si l’on retranche cette quantité y u t dx dt, de la précédente, on aura la valeur complète de l’accroissement de chaleur de codx pendant l’instant dt, savoir:

fi u , u> — 2U ) <p sds — yue] dx dt ; or, l’accroissement de sa température pendant cet instant, est la différent elle de u prise par rapport à /, ou ~ dt; en désignant donc par c la chaleur spécifique de la matière de la barre, nous aurons

(*) Limité de température est entièrement arbitraire : on peut prendre, si l’on veut, pour cette unité, 1 intervalle correspondant à un degré du thermomètre centigrade. La température d’un point quelconque de la barre, et celle du milieu environnant, étant indiquées par ce thermomètre, on retranchera la seconde de la première; et si la différence est 20°, par exemple, la quantité u, qui répond à ce point, sera représentée par le nombre 20; si c était, au contraire, la seconde température qui surpassât la première de 20 , la valeur de u serait alors u =—20. Quant aux quantités de chaleur, on les exprimera en nombres, en prenant pour unité la quantité de chaleur qu’il faut employer pour produire un phénomène constant et déterminé; pour fondre, par exemple, un poids donné de glace, prise à la température où la fusion va commencer.

l£ PHYSIQUE

/ du ,

ctùdx . -7— dt, d t

pour l’accroissement de chaleur de codx correspondant à celui de sa température ; par conséquent, la quantité précédente devra être égale à celle-ci, d’où ii résulte l’équation

c u> — u f(u j H- u — lu) Qsds — y eu.

Le coefficient c est aussi une constante donnée, qui exprime la quantité de chaleur qu’il faudrait communiquer à une unité de volume , remplie de la matière de la barre, pour élever sa température d’une unité.

[4.] II reste maintenant à effectuer l’intégration indiquée dans le second membre de cette équation. Pour cela, nous avons , par le théorème de Taylor,

du

d 2 u dx 2 d 2 u dx 2

s * d 3 u si