d xi

2 dxl 2 .3

d’où nous tirons

Les intégrales relatives à s doivent être prises depuis s = o jusqu a la limite du rayonnement intérieur ; or, cette limite n’est point une quantité déterminée que l’on puisse introduire dans le calcul ; mais à cause que l’intervalle des valeurs de s dans lequel cps a des valeurs sensibles, est très-petit, et qu’au-delà de cet intervalle, cps peut être regardée comme nulle, il est permis d’étendre ces intégrales depuis j = o jusqua s = 00, et alors elles seront des constantes déterminées. Soit donc

f <fs ./ ds — k , f<$s.s*ds — k' f &c. ;

nous aurons

/(« -+- u — lu) Qsds = k

II résulte encore du peu d’étendue des valeurs sensibles de Cpj, que la suite des quantités K, k !, &c., forme une série très-convergente , et que si l’on compare entre elles deux de ces intégrales définies, celle qui 'renferme sous le signe / la plus haute puissance de s, sera très-petite, et pourra être négligée par rapport à l’autre. Nous pouvons donc réduire la série précédente à son premier terme ; alors, nous aurons simplement

J' (a y -H u —2 u) s ds ■=. k î

au moyen de quoi, l’équation du n.° précédent deviendra du d 1 u

— 1 y tu.

CCÙ —7 — = dt

kU ‘

divise ses deux membres par eu

où l’on voit que les quantités a et b seront les seules constantes qui entreront dans cette équation, et qui devront être données dans chaque cas particulier.

[5.] Outre l’équation (1), qui appartient à tous les points de la barre que nous considérons , il en existe une autre qui ne convient qua ses extrémités; mais, avant de former celle-ci, il est nécessaire de chercher la quantité de chaleur qui passe à chaque instant par une section perpendiculaire à l’axe de la barre, et correspondante au point quelconque M-

Pour la déterminer, conservons toutes les notations précédentes; soit de plus M t un point situé à une très-petite distance r, au-delà

i 4 PHYSIQUE

du point M, ou à la distance x-h r du point O. Le volume de lelément qui répond à M t aura pour expression où d r, sa distance au point M sera s-+-r, et nous représenterons par v sa température au bout du temps t. D’après cela, la quantité de chaleur que l’élément wds envoie, pendant l’instant dt, à l’élément où d r, sera exprimée par ( n.° 2 )

( u — v) (p (r -t- s) . où d r d s d t.

En en prenant l’intégrale, depuis jh:o jusqu’à 00, on aura, en fonction de r, la quantité de chaleur envoyée à ce dernier élément par toute la partie de la barre située en-deçà du point M; intégrant une seconde fois, depuis r=o jusqu’à r= 00, on obtiendra la quantité de chaleur envoyée par cette partie de la barre à tous les élémens de l’autre partie auxquels son action peut s’étendre; or, cette quantité de chaleur est évidemment celle qui passe, pendant l’instant dt j par la section où faite au point M; donc, en l’appelant X, nous aurons

X =■ où dt ff [u — v ) <p (r -f- s) dr ds.

En réduisant en séries les quantités u' et v , et retranchant ensuite l’une de l’autre, on aura

v du

(rl ^ s^) d 2 11

Mais, par la même raison que dans le n.° précédent, nous négligerons tous les termes de cette suite par rapport au premier; de sorte que nous aurons simplement

X = - ~ udt ff Q ( r -t- S ).(;• -t- s) dr ds.

Cette intégrale double se réduit sans peine à une intégrale simple, et l’on peut prouver que sa valeur est égale à la constante k. En effet, en intégrant d’abord par rapport à r, on a identiquement

/ Q(r-hs).(r-\-s)dr= f Cf> s. s d s,

pourvu que l’intégrale relative à s soit prise depuis la valeur indéterminée s —s jusqu’à s — 00. Désignant donc par S le résultat de cette première intégration, nous aurons ensuite

ff Q (r-W).(r-J-j) dr ds =f S ds ;

ou bien, en intégrant par parties,

ff Ç { r -+- s ). (r s) dr d s = s S — / sdS ;

or, aux deux limites de cette intégration, le produit s S s’évanouit; 011 a d’ailleurs dS'zzz — (ps.sds; on aura donc, comme on voulait le prouver,

ff <J> (r-i- s). (r-h-s) dr ds = f cp s .s'- d s zzz k.

D’après cela, la valeur demandée de X sera

X zzz — h où d t.

Elle pourra être positive ou négative ; son signe fera connaître le sens dans lequel s’écoulera, à chaque instant, la chaleur qui passe par la section faite au point Ad : ce flux aura lieu dans le sens de l’accroissement des x, ou en sens contraire, selon que cette valeur aura le signe -f- ou le signe — ; ce qui dépendra uniquement du signe

T du

de -j—,

[6.] Si nous n’avions pas déjà trouvé d’une autre manière l’équation (1), cette expression de X pourrait aussi nous y conduire. En

effet, la différentielle de X, par rapport à x, prise avec un signe

dX . . „ . .

contraire, ou-exprime évidemment lexces de la quan¬

tité de chaleur qui entre à chaque instant dans l’élément oodx par une de ses faces, sur la quantité qui en sort par la face opposée;

c’est donc la quantité de chaleur qui lui vient de la communication

intérieure : elle sera égale h. k a dx dt; et en en retranchant,

l6 PHYSIQUE

comme dans le n.° 3 , celle que le rayonnement intérieur enlève au même instant à cet élément, on aura

ku> dx dt — yzudxdt ,

pour l’augmentation de sa quantité de chaleur pendant l’instant dt. D’une autre part, cette augmentation est exprimée par eu -^jL. dx dt;

or, en égalant entre elles ces deux valeurs dune même quantité, 011 en conclut l’équation (1), qu’il s’agissait d’obtenir.

[7.] La valeur de X nous montre encore que si l’on a deux barres de même épaisseur et de matières différentes, dans lesquelles la chaleur soit distribuée de la même manière, en sorte que la température soit la même fonction de x dans l’une et dans l’autre, il pourra cependant arriver, à raison du facteur k, que les quantités de chaleur qui s’écoulent pendant le même temps par des sections homologues, soient différentes dans ces deux barres. Cette quantité sera la plus considérable , toutes choses d’ailleurs égales, dans la barre où la valeur de k sera la plus grande : la matière dont elle est composée donnera donc un passage plus facile à la chaleur; et, comme cette quantité k représente l’intégrale fQs.s'ds, cette plus grande facilité pourra venir de ce que le rayonnement intérieur s’étend, dans cette matière, à de plus grandes distances, ou de ce qu’il a une plus grande intensité à son origine. Quoi qu’il en soit, nous prendrons la quantité k pour mesure du degré de conductibilité de la chaleur dans la matière à laquelle elle se rapporte, et nous la supposerons donnée en nombres dans chaque cas particulier. Au reste, cette quantité k est elle-même une certaine quantité de chaleur, que nous définirons d’une manière complète au moyen de l’exemple suivant, le plus simple que l’on puisse choisir pour cet objet.

Prenons une barre prismatique et homogène, d’une longueur égaie à limité linéaire, dont la base soit équivalente au carré fait sur cette unité, et dont les deux extrémités soient entretenues à des tempéra-

tures constantes, l’une à zéro et l’autre à la température qu’on prend pour unité; faisons abstraction du rayonnement latéral, ou supposons la barre enveloppée d’une matière non conductible qui empêche ce rayonnement. On sait par l’expérience, et l’on verra dans la suite de ce mémoire, qu’une telle barre parviendra plus ou moins vite à un état permanent, dans lequel les températures de tous ses points seront invariables: alors =0, dans toute salongueur; et, en supprimant le terme relatif au rayonnement extérieur, l’équation (1) se réduira à x% - — o, dont l’intégrale est u zz: C x H- C'. Pour déterminer les

deux constantes arbitraires C et C', je place le point O à l’extrémité de la barre dont la température est l’unité: de cette manière, nous aurons u z=z 1 quand x = o, et u z=z o quand x zz: 1 ; d’où il résulte C —— 1 , C'= 1. Nous aurons donc, en un point quelconque de la barre, u z=z 1 —x; et, à cause de cù zz: 1, nous en conclurons X = kdt ; ce qui montre qu’il s’établit, dans ce cas, suivant toute la longueur de la barre, un flux constant de chaleur, dont le coefficient k exprime la vitesse, en sorte que cette constante est la quantité de chaleur qui traverse, dans l’unité de temps, chaque section de la barre que nous considérons.

On conçoit que ce n’est pas d’après l’observation directe de ce flux invisible, que l’on détermine la valeur de k; il existe d’autres phénomènes que nous indiquerons par la suite et qui peuvent servir à cette détermination dans les différentes substances solides. M. Fourier a déduit de ses propres expériences la valeur de cette quantité dans le fer forge ; mais cette valeur n’est connue jusqu’ici pour aucune autre matière; et cependant la conductibilité est un élément indispensable de la théorie de la chaleur et de la plupart des applications dont elle est susceptible.

[8.] Revenons maintenant au cas général, et examinons ce qui arrive aux deux extrémités de la barre. Nous indiquerons dorénavant XIX. e Cahier. C

l8 PH Y SI QU ETA

les deux bouts de son axe par les lettres E et E' ; de plus, nous supposerons que le point E réponde à xz: + / ; et ie point E’ à x = — V, en sorte que OE soit ia partie de l’axe à laquelle se rapportent les valeurs positives de x, O E' celle qui répond aux valeurs négatives, et /-h*/ 7 la longueur totale de la barre.

La manière dont nous avons déterminé la valeur de X ne s’applique qu’aux sections de la barre qui sont faites à des distances sensibles de ses extrémités; elle ne pourrait convenir, par exemple, à une section dont la distance au point E serait moindre que l’étendue du rayonnement intérieur; car il faut que l’intégrale définie relative à r soit entière et prise dans toute cette étendue, ce qui n’aurait pas lieu pour une telle section. Mais si l’on prend le point AI extrêmement près du point E, de telle sorte, néanmoins, que la distance ME, ou /— x t surpasse tant soit peu l’étendue sensible du rayonnement intérieur , nous admettrons que la quantité de chaleur qui traverse à chaque instant la section faite à ce point M, est à très-peu près la même que celle qui sort par l’extrémité voisine de la barre, et que l’une de ces deux quantités peut être prise pour l’autre, sans crainte d'aucune erreur sensible. Or, l’expression de X convient au point M que nous considérons; il en résulte donc qu’en y faisant xzzzl, elle exprimera aussi la quantité de chaleur qui sort par l’extrémité E pendant l’instant dt (*).

Cette chaleur s’échappe de la barre sous forme rayonnante, à travers le milieu environnant ; d’après la loi du rayonnement extérieur que nous adoptons dans ce Mémoire, elle devra donc être proportionnelle à la température de la barre au point E, celle du milieu étant prise pour le zéro de l’échelle thermométrique; mais, pour plus de généralité, nous supposerons que la section où qui termine la barre en ce point, n’a pas le même degré de poli que sa surface latérale; et alors nous repré-

(*) Pour de plus grands détails sur le mouvement de la chaleur aux extrémités des corps sohdes, voyez les h.°* 51 et suivans de ce Mémoire.

senterons par y a u dt le produit du rayonnement de cette section pendant I instant dt; le coefficient y étant une constante donnée qui exprime, à l'égard de la surface extrême, ce que le coefficient y du n.° 3 représente par rapport à la surface latérale. De cette manière, nous aurons, pour la valeur particulière * = /, l'équation

X — k a —j— dt y' a u dt.

Tout ce que nous disons relativement à l’extrémité E convient également à l’autre bout E' de la barre, avec cette différence que ^exprime, en ce dernier point, la quantité de chaleur qui entre à chaque instant dans la barre, et qu’il faut prendre la valeur de X avec un signe contraire, pour quelle représente la chaleur qui s’échappe sous forme rayonnante, par cette extrémité E\ Pour la valeur particulière x =—l', q U i répond à E', nous aurons donc

X =z ku dt — y" au dt ;

y étant une constante donnée, que nous supposons, en général, différente de y et de y

Maintenant, si Ton fait, pour abréger,

les équations particulières aux deux extrémités de la barre, qu’il s’agis sait de former, deviendront ' b

dit

"dlc b- (6 u ~ o , pour x — / ;

dx P u '—°» pour

[9.] Il est bon d’observer que la loi du rayonnement extérieur proportionnelle à l’excès de la température qui a lieu à la surface d'un corps échauffé, sur celle du milieu environnant, n’est pas applicable aux

premiers instans du rayonnement, et qu’elle ne subsiste quaprès uii intervalle de temps qu’on doit supposer extrêmement court, puisqu’il échappe à l’observation. En effet, si la barre que nous considérons a été échauffée d’une manière quelconque, en sorte que tous ses élémens aient reçu des températures exprimées par une fonction arbitraire de x, il n’arrivera pas, pour ces températures initiales, que la quantité

~ —h -fiu soit nulle au point E> ou quand on y fait x—l; par

conséquent, si l’on place la barre dans un milieu dont la température soit zéro, la quantité de chaleur quelle émettra par son extrémité E ne sera pas proportionnelle, dans le premier moment, a sa température en ce point; observation qui s’applique également à son autre extrémité E et à tous les points de sa surface latérale. Lorsque le refroidissement

commence, les quantités —h /3 u et - fi u , relatives aux

deux points E et E!, doivent donc être regardées comme des fonctions dû temps qui décroissent très-rapidement et sont bientôt égalés a zéro ; et ce n’est rigoureusement qu’à l’époque où elles ont atteint cette limite, que le rayonnement est proportionnel à l’excès de température, et que l’on peut faire usage des équations (2): mais il ne paraît pas que la considération de ce petit intervalle de temps puisse avoir aucune influence sensible sur les lois du refroidissement.

Au reste, les quantités fi et fi' pouvant être supposées nulles ou infinies, ces deux équations comprennent les principales conditions auxquelles on peut assujettir les extrémités de la barre. Si l’on fait fi o, fi' — o, ce sera supposer qu’il n’y a aucune déperdition de chaleur à l’une ni à l’autre extrémité ; ce qui aurait lieu si les deux bouts de la barre étaient plongés dans une substance absolument non conductrice. Si l’on a, au contraire, fizzzoo , fi' — 00, les équations (2) se réduiront à o, et ce sera le cas où les extrémités de la barre sont entretenues à la température zéro du milieu environnant. Enfin, si une seule de ces deux quantités est infinie, l’extrémité correspondante sera entretenue constamment à la température zéro, et le rayonnement continuera

d’avoir lieu à l’autre bout de la barre. Dans le second §. de ce Mémoire, nous examinerons spécialement ces différens cas particuliers.

[ I O.] Au lieu de terminer la barre au point E, supposons qu’on y adapte une autre barre qui ait le même axe et la même section perpendiculaire à l’axe, mais qui soit formée d’une matière différente: sans faire aucune hypothèse sur la manière dont la chaleur passe d’une barre à l’autre, nous pourrons déterminer les conditions qui doivent être remplies à leur point de jonction.

Pour cela, désignons par u , au bout du temps t, la température dun élément quelconque de la seconde barre , situé à la distance x du point O, en sorte qu’on ait x>l, ou, tout au plus, x=/. Le point E appartenant à-la-fois aux deux barres, il est évident qu’on aura d’abord u = i{ pour la valeur particulière x=l. De plus, soit h une quantité positive très-petite, du même ordre, mais seulement un peu plus grande que l’étendue du rayonnement intérieur dans l’une et dans 1 autre barre; prenons sur l’axe de la seconde, un point M' répondant à xz=/ -hh, et, sur celui de la première, un point M qui réponde à x =/— h; et examinons ce qui arrive dans la portion M EM' des deux barres, dont le volume sera 2 ah.

La quantité de chaleur quelle reçoit pendant l’instant dt, et qui y pénètre par la section perpendiculaire à l’axe, faite au point M, sera

égale à la valeur de — k—^ en dt, qui répond kx = l —///demême celle qui en sort par la section faite au point Al , aura pour expression la valeur de — k' adt qui répond à x — l-ï-h, le coefficient k représentant la mesure de la conductibilité dans la matière de la seconde barre (n.° 7): 1 excès ( k’ - - k J adt de la première quan¬

tité sur la seconde, sera donc, pendant l’instant dt , l’augmentation de la quantité de chaleur de M E M'. Or, il est nécessaire que le coefficient de adt, dans cette variation, soit très-petit et du même ordre que h,

sans quoi les élémens des deux barres, voisins de leur point de jonction, prendraient, dans un intervalle de temps fini, des températures positives ou négatives qui surpasseraient toute limite observable; ce qu on peut regarder comme contraire à l’expérience. Donc, pendant tout le temps, de la communication régulière de fa chaleur entre fes deux

barres , fa valeur de fa quantité k' --Æ-^-, T” r ^P ond àx=l,

devra être égale à zéro.

Ainsi nous voyons qu’au point de jonction des deux barres, ou pour la valeur particulière xzzzl , on aura ces deux équations ,

dont if sera nécessaire de faire usage, si l’on veut déterminer fa distribution de fa chaleur dans une barre composée de deux parties de matières differentes. Toutefois, si ces deux parties ont été échauffées arbitrairement avant d’être jointes l’une à fautre, il est clair que ces équations n’auront pas fieu dans fe premier moment du contact, mais seulement au bout d’un temps très-court, dont on devra faire abstraction dans cette détermination.

s. II.

Distribution de la Chaleur dans une Barre prismatique, d'une petite

épaisseur.

[il.] Lequation (i), aux différences partielles du second ordre, est du nombre de celles qui ne comportent qu’une seule fonction arbitraire dans leur intégrale complète, ainsi que je l’ai démontré autrefois par fa considération des séries. M. Laplace a depuis confirmé cette proposition , en intégrant cette même équation sous forme finie par

le moyen des intégrales définies. L’intégrale qu’il a donnée (*) est celle-ci :

u — J 77 ~ f /(*-*- ^a<tVt)Jùiî (3)

f désignant la fonction arbitraire, e la base des logarithmes népériens, TT le rapport de la circonférence au diamètre, et l’intégrale définie relative à cl , étant prise depuis cl — — 00 jusqu’à a = -f- 00.

Le grand avantage de cette forme d’intégrale consiste en ce que la fonction arbitraire s’y trouve déterminée immédiatement, en tout ou en partie, au moyen des données initiales du problème dont on s’occupe ; car, en faisant t = o , on a

u — -^rf x d«- = fx ;

en sorte que, dans la question présente, la fonction f x représente la loi des températures initiales des différentes sections de la barre; par conséquent cette fonction est censée donnée, dans chaque cas particulier, pour toute la longueur de ia barre : elle peut être continue ou discontinue, nulle dans certaines parties, et avoir ailleurs des valeurs quelconques.

[12.) Si ia barre se prolonge à l’infini de part et d’autre du point O, il n’y a pas d’autre condition à remplir que celle de son état initial: l’équation (3) renferme donc alors la solution complète du problème; c’est-à-dire, quelle fera connaître, au bout d’un temps quelconque t, la température de tel point de la barre qu’on voudra. Supposons, par exemple, que la barre n’ait été échauffée primitivement que dans une petite portion, qui s’étendait depuis ,v=r:o jusqu’à ' ^' et que, dans tout autre point, la température initiale était zéro comme celle du milieu environnant; alors la fonction fx sera nulle pour toutes les valeurs de x qui tombent hors des limites zéro

O XV.* Cahier de ce Journal, page 24*•

et h; si donc on fait .v -t- 2 a& Yt=zx', ce qui donne

x —x j dx'

~2 a Vt 9 dcL — 2 a Vt 9

la valeur de u deviendra

4 « 2 * fx r dx' ;

et il suffira de prendre l’intégrale relative à x', depuis o jusqu’à

x' — h, puisque le facteur f x 1 est nul pour toute autre valeur de cette variable.

Cette expression nous montre que la chaleur communiquée à une portion de la barre se répand instantanément dans toute sa longueur ; car, quelque grande que soit la distance x, et quelque petit que soit le temps t, il y aura toujours une valeur de u qui ne sera pas rigoureusement nulle. Mais on voit aussi, en ayant égard à l’exponentielle contenue sous le signe f, que cette valeur sera imperceptible hors de l’étendue de réchauffement primitif, tant que 4 ^* t sera une très-petite quantité par rapport à * a , ou iaYt par rapport à la distance x. Si l’on considère des points de la barre très-éloignés du lieu de cet échauffement, et si l’on attend que l’élévation de température y soit devenue sensible, on pourra la calculer avec une trèsgrande approximation, en négligeant x ' par rapport à x dans l’exponentielle dont nous parlons. De cette manière, on aura simplement

Appelant A la quantité totale de chaleur communiquée à la barre, on aura aussi (n.° 3 ),

A = ccù ff x dx ;

et en éliminant l’intégrale ffx' dx ', il vient

A e~ lt e 4 ‘* 1 '

2 c e») a y vt

où Ion voit que la température des points que nous considérons ne dépendra que de cette quantité totale de chaleur, et nullement de ia i°i de sa distribution primitive, ou de fa forme de fa fonction f

r 1 3 -] P° ur comparer deux barres de matières différentes, sous fe rapport des temps plus ou moins longs qu’elles emploient à transmettre des quantités égales de chaleur à la même distance, nous ferons abstraction du rayonnement extérieur. Soit donc bz=. o; nous aurons

2a y 7 rt

Ce produit eau est la quantité de chaleur transmise dans le temps /, à la distance x; en déterminant son maximum par rapport à t, on trouve qu’il répond à et qu’il est égal à — j— ■ Il ne

dépend pas, comme on voit, de la quantité a, ni de rien qui soit relatif à la matière de la barre; en sorte que deux barres de matières différentes transmettent néanmoins la même quantité de chaleur à une distance donnée; mais cette transmission se fait dans des temps inégaux; et, d’après la valeur de t qui répond au maximum, elle est la plus rapide dans la barre pour laquelle la quantité a est la plus grande. Oi, nous avons fait ~^~—a x (n.°4)î il s’ensuit donc que

ce nest pas toujours la matière qui a la plus grande conductibilité k, qui conduit cependant le plus promptement la chaleur à une distance donnée : cette propriété dépend à-la-fois de la grandeur de k et de la chaleur spécifique de 1a matière, qui est ici représentée par

[ I 4 -] Avant de quitter le cas d’une barre de longueur indéfinie, ■nous considérerons encore l’exemple suivant.

XIX/ Cahier .

Supposons quon ait communiqué de la chaleur, par un moyen quelconque, à tous ies points de ia barre, et que

fx =

soit la loi des températures initiales dans toute sa longueur; ô et g étant des constantes données, dont la première exprime la température au point O, et l’autre une ligne de grandeur quelconque. En appelant toujours A la quantité de chaleur communiquée à la barre entière, et intégrant depuis * = — oo jusqu’à *i=:-|-oo, nous aurons

A = c cù J 1 ) e ë dx — c «0 g V 7 r ;

éliminant, par ce moyen, la quantité 0 , il vient f x — -——^— e ë 2 ,

J C Où O V-rr

au moyen de quoi l’équation ( 3 ) devient

Ae-it - J*-*-*««■✓*)*

cugir J

d et.

Cette intégrale, dont les limites sont etizizhoo, s’obtient par les moyens connus, et l’on trouve

A e~ lt e ~ e *-*-**' 1

cu/vry ( g 2 -h 4 a *t)

Si la ligne représentée par g est très-petite, les températures initiales décroîtront très-rapidement de part et d’autre du point O, et réchauffement primitif pourra être regardé comme nul, hors d’une petite portion de la barre. Ce cas devra donc coïncider avec le précédent ; et, en effet, en ne considérant pas les valeurs insensibles de u, qui répondent à de très-petites valeurs de t, ce qui permettra de négliger # 2 par rapport à 4 a * t, la valeur de « se réduira à celle-ci :

A e -bt 4

2 c u a y/irt

qui est la même chose que celle du n.° 12. Cette valeur avait été déduite de la considération d’une fonction discontinue; mais il n’était pas inutile de montrer que l’on y peut aussi parvenir, en exprimant les températures initiales par une fonction soumise à la loi de continuité, dans toute la longueur de la barre, mais qui n’a de valeurs sensibles que dans une petite étendue.

[15*] Maintenant considérons le cas où la barre a une longueur donnée, que nous représenterons par 1/. Plaçons le point O au milieu de son axe, de sorte que ses deux extrémités E et £'répondent à v—q/ et — /. Dans ce cas, la fonction arbitraire que l’équation ( 3 ) renferme, ne sera plus déterminée en entier, d’après l’état initial de la barre : fx sera donnée pour toutes les valeurs de x qui répondent à des points

de la barre, ou qui sont comprises depuis *=—/jusqu’à »- h-/;

mais hors de ces limites, cette fonction restera arbitraire; et c’est cette indétermination qui nous laisse, comme on va le voir, les moyens de satisfaire aux conditions des deux extrémités, exprimées par les équations (2) du n.* 8.

Comme nous emploierons souvent, dans ce qui va suivre et dans toute la suite de ce Mémoire, des intégrales définies prises dans des limites différentes, nous ferons usage, pour les indiquer, d’une notation proposée par M. Fourier, qui nous a paru très-propre à abréger le discours. Dorénavant, nous indiquerons par^ une intégrale définie, prise depuis la limite cl, marquée par la lettre inférieure, jusqu’à la limite a/, indiquée par la lettre supérieure. Cela étant, quelle que soit la fonction Fy, nous aurons identiquement

f u F y d y — f 0 p y d y —fl p y d y f'I J y = ~f~f p y d y •

et dans le cas des limites zéro et l’infini, on aura aussi

/: F{y-y-i')dy —F y dy == FyJf-f* F y dy ; /y (-/+*) dy=-/T F(y-t-F) dy——J~~J° F^frf* Fydy ;

étant une constante quelconque, positive ou négative. Nous ferons, dans la suite, un assez fréquent usage de ces changemens de limites des intégrales définies.

[16.] En différenciant l’équation (3) par rapport à a*, et faisant ensuite , dans cette équation et dans sa différentielle,

x-h2ûci\/t — y, d et = ■ »

nous aurons

e~bt