Z 3 ,)/ COS / AC

/? = [/3-4-/3 / -f-2 /(/3/3 y —Z 1 )] cos 2 // — [2 -I- 2 /(/3-h /3 y )]sin 2 // ;

et fa somme S s’étendra à toutes les racines positives de l’équation

{fi fi, — /*) sin 2 / /-4-(/3-I-/3) /cos 2 // = o , (p)

y compris la racine / = o, pour laquelle on 11 e prendra que la moitié du terme correspondant.

De même, en ayant égard à la troisième et à la quatrième équation (o), on transformera l’intégrale relative à de telle sorte que l’on aura

~7vf-ao e /(/ ' -v'H- 2 a a,' Yt, x" H- zœ au" Yt) d cl =

2 ' cos y ' x "~*~ 2û<t " /*) <iy

pour toutes les valeurs des variables y et x"-hzaa," Vt : les expressions de X, X ê et R se déduiront de celles de X, X / et R, en y mettant P ’ A ’ l et / ® la place de /3, /3 , / et / ; et la somme S' s’étendra à toutes les valeurs positives de /, tirées de l’équation

(^'/3/— /‘) sin 2 /'/-^ (£'*£')/cosa/y — o, (p’)

en ne prenant toutefois que la moitié du terme qui répond à/ = o.

Enfin, on transformera de la même manière l’intégrale relative à et”, au moyen des deux dernières équations (o) ; et, quelles que soient les

valeurs de y et y , on aura

-77/.^, e * f{y> y > x-+-2a<t" Ÿt)dal' =

s " ['5*'. f-i " cos f"y" •/(/' /> /) </'

•+■ sin /"/'•/(/< y - y") <//] .

les expressions de A"', AT/ et /?" se de'duiront de celles de X, X, et R, en y mettant fi", fi", 1 “ et / à la place de fi, fi,, l et f ; et la somme S" s’étendra à toutes les valeurs positives de y\ tirées de l’équation

(£" ) sin 2 /' (fi"-hfi" i ) / cosif / — O , (p")

en y comprenant /"= o, et ne prenant que la moitié du terme correspondant à cette valeur.

Maintenant, il sera facile de former l’expression de l’intégrale triple qui représente la valeur de u : par des substitutions qui s’effectueront immédiatement, on trouvera

u — S 2 7 X /// [ X X' X cos f y cos f y cos f" y"

—H XjX X sin y y cos y ^ cos y H— X X t X" cos y y sin y y cos y" y" -\-X X' X\os y y cos y y sin y y"X f X[X" sin // sin y y cos yy' -f- xpcxyui yy cos /y sin y"y"-t-X X t ' X " cos yy sin // sin y"y"

AT, sin//sin//sin// j --- f(y>y,y)dydyAy" ;

formule dont il est facile de saisir la composition , et qui n’est trèscompliquée qu’à raison de la grande généralité que nous avons conservée à la question : les intégrales sont prises depuis y=z —/, y —— ï, y ——f f jusqu’à /— -f-/, y 1', y" — ; et entre ces limites,

la fonction f[y, y’, y ) est donnée par l’état initial du parallélépipède.

En faisant les constantes fi, 0 ,, fi', Sec., ou plusieurs d’entre elles, milles ou infinies, on déduira de cette formule générale, les formules particulières qui se rapportent aux principaux cas du problème : si l’on fait, par exemple, ces six constantes infinies, on aura la valeur de u relative à un parallélépipède dont les six faces sont entretenues constamment à la température zéro ; et par une considération semblable à celle du n.° 32, on pourra étendre cette formule au cas où chaque face est entretenue à une température donnée, qui 11e sera pas la même pour toutes les faces, et qui variera même, si l’on veut, d’un point à un autre de la même face. Mais nous n’effectuerons pas ces calculs , qui ne présentent d’autre difficulté que la longueur des formules, et auxquels nous ne voyons d’ailleurs aucune application utile.

[ 77 .] Ces six constantes /3, 0 /( fi', & c., ayant des valeurs quelconques, supposons que les dimensions du parallélépipède soient trèspetites, en sorte que /, / , , soient de très-petites lignes, et fil,

P>, 1 . (i V, &c., de très-petites fractions. On satisfera à l’équation (p) par une valeur de 2 l f également très-petite, et l’on aura immédiatement, pour cette valeur approchée , z! f = Les valeurs

approchées de X, X, et R qui répondent à cette racine, seront

X= — 2f , X / = (/2 - fi) J> t R — 4,y.

et Ion aura de meme

2/y=/2'- + -/3 / 1 x'=-2/\ x;={&-£)y, R ‘ = 4r/ , ; 2/y=/3"-H3/' -r=- 2 /-, x"={&"-£;)/, jr—- 4 r/\

De plus, au bout d’un temps très-court, la somme triple 2 £'X" qui représente la valeur de u. se réduira sensiblement au seul terme qui répond à ces racines des équations (p), (p') et (p"), lesquelles sont trèspetites par rapport à toutes les autres ; donc, en s’en tenant à ce terme unique, et formant la valeur approchée de son coefficient, nous aurons, à très-peu près,

a — Trrrffff0» y ■ y") J y dy df -,

où l’on a fait, pour abréger,

~TF j — n >

ou, ce qui est la même chose,

à cause de a zz:-^—, a / 3 y ru , &c.

En appliquant la formule du n.° 75 au cas actuel, on aura

2=8 It f c, C = c ffff {y, y, y" ) dy dy dy ;

et la valeur de v coïncidera, comme cela doit être, avec la valeur cédente de u.

addition

Au Mémoire précédent, et au Mémoire sur la manière d’exprimer les Fonctions par des Séries de Quantités périodiques (') ;

Par M. POISSON.

Dans ces deux Mémoires, les quantités périodiques suivant lesquelles on a développé des fonctions ou des portions de fonctions arbitraires ont toujours été simplement des sinus et des cosinus d’arcs proportionnels a la variable; mais, dans d’autres questions, les géomètres ont fait usage de séries ordonnées suivant des quantités périodiques , d’une nature plus compliquée, et qui sont elles-mêmes déjà composées de sinus et de cosinus : je veux parler de ces quantités remarquables , dont la composition et les propriétés sont bien connues, et qui se présentent particulièrement, dans les développemens des attractions des sphéroïdes’ Les séries de cette espèce et celles dont nous venons de faire un si fréquent emploi, ayant entre elles une parfaite analogie, nous avons pensé que l’exposition des formules relatives à cet autre mode de développement , ne paraîtrait pas déplacée à la suite des deux Mémoires precédens; et c’est ce qui a donné lieu à cette Addition.

[l.] Soient p et a, deux quantités plus petites que l’unité; faisons ( I - 2 ^ + a .‘)~ 7 = fi *

et développons cette quantité f suivant les puissances ascendantes de

(*) XVIII.* Cahier de ce Journal, page 417,

XIX* Cahier.

j 46 PHYSIQUE

<t : nous aurons une série de cette forme ,

ÿ — P Q —|— et P , —f- et Z 5 , —H et 3 P^ H— et 4 P^ H— Scc, \

Po, Pm P Z i &c., étant des fonctions rationnelles et entières de p, dont il sera facile de former les valeurs. On aura toujours P Q z=i 1 ; tous les autres coefficiens deviendront égaux à l’unité, quand on fera p=zz-\-i , et alternativement égaux à — 1 et à-H 1 , dans le cas de 1 > de

plus, on démontre aisément que chacune de ces quantités sera comprise entre — 1 et -H 1 , tant que-/? restera entre ces mêmes limites; ainsi, par l’hypothèse de ct< 1 , la série précédente sera toujours con¬

vergente.

Nous pouvons regarder p comme étant le cosinus d un certain angle f/,, et faire

p cos pc z=z cos 0 cos G ' -+- sin 0 sin 9 ' cos ( ^ — 4 / ) *

G, G 7 , et *[/, étant des angles ou des arcs donnés ; ^ sera alors le troisième côté d’un triangle sphérique, dans lequel 6 et G seront les deux autres côtés, et ^ — .v|/ l’angle opposé à ce côté \l\ et, d’après cela, ,a ne pourra être nul et p égal à l’unité, qu’autant qu’on aura àla-fois ^j/- y o et G —G 7 .

Si l’on substitue cette valeur de p dans les coefficiens de la série précédente, ils deviendront des fonctions des quatre angles G, G , ^ et <*|/, symétriques par rapport à 0 et G 7 et par rapport à ^ et ^ » or > en ne considérant que ô et ^ comme variables , faisant cos G zz: q, et désignant par n un nombre entier et positif quelconque, on démontre que le terme général P n de cette suite de coefficiens doit satisfaire à l’équation aux différences partielles du second oçdre :

En outre , cette quantité P u sera une fonction rationnelle et entière, du degré n, des trois quantités q, ]/1— q 1, sin ]/1 — q* cos ^ ; mais elle ne sera pas la fonction la plus générale de cette espèce qui satis-

fasse a cette équation. En général, nous désignerons par Y, une fonciou quelconque rat ionnell e et entière, du degré », des trois quantités

l/i y*sin^, ]/i—.^cos-l, pouvant d’ailleurs contenir des constantes arbitraires, et satisfaisant à l’équation

et de cette manière P n ne sera plus qu’un cas particulier de cette fonction r„.

La forme la plus générale de Y. et la forme particulière de P, sont connues ; mais ces fonctions jouissent de propriétés qui se démontrent et s énoncent indépendamment de leur composition, et qui suffiront à objet que nous proposons (*). Si «' est un nombre entier et positif, et que Z„< soit une quantité de la même nature que Y„ et du degré

" , on démontré , d’après ia seule considération de l’équation précédente , que l’on aura

f f Y. Z„. s in 8 dô d^ — o ,

tant que » et n seront deux nombres différens ; les intégrales étant prises depuis 0 = o et + = o, jusqu’à 0 = tr et -| = 2 et ^ désignant, à l’ordinaire, la demi-circonférence pour le rayon égal à l’unité. Lorsqu on a « =», l’intégrale double n’est plus égale à zéro; et dans ce cas, si l’une des deux fonctions quelconques Z, et est la fonction particulière P,, on aura sous une forme très-simple la valeur de cette intégrale. On démontre, en effet, que, les limites étant toujours 0 = 0, 4 = 0, 0 =vr et 4 =27r , on a

ff Y„ P n sin 0 0 J 4, = Al Xl . .

(*) Po»r tom ce que nous supposons connu relativement à ces quantités, on peut en

Z7o u *r*‘ ’ ’ chap ' 11 ’ et Ies E ~ ie Calcul v ‘

Y'„ représentant ce que devient Y n , quand on y remplace les variables 0 et 4 P ar les angles 0 ' et 4 ' qui entrent dans P n et ont été regardés comme des constantes dans cette intégration.

[2.] Cela posé, ces propriétés des fonctions Y n et P n fournissent le moyen de développer une fonction de 4 et 0 en série de quantités de la nature de Y„, et d’exprimer tous les termes de cette série par des intégrales définies. En effet, soit / ( 0 , 4 ) une fonction donnée de 0 et -vp ; admettons d’abord que cette fonction soit susceptible d un développement de cette nature, et faisons en conséquence

f ( 0, 4 ) —— Yo H— Y i —t— Y % H— E 3 H— &c. > ou, pour abréger,

2 indiquant une somme qui s’étend à toutes les valeurs entières et positives de n, depuis v — o jusqu’à «1=00. Multiplions cette équation par P„ sin 0 </0 et intégrons ensuite ses deux membres entre les limites précédentes: tous les termes du second membre disparaîtront, excepté celui qui répond à l’indice ti de P„, et nous aurons

///(A. +) P ‘ sinUU^ = 4^f--

Donc, en échangeant entre elles les lettres 0 et 0 ', 4 et 4 ' » ce C I U * changera Y' n en Y n et ne changera rien à P„, on aura

Y. = V) P, sin fl' dV d\',

et par conséquent

/(A. =lV S 7 /t 2 "^ 1 )P'f{p,\')smV dV d\'. (.)

ou, ce qui est la même chose,

H- 5 4') sin 0' dV d\'.

Ce procédé est, comme on voit, parfaitement semblable à celui que difFérens géomètres ont employé , pour développer line fonction en série de sinus ou de cosinus d’arcs multiples de la variable, lorsqu’on sait d’avance , par la nature de cette fonction , quelle est susceptible d’un tel développement; mais il serait insuffisant, et les formules auxquelles il conduit ne seraient pas convenablement démontrées, si la fonction était arbitraire, et qu’elle pût être continue ou discontinue; et il est évident qu’on ne saurait fixer, par ce moyen , l’étendue des valeurs des variables pour lesquelles ces formules auraient lieu, ni les restrictions auxquelles la fonction devrait être assujettie. C’est pourquoi nous allons considérer directement le second membre de l’équation (i), et chercher, par les mêmes principes qui nous ont dirigés dans les Mémoires précédens, à déterminer ce que cette formule représente pour chaque valeur donnée de 0 et de 4^.

[3.] Désignons, comme plus haut, par et une quantité plus petite que 1 unité, mais qui en puisse différer d’aussi peu qu’on voudra ; et soit

X — - ff (> D o-H 3 / ? ,ot-t- 5 / ? 2 ot , -t- 7 ^ 3 -h.&c.)/( 0 ', ;

le second membre de l’équation (1) sera la limite de cette quantité X, par rapport à 1 — et, ou ce que devient X quand on y fait 1 —<*, —o, ou <t— 1. En différenciant, par rapport à et, la valeur de j> du 11. 0 1, on aura

*77* — P, - 4 - 2 <t P x -h 3 et 1 P } -f. 4 et 3 P+ -h &c. ; d’où l’on conclut

et, comme on suppose et < 1, cette série est convergente, ou ne peut manquer de le devenir en la prolongeant suffisamment; elle est donc

la vraie valeur de la quantité' / -H2ct dLL. ; réciproquement on peut mettre cette quantité à sa place dans X, ce qui donne

x tt )/( ô '* 4 ') si " fi ' w d\'-,

et en substituant pour j> sa valeur, et effectuant la différenciation relative à ce, il vient

( i — a 2 ) / ( 8*, 4' ) sin 8* ( I — 2. a. p -t- cl 2 ) T

Lorsque la fonction / sera donnée, et qu’il sera possible d’effectuer la double intégration, on aura la limite demandée, en faisant ce = 1 dans X, après ces intégrations; mais il s’agit d’obtenir cette limite sans connaître la fonction arbitraire désignée par f

Pour cela, j’observe que le coefficient de d W d sous le double signe //, devient infiniment petit en même temps que 1— cl, excepté lorsque la valeur de p diffère infiniment peu de l’unité, ce qui rend aussi le dénominateur de ce coefficient infiniment petit; or, d’après les limites des intégrales, les valeurs de 0 ' et 4/ s’étendent depuis 6 — o et 4/ = o jusqu’à 6 ~ 7 r et 4 ^ = 27r; si donc on suppose aussi 0 > o et < 7r , et 4^ > o et <27r, on ne pourra avoir p rzz 1 , à moins qu’on n’ait 6 = 0 et 4 / (n.° 1); donc, en faisant 0'=0-f-//, 4/ ==4 •+- k, il suffira d’étendre les intégrales à des valeurs infini-* ment petites, positives ou négatives, de h et k, pour avoir la partie de l’intégrale double qui peut ne pas devenir infiniment petite ou nulle en même temps que la différence 1 — et. En traitant les nouvelles variables h et k comme des quantités infiniment petites, nous aurons

1 — />= 1 — cos6cos6—sin 0sin 0'cos(4 /—sin *6.

Soit, de plus, g une quantité positive et infiniment petite, et faisons 1 — cLZ=zg; nous aurons aussi

( 1 — et ) / ( 0 7 , 4 // ) s * n 6 ' = ^ gf (0,4') s ^ n ^ >

i — 2 cl p H- cl — g' -h h x k 1 sin 1 G ; d’où il résulte

Y / ( 8 , 4 ) ç ç gs\n$dkdh #

~ T J ( g* ~H A 1 *+* A* sin* 9 ) 1

et maintenant les intégrations seront faciles à exécuter.

Commençons d’abord par l’intégrale relative à k. Comme elle est infiniment petite ou nulle pour toutes les valeurs finies de fa variable» on peut, pour plus de facilité, la prendre, sans en altérer la valeur, depuis kzzz — oo jusqu’à A = -|-oo; alors, si l’on fait

k sin ô = k! -[/g* -+- h 1 y sin G d k = j/ g 1 -h- h x d k',

les limites relatives à k' seront encore k! =— oo et A' = -H oo , et l’on aura

/(•> + ) r gdh

, 4- ) r gdh r dk' /( 9>40 Ç gdh

à cause de

-oo dk'

J-oo (n-A'O*

L'intégrale relative à h est égale à tt, lorsqu’on regarde g comme une quantité positive, et qu’on la fait égale à zéro après l’intégration ; car, en désignant par £ une quantité positive quelconque, et intégrant depuis k — — jusqu’à h — -f- <b, on a

/•5^V= 2a rc(,ang = f ):

quantité égale à vr, dans le cas de g-=zo. Nous aurons donc enfin

pour la limite de X, relative à la différence i — et, qu’il s’agissait de trouver.

Concluons donc de là que l’équation ( i ) a lieu lors même que la

fonction /(0, ^/) est entièrement arbitraire, continue ou discontinue; mais , en lui donnant cette généralité, il faut observer quelle ne subsiste nécessairement que pour les valeurs de G>o et <7r, et de 4 > 0 et < 2 7r, et que hors de ces limites, le second membre de cette équation n’a plus, en général, aucun rapport avec les valeurs de/( 0 , 4 )- D’après ce qui précède, on pourra aussi écrire cette équation sous la forme :

( I — 2ap -t- * 2 ) *

a, étant une indéterminée , qu’on supposera plus petite que l’unité dans les intégrations , et qu’on fera égale à i , après quelles seront effectuées.

[ 4 *] Voyons maintenant ce que devient la limite de X, lorsqu’on donne à ô ou 4 l’une de ces valeurs extrêmes, 0 = o ou 0 = 7r , 4 = o ou 4 = 27 r.

Si l'on a 4 = °, il y aura deux valeurs, 4 — ° et 4 // “ z::27r > qui, prises avec 0' = 0, rendront la quantité p égale à l’unité : pour avoir la valeur complète de la limite demandée , on devra donc faire successivement 4 — ^ et 4 — 27r "^"^ ; ma * s > comme la variable 4" doit toujours être positive et ne pas dépasser 2 7r, on devra, dans le premier cas , n’attribuer à k que des valeurs positives , et, dans le second, ne lui donner que des valeurs négatives ; donc, dans le premier cas, il faudra intégrer seulement depuis k'=o jusqu à kzzzoo, et, dans le second, depuis A' = — oo jusqu’à A'= o ; ce qui réduira, dans chaque cas, l’intégrale relative à k!, à la moitié de sa valeur précédente. Il résulte de là que, pour la valeur particulière 4 — 0 » limite de X sera

et l’on verra, par le même raisonnement, quelle sera encore la même pour l’autre valeur entière 4 = 2 #7r - Ainsi , aux deux extrémités de l’intervalle des valeurs de 4 P our lesquelles l’équation (2) subsiste,

cette formule donne la demi-somme des valeurs correspondantes de au lieu de donner chacune de ces valeurs; par conséquent 1 équation (2) ne convient aux valeurs extrêmes = o et ^,

qu’autant quon suppose /( ô, o)= /( 0 , 2 7r ).

Dans le cas de 0 = o, on a /?—cos 6 ' ; l’expression de X se décompose en deux intégrales simples, et devient

mais, quelle que soit et, on a

( r — tt 1 ) sin V dV ( I — 2 <t cos 0' H- a 1 ) *

( I — a* ) sin 0' 0'

( I — a a cos 0' a 1 ) j

: V ( I — 2. cl cos f

constante ;

la quantité contenue sous le radical est un carré parfait aux deux limites ® — 0 et ô =7r de l’intégrale, et les valeurs correspondantes de la racine sont ±(1 —et) et zh(i-H(t) ; donc, ce radical devant être une quantité positive dans toute l’étendue de l’intégration, il faudra prendre * I ^ *1 1& limite ô —,, et 1 — et a la limite à cause que et est

supposée plus petite que l’unité; par conséquent, en passant à l’intégrale définie, on aura

(1 — a 1 ) sin 0* d 8*

( I — 2 et COS 0' -H * 2 ) *

et il en résultera

Dans le cas de ô = 7 r, on trouvera de même

et ces valeurs étant indépendantes de a., elles sont aussi celles de la limite de A pour G=o et fl= 7 r. On voit donc que, pour ces valeurs extrêmes de ô, la formule {2) ne donne pas les valeurs correspondantes flo d,) XIX.‘' Cahier. y

physique

et/(•*•, de la fonction./(6, ^), et quelle donne alors la moyenne des valeurs de cette fonction depuis ^=o jusqua 4 ' = 2 ' 7r > en sorte que l’équation (2) ne subsistera, pour 6cr:o et pour 6 vr, que dans le cas particulier où la variable ^ disparaîtra de la fonction /(°> 4 / )> en donnant à 8 ces valeurs; c’est-à-dire, dans le cas où/(o,^) et f (' 7 Cy seront des quantités constantes.

Observons, quoique ce ne soit pas la supposition qu’on a faite, que si ce était positive et > 1 , ü faudrait prendre cc-i pour la valeur du radical à la limite 8'=o de l’intégrale relative à 8' ; on aurait donc alors

( 1 — a.' ) sin 8 ' d§'

( i—2 a cos B'-ha 1 )*

I — a 1 et ( 1 -4- et )

I — a 1 et (a — I )

et, par conséquent, -2 pour la valeur de cette intégrale correspondante à a. = 1 ; ce qui nous montre que cette limite est difféiente , se on qu’avant de faire la différence 1— =t égaie à zéro, on la regarde comme positive, ou qu’on la suppose négative. Au reste, on peut aussi obtenir directement ces deux valeurs différentes de la limite, en suivant la méthode du n.° précédent. En effet, soit g une quantité positive, et faisons 1 — et = dr g; lorsque g sera devenue infiniment petite, il faudra que la variable 8' le soit aussi, pour que l’intégrale ait une valeur finie ; traitant donc g et 9 ' comme des quantités infiniment petites, l’intégrale précédente deviendra

±igVdV f /2 2 e \

en la prenant de manière quelle s’évanouisse avec 8' : or, cette valeur se réduit à ± 2, quand on y fait g tout-à-fait égale à zéro.

[5.] Lorsque/ (8, ne renfermera qu’une seule des deux variables 6 et 4", la formule (2) ne représentera plus qu’une fonction d’une seule quantité; et, en effectuant l’intégration correspondante à la variable manquante, cette fonction sera exprimée par une intégrale simple,

comme par les formules des Mémoires précédens. Supposons , par

relative^' ^ ^ , SC reduise à / 4 ' : P ollr faciliter l’intégration

JZrl Z^T- ZIT\ ^ ^

fl= . . ’ P , C ~° * 9 - ^ ; ,e P Ius commode sera de prendre

1 aura a orsp sin 6 cos (4'—-jO > et l’équation (2) deviendra

/4'=-jV ff -(!.-«■) sin V fV

JJ [ 1 — 2 . CL sin 6 ' COS ( 4 —^')^ a ajr

Je fais 9 ' = s t + /, étant une variable infiniment petite, posi-

reur U et egat ; V '- iePre, ; drai ’ *" C °" S >-e, sin 9 ' = f au nLé- . , ’ SIn9 — h au dénominateur, sous le signe//; mettant

de plus ^unité à ia place de * cos (/-/'), dans le ternie q ui aura h' pour facteur, il vient " 1 allra

[r— 2acos(4.4’) + „.^./,,] 4 '

depuis “ mme J" S 16 n ’° 3 * S’étendre i'intégrale relative à h,

deputs h -00 ;usqua /} = , oo- a f orSi en faisant

h — K l/i — 2 a. cos (4- — Ÿ)- 4 -a.‘ , les limites relatives à // seront encore ± 00, et nous aurons

/J,=Z— / JT ( I —«*)/•(.' < /•! ■' r- co ,/*■

Wo I -2a cos ^

“ 1 1'" '* « <pk 4 on en»,,

f\ = --/ 2T -li r«*)/4-'-

* 1 — 2acos(4, +')-+-«* ’

formule qui représentera f\ depuis 4, = o jusqu’à X= 27r et oui

s appliquera à ces limites mêmes, si les valeurs correspondantes de la fonction sont égalés entre elles.

En développant la quantité soumise à l’intégration, suivant les puissaijces de et, et faisant ensuite <t = i, 0 n aura 1

/ étant un nombre entier positif, et la somme S s’étendant à toutes les valeurs de /, depuis i zz i jusqua i — oo. Si nous désignons par l une ligne donnée, que nous fassions

et que nous conservions la lettre/*pour indiquer la fonction arbitraire, cette formule deviendra

fx — dx H- —JZ'j [ s cos (x — x) — j-\f x dx :

elle aura lieu pour toutes les valeurs de x , depuis x z=z—/ jusqu’à *=-+-/, y compris ces deux valeurs extrêmes, si l’on a //=/(—/)• Ce résultat coïncide avec celui qu’on déduit de la valeur de u, trouvée dans le n.° 4 ° du mémoire précédent, lorsqu’on y fait t = o, et que l’on observe qu’on a alors uz=zfx.

[ 6 .] Pour indiquer une application des diverses formules que nous venons d’obtenir, supposons que x, y, £, soient les trois cordonnées rectangulaires d’un point quelconque M, et qu’on veuille exprimer en série de quantités périodiques, une fonction arbitraire de ces trois variables , pour tous les points M compris dans l’intérieur ou à la surface d’une sphère d’un rayon donné et représenté par /. On transportera d’abord l’origine de ces coordonnées au centre de la sphère; puis on les transformera en coordonnées polaires ; de sorte que r étant le rayon vecteur du point M, fl l’angle que ce rayon fait avec l’axe des £, et 4 / l’angle compris entre sa projection sur le plan des x, y, et l’axe des x, on aura

1 zzz r cos 0 , y — r sin 0 sin 4 / » x r sin 0 cos 4 '*

La fonction f[x,y, %) se changera donc en une autre fonction de r, 0 et 4 /, que nous représenterons par f (r, 0 , 4 /)î les valeurs de ces nouvelles

variables s’étendront depuis 4=o, 0=o, r=o, jusqu’à ^=z-r, &=v, r ' !’ et cette fonction satisfera évidemment aux conditions du n.° 4,

relatives aux valeurs extrêmes 0 =o et 0=7r, ^ = 0 et 4,— 2 7r. Au moyen de l’équation (I ), on pourra donc représenter/(r, 0,4), p0U r toutes les valeurs de 0 et 4., y compris leurs valeurs extrêmes ; et, quant à la fonction f(r, 0', •>(/), qui entrera sous le double signe // dans cette formule, on l'exprimera depuis r=o jusqu’à r=I, au moyen de l’une des formules du Mémoire précédent, en choisissant celle qui satisfera aux conditions qu’on voudra remplir, par rapport aux extrémités r=o et r=l. Ainsi, par la combinaison de ces deux formules, le problème proposé se trouvera complètement résolu.

Si l’on voulait représenter la fonction f(x, y, z ), pour tous les points compris dans l’intérieur ou à la surface d’un ellipsoïde, dont les demi-axes fussent al, bl et cl, l étant une ligne donnée, et a, b, c, trois nombres aussi donnés , on ramènerait immédiatement ce problème au précédent, en faisant

Z—cr cosfl, y = brsinûsin4-, x — ar sin S cos 4 ;

car ces valeurs satisferont à l’équation de la surface de l’ellipsoïde rap portée à ses axes principaux, savoir:

et pour tous les points compris dans son intérieur et à sa surface, les variables 0 et 4. s’étendront, comme dans le cas précédent, depuis T —o, 0 —o, 4 - 1 = 0 , jusqu’à r=l, 0 = 7r, \—z-7r.

Lorsque le rayon / sera supposé infini, la fonction donnée se trou vera représentée pour tous les points de l’espace. Dans ce cas, on aura daprès l’équation (17) (n.« 35 du Mémoire précédent) ,

-rff* 1 " a r sin « r> •/( 6 ', 4 -') dr da.

pour toutes les valeurs positives de r; les intégrales étant prises depuis <2 — 0> r — o, jusqu’à a — oo, r = oo. Substituant cette valeur dans notre équation (i), il vient

/(r, 04)= ^ £//(« + 1 )PJ( 0 , 0', 40 Sin0' J'4'

s > 0 4 ) sin tfrsin ar sin 9 ' dr da r/0 d\ ;

et cette formule représentera , pour tous les points de l’espace, une fonction entièrement arbitraire de leurs trois coordonnées , ce qui sera peut-être utile dans quelques occasions. On voit qu’elle est très-compliquée; mais on doit cependant remarquer quelle ne comporte que des intégrales quadruples, tandis que l’on serait conduit à une intégrale sextuple, si l’on cherchait à exprimer la même quantité en fonction des coordonnées rectangulaires y, en étendant la formule (to) (*), au cas de trois variables.

Il est sans doute inutile d’ajouter que s’il s’agissait de représenter une fonction des deux coordonnées x et y seulement, pour tous les points d’un cercle, d’une ellipse, ou d’un plan indéfini, ces questions se résoudraient comme les précédentes, avec cette seule différence qu il faudrait employer l’équation (3) à la place de la formule (1).

[7.] Reprenons encore l’intégrale double que nous avons considérée plus haut (n.° 3 ), et faisons

( 1 —2a/7-ha 2 /

Nous en déduirons

-2 cl-

*+ ir s'z* ( I — a*)/((T, 4/) sin

d * JJ* (1 —

en vertu de l’équation (2), on aura donc

(*) XVIII. e Cahier de ce Journal, page 429.

u “ H2ct ’7T = 4 ^/t 0 ’ 40» (4)

pour la valeur particulière etrz 1. Par d’autres considérations, Lagrange est parvenu à un résultat de la meme nature, mais qui ne semble pas s’accorder avec celui-ci : en changeant les notations dont il a fait usage, dans celles que nous avons employées, il a trouvé (*)

également pour ce — 1. Il s’agit d’expliquer et de faire disparaître la contradiction apparente de ces deux équations.

Pour cela, il faut remarquer que Lagrange suppose qu’avant de faire ce = 1 , on regardait cette quantité comme positive et > 1, tandis que nous supposons qu’on la regardait comme positive et < 1 ; or, dans ces deux hypothèses, u exprime deux fonctions différentes de et : les valeurs de ces deux fonctions coïncident pour et = 1 ; mais il n’en est pas de même à I égard des valeurs correspondantes de ; et c’est ce qui donne lieu a la différence que présentent les deux équations.

En effet, lorsque la fonction /(G, 40 est telle qu’on peut effectuer sous forme finie les intégrations qui sont indiquées dans la valeur de u , la différence des deux fonctions que u représente , se manifeste en ce qu a la limite G — o , pour laquelle on a pzzz. I , il faut prendre, pour la valeur de(i — 2 & p -h c t ‘ ) * » 1 — dans le cas de et < 1, et, au contraire, et 1 dans le cas de et> t , afin que ce radical exprime toujours une quantité positive. Si l’on suppose, par exemple, que /(®. 4') so ^ une constante c, on trouvera, avec cette attention, u = 4 tt, dans le cas de <t < 1 , et u= -iü-, dans le cas de

et > r ; et Ion peut vérifier que, pour et— 1 , la première valeur satisfait à I équation (4), et la seconde à l’équation (5). Mais les intégra-

(*) XV. e Cahier de ce Journal, page 66.

16o PHYSIQUE

tions étant impossibles, en général, ia différence entre les deux fonctions que u représente, résulte de ce que, pour réduire cette quantité en série convergente, il faut la développer suivant les puissances ascendantes ou descendantes de et, selon qu’on a <t <i ou ct> i. Dans la première supposition, on aura donc

U='LffP n f[V,'\,')<t' l dVd\\

*—=■£//» P „/ (fl', 4/ ) a.” </6' d\'-,

et en faisant <t = 1, et substituant ces valeurs dans féquation ( 4 ) » elle se changera dans 1 a formule (1). Et de même, dans la supposition de ot > 1 , on aura

le coefficient P „ étant le même que dans le premier cas : de là on déduira

et en faisant <t—\ , et mettant ensuite ces valeurs dans l’équation (5), elle se changera également dans l’équation (1). On voit donc que ces deux formules (4) et (5) s’accordent parfaitement entre elles, et ne sont autre chose que la même équation (1), présentée sous deux formes différentes.

Au reste, la différence des deux valeurs de , correspondantes

à ct=i et aux mêmes angles 0 et provient de celle qui existe entre les attractions d’une couche homogène d’une très-petite épaisseur, sur deux points situés sur la même normale , l’un à sa surface extérieure et l’autre à sa surface intérieure; et l’on peut voir, dans mon premier Mémoire sur la distribution de ïélectricité a la surface des corps conducteurs (*), que, /(0, ^ ) étant l’épaisseur de 1a couche qui sépare

U) Mémoires de la 1." Classe de l’Institut; 1811, I. ,e Partie.

ces Jeux points, l’excès de l’une de ces forces sur l’autre, dans le sens de la normale est égal à 4 vr/(ô, +) , £omme „ résuhe de fa CQm paraison des équations (.4) et (5).

[ 8.] Le développement d’une fonction de 0 et 1 en une série de la forme :

■+■ y < ■+- y, •+■ y, ■+■ 8cc.,

a été souvent utile pour résoudre des questions très-importantes ; et il y en a même dont la solution serait au moins très-difficile à trouver sans le secours de cette transformation. On l’effectue sans peine, lorsque a fonction donnée est une fonction rationnelle et entière des trois quantités cos A sinôsin^ et sin flcos^, comme le sont tous les termes de cette ser.e (*) ; mais dans le cas d’une fonction qui n’est pas de cette forme, on a elevé quelques doutes sur la légitimité de ce développement : or l’analyse précédente nous semble très-propre à les dissiper tous; et l’équation (i) prouve qu’il est toujours possible, du moins tant quon ne veut représenter les valeurs de la fonction arbitraire que dans une certaine étendue des valeurs de ses deux variables.

L’utilité des développement de cette nature vient sur-tout des propriétés dont leurs termes jouissent, et qui sont comprises dans les équations (b) et (c) citées plus haut ( n.» t ). La première se démontre facilement au moyen de 1 équation (a) (**), à laquelle doivent satisfaire les quantités de la nature de Y et qui sert à leur définition ; mais equa ion (c) piesente plus de difficulté; et il n’est pas inutile d’observer que notre équation (,) ayant été démontrée directement, elle peut à son tour, servira démontrer cette équation (c), lorsque l’équation (b)

est supposée connue. En effet, en vertu de cette dernière formule s ion prend '

(*) Mécanique céleste, tome II, page 4 ^ (**) Ibid . tome II, page 31 .

XlX. e Cahier .

j 6 2 PHYSIQUE MATHÉMATIQUE.

le second membre de l’équation (i) se réduira au seul terme qui répond à l’indice n , et l’on aura

ff'Ptt Y'n sirf ô' dV d\' = 2 - n A — Yn\

ce qui n’est autre chose que la formule (c), en y changeant 6 en 6 , J, en y et réciproquement.