J—OO ' 2^ + Z
On conclut de là
/ oo
-oo cos zy • fy dy — o ,
.„i. nl' ni'
r oo . , . <r # Sin —;-h n cos —^
/ sin 7 y .fy d y — -2- --f *[ p #
J-oo t/ J' ' 2(g‘-hz’‘) — (Ti
substituant ces valeurs dans celle de ru du n.° 68, et effectuant l’intégration relative à z ', on aura, pour la partie de ru qui répond aux racines de l'équation (1) ,
(2> sin-
ru — — S ■
P . r n —7T sin — e~ Q a
la somme S s étendant à toutes les valeurs positives de n, y compris n o, pour laquelle on ne prendra que la moitié du terme correspondant.
2.° Soit / un nombre entier quelconque; toutes les racines de l’équation sin = o seront de la forme Z = ~f, supposant donc i positif ou égal à zéro, Z ' une quantité infiniment petite, positive ou négative, et prenant z = H- i, on aura, relativement à l’une quelconque de ces racines,
f °° e Z> ^ 1 fy dy — - i f* • ai-ry f ,
J -oo 7 l J 0 Sin - f y dy
j iHnr 1 ^) — 4 ] cos [4 vri)
— ^)lsin-ÜI-i/—I e a cosi »
v yj a r, /<■<> ,—w
On aura en même temps
9[^r > / ~)=4^Vcos Ivr COS Agi -h/ 3' sin-~ tj—),
+ (-^f y~) ( j *./—) = 8 /— [-£iL C0S ?Ml±a
h- / 3 'sm^±il](/' sin dy
i . ai tt rb" . a‘nry n , \
— cos/vrsin —r- J %t sin y dy},
•f(- J-V=ï)-*- ^(—~V~)= 8^^ sin —
/ 3 ' cos - ^y» ) />^y> ^
. O/* • a i -r / a i 7r a'nrl /-t- i' )
H— O kl'K COS / TT COS y— 7 — COS --—T - : —
a \ l al
-h/ 3' sin «n^/V J y:
et si l’on substitue ces valeurs dans l’équation précédente, on trouve
‘ fydy = o;
ce qui montre que les termes de la valeur de ru qui répondent aux racines de l’équation sin — o, se détruisent en totalité; en sorte que féquation (n) exprime la valeur entière de cette quantité.
II résulte de toute cette analyse que les formules (m) et (n) renferment la solution complète du problème que nous nous étions proposé de résoudre, puisqu elles font connaître a un instant quelconque les températures de tous les points, soit de la couche extérieure, soit du noyau, et qu'elles ne contiennent que des quantités données, ou calculables d après d’autres quantités données.
[73.] On vérifie sans difficulté que chaque terme des valeurs de ru et ru satisfait séparément à toutes les conditions du problème, c’est-à-dire, à toutes les équations du n.° 67. En effet, ces termes sont de la forme :
mathématique.
ra
'—(/feos-^l-t-Æsin-^-), , ru== Csin ^ e —‘
A, B, C, étant des coefficiens indépendans de r et / • et i • r inspection , on voit qu’ils satisfont aux équations au^ dMfa^ !
1 " Ju Sec0nd ordre - « à la condition r« = o. quand r=o On peut aussi les représenter par 1 u
- T li’ « .lu Üiül) JÇ
1 « cos-
■ (» sin ^ r) - — £' œs ) sin ,
e n ^' , . ni' \
c -- /& sin 1
ceutÏZT J" 5 rUn f danS raUtre > k m ™e fonction de r sous «, uand 1 CSt CV,dent < ï u ’ iIs satisfo « à la condition ru' —ru
valeurs * (î) ’ *" ? -Situant ces
trouve “ ' “ r = l après les différenciations, on
cos -
^ —Æ . n l —7— sin —
ncos ~?—H /3 sin
sin
ni
a . / 3 'cos-^-j^o.
face, il vient CqUati0n de Condition "»«*« à la sur-
T ( sin — (/ t .iI.. CO s cos JLii-t-f) s . n (n -^)
équation identique, quand on y f a i t r =
II nest pas non plus difficile d#> c’a* r
(n) saccorilem ave. «Ile, du , prteta, lo „ qoc
de la sphère que nous considérons sont formées de la même matière. Pour ce cas , on a k' =zk , a ' =. a, / 3 ' a (/3 — 7 —— ) • et si f°n fait 11 — a f, l’équation (1) devient
/cos y» (/-+-/' ) 4 - (/3 --^L-)sin /(/-f-/')— 0 ;
ce qui coïncide avec l’équation (h) du n.° 6 2, en observant que maintenant le rayon de la sphère homogène est représenté par l-\~l\ En vertu de cette équation, les deux formules (m) et (n) se réduisent à une seule, qui comprendra toutes les valeurs de r, depuis rzzzo jusqu’à r = / -t- V, et sera
ru =-njTTT sin/(/-t-n
— I P ( /-+- /') - I ) cos / ( / + /') ] e —‘*‘ .
d’ailleurs on aura
N = akl f[f eos/(/-h/')-h(/ 3 'L- sin /(/H-/'.)],
<2 = — =AI f(M')[0cosf (/-+-/') — / sin /(/■+•/')];
l’équation qui sert à déterminer f donnera
sin f (/ -f-/') — cos ( /H- /') =
substituant ces valeurs et celle de Q dans l’expression de ru, elle devient
ru = -y.. „ . -«Vf»
*»[t+OlfiV-* : ÏT= i)->-t>V+t V Psw fr- e
L’expression de la quantité P se réduit à
P = —~ L -f[™?r'-Fr’dr'— si nfr.F/dr';
nous aurons donc enfin
rf 2 +
+f i slr >/ r . F' r dr 'j sin j>r.e a tJ> ;
et si Ion fait attention que, dans le cas actuel, la valeur initiale de ru est représentée par Fr, depuis r=o jusqu’à r=z/, et par F'r depuis r—I jusqu a r J~\-l , on voit que cette expression de ru coïncide avec celle qui se rapporte à la sphère homogène d’un rayon égal à / -H /' (n.° 6 2 ).
On vérifiera de même que l’équation (m) coïncide avec la formule relative à une sphère homogène d’un rayon /', quand on fait 1 — o, et
I équation (n) avec la formule qui se rapporte à une sphère homogène d’un rayon l, lorsqu’on suppose V o.
j [ 74 -] Après ces diverses vérifications, qu’il n’était pas inutile de faire, nous allons appliquer les équations (m) et (n) au cas où il s’agit d’une sphère d’un très-petit diamètre, en sorte que les deux parties I et /' de son rayon soient des lignes d’une très-petite longueur, ou mieux, que les produits (21 et (3 F soient de très-petites fractions.
On satisfera, dans ce cas, a J équation (I), au moyen d’une valeur de
II telle que ~~ et -^-seront aussi de très-petites quantités; et si l’on substitue dans cette équation, à la place du sinus et du cosinus de
et r-, leurs développemens suivant les puissances de ces quantités, et pour (2 ' sa valeur, on trouvera, pour la valeur approchée de cette racine ,
en observant que k (2 ~y (n.° 67). Pour abréger, nous conserverons la lettre n pour la représenter; Ja valeur approchée de Q, qui lui correspond, sera
{f( ûn f r '- Fr ' jr '
et en même temps celle de P se réduira à
r' F r'dr'.
Les autres racines de l’équation ( 1 ) seront toutes très-grandes par rapport à celle que nous considérons ; par conséquent, les séries qui expriment les valeurs de ru et ru se réduiront bientôt au seul terme qui répond à cette racine; et, au bout d’un temps très-court, on aura, à très-peu près,
U “ (-/. r ' Fr ' dr ' r ' F'r'dr'}
en négligeant, dans le coefficient de l’exponentielle e~ , les quantités du meme ordre que fil et fi l . A partir de cette époque, la température sera donc sensiblement la même pour tous les points de la sphère, et, le temps continuant a croître par degrés égaux, elle décroîtra en ptogression géométrique, ainsi quil arrive dans le cas de l’homogénéité
Si l’on observe que k = a' c, k’ =a'‘ c 1 (n.° 6 y), la valeur de « x pourra s’écrire ainsi :
en la substituant dans 1 expression de u et u r , nous aurons
3 r J o r ' Fr ' dr ' 3 c 'f l r 1 ' r ' F ' r dr>
où l’on peut voir que le coefficient de l’exponentielle n’est autre chose que la moyenne des températures initiales, calculée en ayant égard à la différence de chaleur spécifique du noyau et de la couche extérieure. En observant les abaissemens successifs de température, à partir de I instant où ils se font en progression géométrique , on en conclura la valeur de «\ qui se trouvera ainsi déterminée par l’expérience;
dailleurs les quantités c t c',1,1 et y étant aussi connues, on pourra calculer cette même valeur à priori ; comparant donc entre elles ces deux valeurs de n z , il en résultera une vérification curieuse de la théorie de la chaleur.
[75.] Au reste, cette expression de u et u est comprise dans une formule générale qui s applique à un corps de très-petites dimensions, quelle que soit sa forme, et quel que soit aussi le nombre des parties hétérogènes dont il est composé et des espaces vides qu’il peut renfermer. En effet, à raison de la petitesse de son volume, on peut admettre que tous les points d’un tel corps acquièrent en général, dans un trèscourt intervalle de temps, des températures égales entre elles, et que la quantité totale de chaleur qu’il perd avant de parvenir à cet état est très-petite, et peut être négligée. Cela étant, désignons par v la température de ce corps au bout du temps t, compté à partir de l’instant où elle est devenue sensiblement uniforme ; soit g la quantité de chaleur qu’il faut communiquer au corps entier , pour élever d’une unité la température de toutes ses parties; soit g', celle qu’il émettrait au dehors pendant l’unité de temps, si sa température surpassait d’une unité celle du milieu environnant, qui sera supposée égale à zéro, comme précédemment : l’accroissement de chaleur du corps, correspondant à la différentielle de sa température, sera égal à g dv ; la quantité de chaleur qu'il perdra par le rayonnement pendant l’instant dt, aura pour valeur g ' vdt ; ces deux quantités devant donc être égales et de signes contraires, on aura l’équation
e d v h- g ' v d t ~ o; d’où l'on tire , en intégrant,
v = Ae • ;
A étant la constante arbitraire. Pour la déterminer , appelons C la quantité de chaleur primitivement communiquée au corps entier , et qi>i XIX. e Cahier. S
pouvait être distribuée d’une manière quelconque entre ses parties ; comme nous faisons abstraction de la portion de cette chaleur qui pourra setre perdue avant que la température ait atteint funiformité, il en résulte que C sera encore la quantité de chaleur du corps qui répond à / —o; mais, à un instant quelconque, cette quantité est exprimée par ev : en faisant donc f=o, on aura
ev = A e = C et A — — .
Dans le cas de la sphère hétérogène que nous venons de considérer, nous aurons, d’après les notations du n.° précédent,
C = 4 vrcr Fr dr' H- J^ +l r F r r dr ',
e ' zzz 4 (/ -4- /)* y ;
* et au moyen de ces valeurs , celle de v coïncide avec l’expression de u et u que nous avons déduite de notre analyse générale.
Dans le cas de la sphère creuse dont il a été question dans le n.° 66 , nous aurons
C={-Kcf^{y + *.)'fydy, ,= H» ,
e' = 4vry (a -f- l'y ;
d’où il résultera également la formule que nous avons trouvée pour ce cas particulier.
s. VIII.
Distribution de la Chaleur dans un Parallélépipède rectangle homogène.
[76.] Ce nouveau cas n’est qu’une extension facile de celui que
flous avons considéré dans le §. second ; c est pourquoi nous indiquerons très succinctement les calculs qui s’y rapportent. Nous désignerons par *’ *’ X • Ies trois coordonnées rectangulaires d’un point quelconque de ce parallélépipède, et par u la température qui a lieu en ce point au bout du temps /; l’équation différentielle d’où dépendra la valeur de u en fonction de t, x, x, x, sera (n.° 46)
du x
fd’u
dt a 1
[dx*
^ dx '* H
la constante a représentant, comme précédemment, le rapport — de
la conductibilité à la chaleur spécifique. On sait que l’intégrale complète de cette équation, sous forme finie, est (*)
U -*V* ffj e e e f {x -f- icLaVt, x —f- 2 cl a Y t ,
20L "à Yt) d cl dcL d<t' ;
/indiquant la fonction arbitraire, et les intégrales définies étant prises epuis 00 jusqu’à -hoo. En faisant t= o, on aura u — f( Y , x', x") ; cette fonction sera donc donnée d’après l’état initial du parallélépipède, pour toutes les valeurs de a-, x , x , qui répondent à des points de ce corps; mais pour d’autres valeurs des variables, celles de la fonction / devront être déterminées au moyen des équations particulières aux six faces du parallélépipède.
Pour former ces équations, nous prendrons les axes des coordonnées perpen icu aires aux faces , et nous placerons leur origine au centre, cest à dire, à 1 intersection des diagonales qui vont d’un angle solide à un autre. Supposons de plus que ies deux faces perpendiculaires aux axes des x, des x, des x , répondent respectivement à y-t- /
x ~ l ’ x — — 1 • de manière que 21 , 2 ï et il" soient les longueurs des trois côtés adjacens à un même angle. Supposons aussi le corps placé dans un milieu dont la température est constante et égale
H Nouveaux Mémoires de l’Académie des sciences, année 1818, page ,4..
l{o PHYSIQUE
à zéro : pour plus de généralité, i’intensité du rayonnement variera d’une face à une autre, mais seulement elle sera ia même dans toute Ietendue d’une même face; relativement à celle qui répond à x=h-/, nous désignerons par y la mesure de cette intensité, telle qu’elle a été définie dans le n.° 3 ; et nous représenterons cette même quantité par y,, y , y/, y", y", par rapport aux cinq autres faces correspondantes à x=z — l, *'=z-f-/\ x"= — /". Enfin,
nous ferons y = k[ 3 , y t =kfi /t y' = k/. 3', y/==Aj8/, y"—kfi", y "zzz k/ 3 " ; les six équations demandées seront (n.° 8)
-h /3 u — o , quand x zz: -4- / ;
-/ 3 7 k = o , quand x zz: — / ;
-^7-h- / 3 ' z/ zz: o , quand x / zz -4- V ;
- (2>' u = o , quand x'zz — /' ;
—H /3" u zz o , quand x'zz -4- /";
- / 3 ” u—o, quand x /A zz — /".
Cela posé, en ayant égard aux deux premières équations, on transformera, comme dans les n. oS 16 — 19, l’intégrale relative à et, en une somme X dont tous les termes ne contiendront plus que des intégrales prises seulement depuis —/ jusqu a -4-/. Si Ion met ces intégrales en évidence dans l’expression du terme général de cette série, on aura
-icictYt, x'-^-zcialYt, x"-\~idcL"Yt) da ~
X [cos x '-4 -zaaïYt, x" -4- 2rf<t" //) dy
-^y^/Sin f? -/(y, x-+- 2 .a<YYt, x"-4-2 a* Yt) d
MATHÉMATIQUE. 1 4 i
quelles que soient d’ailleurs les valeurs des deux variables .v*- h la «/ Yt et x" ■+■ 2 a et Y t : les expressions de X , X t et R seront
X — [((ifi-f) cos 2 //—(/3-H/3 ) /sin 2 //—/3/3 y — /] cos /.v
H- (/3 — /3) /sin /* ,
^ = [(Æ/3— f) cos — {fi -4-/3)/sin 2 //-+-/3/3-4-/‘]sin/*
