CHAPITRE PREMIER

TYPE DE BARRAGE RECTILIGNE DANS LES VALLéES PEU ÉTROITES.

2. Condition de stabilité. -^ Un barrage qui ne transinet pas latéralement aux flancs de la vallée les pressions qu'il supporte, doit résister en chacun de ses points à ces pressions par son propre poids. On peut donc dans la recherche des conditions de stabilité d'un pareil ouvrage n'en considé^ rer qu'une tranche ayant pour longueur l'unité linéaire. Si les matériaux empiloyés dans la construction étaient indéfiniment résistants, aussi bien que le sol de la fondation et s'ils avaient entre eux une adhérence illimitée, la seule condition à remplir pour la stabilité serait de donner au mûr un profil tel que la résultante de la poussée de l'eau et du poids de la construction passât dans l'intérieur du polygone de base. Mais cette condition n'est pas suffisante dans

la pratique ; en efiet, on ne peut faire supporter aux matériaux de construction et au sol de la fondation qu'une pression limitée qui dépend de leur nature, et d'un autre côté ils n'ont pas entre eux une adhérence illimitée. De là, deux conditions qu'il est indispensable de remplir, il faut : i* qu'en aucun point de la construction les matériaux que l'on emploie et le sol de la fondation n'aient à supporter une pression trop, forte; 2* que les différentes assises du mur ne puissent glisser les unes sur les autres et que le mur lui-même ne puisse glisser sur sa base.

Jusqu'à présent aucun des murs qui ont éprouvé des avaries ne se sont disjoints par glissements; on a reconnu que les accidents se sont produits parce que la première des conditions énoncées cinlessus n'était pas remplie ; il est donc naturel dans l'étude que nous avons à faire, de déterminer d'abord les dimensions à donner au barrage en satisfaisant à cette condition et de vérifier ensuite si la seconde est satisfaite.

ABGD (PI. 128, /S9. 1) étant le profil d'un barrage, une tranche quelconque de ce barrage ayant pour longueur l'unité linéaire peut être considérée comme soumise à Faction de deux forces; la composante verticale P de la résultante du poids de la construction et de la poussée contre le parement DA et la composante horizontale F de la poussée, ces deux forces donnent lieu à une résultante R qui coupe la base AB au point E. La farce R peut être considérée comme appliquée au point E et décomposée en deux en ce point, l'une verticale égale à la forcé P et l'autre horizontale égale à la composante F. La force horizontale tend à produire Je glissement du mur sur la fon(}ation, nous- n'aurons à nous en occuper que plus tard ainsi que nous venons de l'expliquer. La force verticale se répartit sur la base suivant une loi décroissante à partir de l'extrémité B la plus rapprochée du point d'application de la résultante.

En désignant par l la largeur de la base AB et par u la

distance BE,4a pression p' au point B sera donnée par Tune des formules (i) et (a)

w "-il'

suivant que Ton aura u > ^ I ou u < = I (*).

Il faudra pour la stabilité du mur que cette pression au point B soit égale ou inférieure à la pression-limite R' gue

(*) Ces formules se déduisent immédiatement de celles données dans le Cours de mécanique appliquée professé à Cécole des ponts et chaussées pat M. Bresse, i'* partie, n" 5a (Mallet-Bachelier, libraire; — 1859, — p. 54).

(6) P=nX

et qui s'appliquent à un rectangle homogène pressé par une force qui agit sur un des axes de symétrie.

Dans ces formules N représente la chmife totale, û Taire totale de la surface, et n un rapport qui, av^ nos notations, est égal à l — au

Mous avotu représenté par P la charge N et la surface Q est remplacée par <•

/<«— sti En faisant dans les formules ci-dessus N = P, û =î: (, n = — j —

et en remplaçant la neifttion p par p\ elles deviennent : , , , P / ^ 3/-^6ii \ / 3ii\ P

La formule a doit s'appliquer lorsque Ton a n < ^ et par suite

l'on peut faire supporter à chaque unité superficielle. On devra donc avoir suivant que t« sera plus grand ou plus

petit que = J,

(4) ll<R',

et cette condition devra être remplie pour toute section horizontale faite dans le profil, en négligeant la force de cohésion des mortiers, ce qui est défavorable à la résistance.

Les expressions (i) et (2) peuvent se mettre sous une autre forme en introduisant dans le calcul la hauteur maximum X que Ton peut donner à un mur à parois verticales pour que la pression sur la base ne dépasse pas la limite R'. En effet, en représentant par S' la densité de la maçon*nerie ou le poids du mètre cube de maçonnerie, on a :

Et les expressions (3) et (4) deviennent :

/ 3tt\ P — 3. Les conditions qui précèdent seraient suffisantes si

la formule i convient au cas où ron a — - — < ^, c'est-à-dire

La formule p s'applique lorsque l*onan> | et par suite la formule a convient au cas où Ton a ~ — > g, c'est-à-dire u < -^

le réservoir devait toujours être plein d'eau, mais il faut encore que le réservoir étant vide, le mur puisse supporter son propre poids sans qu en aucun de ses points la prèssion par unité superficielle ne puisse dépasser la limite 87.. Dans ce cas la résultante de toutes les forces agissant sur le mur se réduit an poids P^ et en désignant par u la distance K'A de la verticale passant par le centre de gravité de la figure ABCD (fig. i) à l'extrémité A la plus rapprochée de la base, la pression en A sera donnée suivant les cas par les formules (i) et (2) et la stabilité du mur exigera que Tune ou Vautre des relations (5) et (6) soit satisfaite en y mettant P' au lieu de P.

4. Forme à donner à vn mur n'ayant à supporter que son propre poids. — Pour étudier sous toutes ses faces la question dont nous nous occupons, il n'est pas sans intérêt de rechercher quelle forme il convient de donner à un mur n'ayant à supporter que son propre poids, pour qu'en aucun point la maçonnerie ne soit soumise à des pressions supérieures à la limite adoptée.

U est clair d'abord que tant que la hauteur de ce mur sera inférieure à la limite X il suffira de lui donner des parements verticaux et que la pression par unité superficielle à la partie inférieure ne dépassera pas 8'X. Si le mur doit être plus élevé on adoptera des parements verticaux jusqu'à une distance du sommet égale à X et à partir de ce point il faudra donner un empâtement à la construction pour que la pression sur une tranche horizontale quelconque ne dépasse pas la pression limite S'X.

Il est facile de déterminer la forme à donner aux parements pour que cette condition soit satisfaite. On pourrait choisir d'une manière arbitraire l'un des parements du mur et déterminer l'autre, mais si l'on dé^re arriver au minimum de cube de maçonnerie, on donnera au mur une forme symétrique par rapport à son axe; il ressort évidemment, en effet, des formules (1) et (2) que la pression maxi-

p mump^ne peut acquérir une valeur inférieure à y ; u étan^

par hypothèse plus grand que -ou tout au moins égal k

-, et que cette valeur minimum est atteinte pour w = -.

Cela posé : la courbe cherchée DNY (fig. 3) doit satisfaire à la condition que si dans une section MN quelconque la pression par unité superficielle est égale à une quantité donnée, cette pression restera la même pour une section M'N' infiniment voisine* Cette condition sera évidemment remplie si Taccroissement de surface de la base est proportionnel à l'accroissement de pression, ou, comme tout est, symétrique par rapport à Taxe OS^ si l'accroissement de la demi-surface LN est proportionnel à l'accroissement de la. pression sur cette demi-surface^

Cette condition est exprimée par l'équation :

dP = KdB,

P représentant la pression exercée sur la demi-section LN par la partie supérieure de la construction et B la surface de cette section. £n représentant par b la dimension du mur dans le sens perpendiculaire à la section que nous considérons, par X la largeur LN ou rîi)scisse de la courbe cherchée DNY et par y la distance de la section MN à une ligne horizontale prise pour axe de x, on a

dB = dbx, d? = h'bxdy.

L'équation différentielle de^.la courbe DNY est donc :.

l'bxdy = KbdXy

' K dx dy=j,-.

La constante K exprime la pression limite par unité superficielle et par suite elle est égale à S'X; l'équation devient alors :

dx

dyzrz'k—^

ou, en intégrant :

y-y. = Xlog(|);

La courbe DNY est donc une logarithmique.

Si Ton fait x^ = X les deux équations ci-<lessus donnent :

^; = ., et y. = o.

En sorte que l'origine des coordonnées doit être prise au point où la valeur de x est égale à X et qu'en ce point la tangente à la courbe fait un angle de 45*" avec l'axe des x. L'équation (7) devient, en remplaçant x^ et y^ par leurs valeurs,

(8) !/ = ^log~,

ou bien, en passant des logarithmes népériens aux loga-» rithmes ordinaires

y =5 d.3o36 X log -r.

La courbe complète qui a pour asymptote l'axe des y donnerait la forme des parements d'un mur indéfini en hauteur pour lequel la pression par upité superficielle serait égale à la limite K sur uY^e tranche horizontale quelconque.

La fig. 4 représente la courbe construite en admettant que la pression limite adoptée pour la maçonnerie soit de 60 000 kilogrammes par mètre carré, soit 6 kilogrammes

par œntimètie carré (*), et, en supposant que Ton veut donner une largeur de 5 mètres au mur à la partie supérieure, on a alors

et en admettant que la densité de la maçonnerie est doubte de celle de l'eau, soit 5' = 2 000; on a X= 3o; l'équation de la courbe devient •

y = 295oa6 X 3o log r-.

Il ne faut pas oublier en faisant usage de cette formule que le sens dans lequel se comptent ordinairement les y a été renversé en l'établissant; en effet, l'accroissement dy a été compté avec le signe + du haut vers le bas. Les valeurs de y négatives doivent donc être portées dans le sens LO.

La fig. 3 fait voir qu'il sufiit de donner à un mur de 5o mètres de hauteur et de 5 mètres de largeur au sommet, une largeur de 9". 7392 à la base pour qu'en aucun de ses points, ce mur n'ait à supporter des pressions supérieures à la pression limite de 6 kilogrammes par centimètre quarré.

En remplaçant les arcs de logarithmique CMH, DNY par des lignes droites, la largeur à donner au mur à sa base serait de 10 mètres; la fig. 5 est construite dans cette hypothèse.

L'équation qui donne la largeur x de la base se trouve immédiatement :

[^ -ri /5 + ^\ T 2000 30X5 + 20 ( — ■ — \ — — = aoooX3o.

On peut se rendre compte d'une manière frappante dé

(*) Nous indiqueroDs plus loin quels sont les motifs qui nous ont porté à adopter cette pression.

rinfluence du profil concave que nous avons donné au mur^ en cherchant Tépaisseur à donner à la base dans le cas oii^ on admettrait des parements rectilignes inclinés, à partir du. sommet.

Cette épûsseur^ en appelant H la hauteur du mur et a la largeur au somm^, serait donnée par Féquation {fig. 6) :

D'où:

Ea

aX — H'

On voit que pour H = aX, x deviendra infini et que pour toute valeur de H supérieure à aX, X sera négatif. D'où l'oa conclut que la hauteur maximum que l'on peut donner à un mur construit avec des parements rectilignes inclinés également à partir du sommet, sans dépasser la limite de résistance de la maçonnerie, est double de celle que peut avoir un mur à parements verticaux.

En admettant la pressim limite de 6 kilogrammes par centimètre carré, la limite de la hauteur que l'on pourrait donner au mur est de 6o mètres; cette limite se réduit à 4o mètres si l'on prend pour limite de la résistance des matériaux la pression de 4 kilogrammes par centimètre carré.

Eq faisant h = 5o mètres et a=? 5 mëtcçs pour se placer dans les conditions du mur de la fig^ 5,. on trouve : x= 25 mètres. La largeur du mur à la base est donc de 25 mètres au lieu de g^.ySg.

Les résultats qui précèdent font voir combien il peut être important dans une construction de n'avoir aucun point où la pression soit notablement plus faible que celle que l'on prend pour limite; en admettant sans utilité sur certains points des excédants d'épaisseur on arrive rapide-

ment à ne plus pouvoir, sur d^autres points, maintenir les^ pressions dans les limites vouluesi*

Nous nous attacherons donc dans ce qui va suivre à chercher un profil d'égale résistance ou au moins un profil s'écartant fort peu de ce dernier*

5* Stabilité d*unmur ayant à supporter une charge et eau. Profit théorique S égale résistance. — Nous avons vu plus haut que si ABCD (fig. i) représente un mur ayant à supporter une charge d^eau, les conditions de sta])ilité de ce mur sont données par Tune des relations

(6) suivant qm l'on a

<^) lfu<'''

u> ^ l ou «<-/.

En nous en tenant aux valeurs limites qui correspondent au signe = nous aurons pour les équations donnant les conditions de stabilité

En remplaçant dans les formules (9) et (la) les quantités u, I et P par leurs valeurs respectives en fonction de la hauteur du muf , de son épaisseur réduite et de Tindinai^ son des parements» on reconnaît :

1* Que le profil offrant la plus petite épaisseur réduite^ tout en satisfaisant aux conditions de stabilité, est celui dont le parement est vertical du c6té de l'eau et présente un fruit du côté opposé*

a* Que lorsque la hauteur augmente, l'épaisseur réduite

augmente moins rapidement, en sorte qu'un profil construit avec un parement vertical du côté de l'eau et un fruit du côté opposé, combiné de manière à satisfaire à la condition limite de stabilité pour sa base, présenterait un excès de stabilité sur le surplus de la hauteur. Un mur satisfaisant aux conditions limites sur toute sa hauteur, présenterait donc, avec un parement vertical du côté de l'eau, une courbe concave du côté opposé*

Supposons pour un instant cette courbe construite et soit AGNB {fig. 8) le profil déterminé par la condition que pour chaque tranche horizontale MN, la pression soit égale à la limite R' que l'on ne veut pas dépasser.

Ce profil aurait une résistance suffisante, si le réservoir devait être toujours plein, mais il faut encore que le réservoir étant vide, la pression provenant du propre poids du mur ne dépasse sur aucun point la limite R'. On est assuré que cette pression ne sera pas dépassée pour le parement CNB ; en effet, les développements dans lesquels nous venons d'entrer plus haut, font voir que l'effet de la poussée est de rapprocher de ce parement la composante verticale égale au poids du mur ; il restera à vérifier si la limite R' n'est atteinte pour aucun des points du parement CMA. Il suffit de se reporter aux calculs que nous venons de faire sur la stabilité des murs n'ayant à supporter que leur propre poids pour pressentir que cette limite sera bientôt dépassée pour peu que le mur soit un peu élevé. Il faudra alors, à partir du point M où la limite R' sera atteinte, donner au parement intérieur du mur un empâtement et le profiler suivant une courbe MLS ; à partir de la section MN, les deux courbes NPB, MLS, devront être déterminées par la condition que pour toute section horizontale LP, la pression au point P, le réservoir étant plein, soit égale à R\ et la pression au point L soit égale à la mênïe limite, le réservoir étant vide.

11 resterait maintenant pour résoudre complètement la

question, à déterminer exactement les deux courbes CNB, MLS, c'est ce que nous allons tâcher de faire.

Prenons pour axe des x (fig. 9) le parement vertical AB du mur et pour axe des y la perpendiculaire Ây à ce pare* ment passant par le sommet, soit M un point quelconque de la courbe. Posons : BM = y, MC = a?, le problème à résoudre est de chercher une relation entre j? et j/ qui sera Téquation de la courbe.

Nous continuons toujours à considérer une section du mur ayant pour dimension l'unité de longueur dans le sens perpendiculaire à la figure. Ce mur est soumis à deux forces : son poids P et la poussée F. Ces deux forces sont représentées par les expressions suivantes :

P=8'J*yrfar,

La courbe ÂNL doit être déterminée par la condition que la pression en M par unité superficielle soit égale à la limite X8' que l'on ne veut pas dépasser. . Cette condition est exprimée suivant les cas par une des équations (g) et (10).

On a I =j/ et il reste à déterminer en fonction de x et de y la quantité u = EM. Or :