S SATISFAISANT

r LES MINUTES.»

» i" Chap. De la manière d'écrire les degrés, les minutes « et les ordres suivants. ■

■ 2° Chap. De la manière d'ajouter les degrés et minutes

« 3* Chap. De la manière de retrancher les degrés et mi- « nutes les uns des autres. »

« IC Chap. De la multiplication des degrés et minutes les « uns par les autres, et du produit de la multiplication l . »

a 5* Chap. De la division des degrés et minutes et d'autres «fractions (sexagésimales) , les unes par les autres.»

«6* Chap. De la racine (carrée) des degrés et minutes et • des fractions (sexagésimales) inférieures à celles-ci. »

« 7* Chap. De la racine .cubique des degrés et minutes et «des ordres suivants des fractions (sexagésimales), et du «résultat de (l'extraction de) la racine cubique. »

Les derniers mots du traité sont les suivants (fol. 79 v°, lig. 8 et 9. 2 ) :

«La racine cubique (<-*xâ) des degrés sont edes degrés; la racine cubique des tierces sont «des minutes; la racine cubique des (sexagési- « maies) sixièmes sont des secondes; et (pour le «reste) suivez cette règle. Ceci est la fin du traité. « Dieu seul connaît la vérité. »

ORIGINE INDIENNE DE LA PREUVE PAR NEUF , DE LA RÈGLE DES DEUX FAUSSES POSITIONS, ET DES COMMENCEMENTS DE LA GÉOMÉTRIE ARABE.

Plusieurs détails du morceau que Ton vient de iire , de même que quelques-uns des titres des ouvrages d'Alanthâqî mentionnés par le Târîkh al- Hoqamâ, pourraient fournir matière à des remarques utiles. Cependant je les supprime ici , parce que

1 II s'agit de déterminer toujours à quel ordre de l'échelle sexagésimale ce produit appartient.

1 Le reste de la page fol. 79 v° est blanc.

ce n'es! pas l'histoire de l'arithmétique indienne, mais celle de la propagation des chiffres indiens qui t'ait l'objet du présent mémoire. Toutefois je ne peux pas passer sous silence un point qui me paraît donner lieu à des conséquences particulièrement intéressantes pour l'histoire des sciences.

J'ai fait observer (p. i 63, note h) que la preuve dont il est question dans le traité ci-dessus est la preuve par neuf, et que celle-ci se trouve déjà employée dans le traité d'Alkhârizmî '. La place qu'elle occupe dans ces traités de calcul indien rend trèsnaturelle la supposition que cet ingénieux moyen de contrôle est d'invention indienne. Cette opinion est confirmée par deux passages que j'ai trouvés dans un traité d'arithmétique spéculative d'Avicenne, contenu dans le manuscrit n° 8!i du legs Warnérien de ta Bibliothèque de Leyde 2 .

1 Elle est pareillement employée dans le Traite" de calcul indien de Pianude. (Voir ])t -lamlire . llîitoire de l'uslronomic ancienne, t. 1, p. 530. lig. i3 à 33, et p. 533, tig. ïa à i8.)

' C'est également a la bienveillante libéralité île MM. les conservateurs de la Uildiothéqur de Leyde que jo dois la communication de ce précieux volume, qui contient le grand et célèbre ouvrage d'Avicenne intitule »ULiJ| «la guérison. ■ Le traité d'arithmétique spéculative dont il est question fait partie de cet ouvrage ; il y est suivi d'un traité de ia musique et précédé d'un cdin'-é des Éléments d'Liiclidi' et de l'Almagesle de Ptoléinéi.'. L.i partie du manuscrit de l.uyde qui précède •:'- demi or alui'gé, et qui est formée par laaeclion relative a la physique (..LiLiJl ^ ^j^iJJt rwjul) , est terminée par un poil se ri pin m daté du l\ clia'b'ni de l'année MSs de l'hégire (l i noïuudire i 477 de J. C.}. Le Irai 1 é d'arithmétique spéculative occupe Il pages très- grand 111-8°, à 3i lignes la page, d'une écriture estrênii mini Hue. Il est divisé en quatre livres. C'est une sorte de par»-

Voici d'abord le premier de ces passages, faisant partie du troisième livre du traité , relatif aux nombres figurés. Après avoir mentionné , à l'occasion des nombres carrés, qu'ils ont toujours pour unités un des nombres 1, 4, 9, 6, 5, Avicenne continue en ces termes l :

« Quant à la vérification des carrés d après la mé- «thode indienne (Jï 'l-tharik al-hindacî), c'est inévi- «tablement un, ou quatre, ou sept, ou neuf. Or, à «l'unité correspond un ou huit, au quatre deux ou «sept, au sept quatre ou cinq, et si c'est neuf, on « aura trois , ou six , ou neuf. »

Ce passage signifie que si l'on a un nombre qui, divisé par 9, laisse pour reste 1 ou 8 : le carré de ce nombre, divisé par 9, laissera pour reste 1. Si un nombre, divisé par 9, laisse pour reste q ou 7, le carré de ce nombre, divisé par 9, laissera pour

phrase de l'arithmétique de Nicomaque , et le tout n'a qu'une mince valeur comme travail original. Il est assez curieux que je n aie pas remarqué une seule mention du nom de Nicomaque dans tout le cours du traité, quoique Avicenne nomme les Éléments d'£uclide, auxquels il renvoie, et les Pythagoriciens.

1 Lignes 7 à 9 de la 17* page du traité dans le manuscrit de Leyde.

* Le manuscrit porte erronément jju«jJ}.

reste l\. Si un nombre, divisé | reste 4 ou 5, son carré, divisé par g, laissera pour reste 7. Enfin si un nombre, divisé par g, pour reste 3 , 6' , ou g , son carré , divisé par g , laissera pour reste 9 '.

Cette propriété des nombres carrés peut effectivement servir de contrôle dans les calculs numériques qui ont pour objet d'élever au carré des nombres entiers. Ce contrôle n'est autre chose que la preuve par neuf appliquée à l'opération arîlhmélique de l'élévation au carré, et le passage d'Avicenne nous apprend que ce procédé de vérification s'appelait indien , hindaci ( ^«<xiA ).

C'est ce qui résulte encore plus explicitement du second passage, faisant également partie du troisième livre du traité d'Avicenne' 2 , et que voici :

U 3 A*iUr Uîj l-Xs-lj Ul y^il *->!>*•* <tf^l tg-Jo^JI

jl JUt£)1 ji Oo-ïj £J-4l *1*S* !^>!j ylS" ylj JU«J

-vji*-.j jl £Zm .1 iuXÂi ax~j 11 Une des propriétés des cubes consiste en ce que

1 Ou léro. On voit que les Indien* mil di'jri examiné les résidus ([iiîicli-iititjid'H par rapport an module ri , et qui n'a rien de surprenant lorsqu'on solide au\ i>eanx résultats qu'ils mil obtenus dans ta résolution dos équations indéterminées du second degré.

* Lignes 1 1 ù 1 3 de ta 19* page du traité dans le Leyde.

aie moyen de les vérifier d'après la manière d'opérer du calcul indien (aUiiçâb aUnniacî), je vçpx «dire la preuve 1 qu'emploie ce calcul, est ou bien «un, ou huit, ou neuf. Si c'est un, les unités 3 du «nombre qu'on élève au cube 3 sont un, ou quatre, «ou sept; si c'est huit, ce sont huit, ou deux, ou «cinq; si c'est neuf, ce sont trois, ou six ou neuf. »

C'est-à-dire : si un nombre, divisé par 9, laisse pour reste 1 , 4 ou 7, son cube, divisé par 9 , laisse pour reste 1 ; si un nombre, divisé par 9, laisse pour reste 2 , 5 ou 8, son cube, divisé par 9, laisse pour reste 8; et si un nombre, divisé par 9, laisse pour reste 3 , 6 ou 9 , son cube, divisé par 9 , laisse pour reste 9 4 .

Ces passages prouvent avec certitude que l'application de la preuve par neuf à l'élévation des nombres au carré et au cube est une particularité de l'arithmétique indienne ; et rapprochés des traités d'Alkhârizmî etd'Alnaçawî, ils nous disposent à croire que l'invention de la preuve par neuf appartient aux Indiens.

Mais ces passages donnent lieu encore à une autre conclusion.

1 Le mot (jlyy», qui est le terme technique consacré pour désigner la preuve, signifie littéralement • balance. • * C'est-à-dire les unités restantes après la division par 9.

3 jUaII est ordinairement le nombre résultant d'une opération arithmétique; ici c'est le nombre qui doit être soumis à cette opération , le nombre proposé. Ou peut-être il faut entendre par *JUli le nombre résultant de l'extraction de la racine cubique, en considérant le cube comme le nombre proposé.

4 Ou zéro. Ce passage montre que les Indiens avaient considéré aussi les résidus cubiques par rapport au module 9.

L'adjectif employé pour désigner le calcul indien, ou des méthodes indiennes, et qui est ordinairement hindi ^»>**A , se présente , dans les deux passages d'Avicenne dont j'ai reproduit le texte arabe, sous la forme hindacî ^-yj-A 1 . Si nous considérons que ce mot ne peut ici en aucune façon signifier «géo- <i métrique, n sens qu'il a ordinairement, et si nous nous rappelons que le même mot hindaci désigne aussi chez les Arabes, d'après M. Taylor, « l'échelle « décimale de l'arithmétique 2 , » nous devons être portés à admettre que le sens primitif du mot &**.<yjjb, qui se prononce hindiçah et handaçah , est « méthode h indienne» ou «art indien;» et que, si ce mot désigne en arabe, ordinairement, la géométrie, c'est parce que les premières notions de cette science arrivées aux Arabes sont venues de l'Inde.

Je n'ignore pas que, d'après Firoùzàbàdî 3 , lemot iL»ù*X& handaçah serait dérivé du mot ji&JJthindâz

( j\ .xI^Jl (j* iji&J ) , que le mot hindâz serait à son tour une modification (appropriée au génie de la langue arabe, à la manière d'un nom d'action de la

1 Voir aussi la variante du mai) n -ml jwisjpn du Fikrist, signalée

* lAlaaati,om TriMli'ic un An'hniciit: Hti.-U'.roiitrlry- h y liliatcnraAcharya transi, etc. Iiy J. Taylor. Bombay, ] 816, iu-4°, p. 3 S, 1. 8 el suiv. • Ilbas been already remarLed tliiil tlie Arabïans call tlie décimal

■ scale of arillimi'llc, Ilîml.tfl, or ludian anlliniel.ic: a dreu instance «wbich cleariy indîcates Ibe source froui wbïcli tbey eonsider this

■ manner of nolalion lu Lave been derived. »

3 The Kamoos, vol. I. Calcutta, i8i7,in-fo). p. vl"o, lig. 11 â i4. etp.AllMig. ih 3.

première forme des racines quadrilitères) du mot persan ft)l<X3l andâzah « mesure , » et que l'on aurait encore changé le j z en ^ ç à cause de l'incompatibilité d'un j z précédé d'un a d avec l'organe arabe

( W4» ib ff^A utf 2£ &y £5)1 ^ Ll>

Mais non -seulement cette étymologie est forcée et compliquée; elle s'appuie aussi sur une incompatibilité qui n'existe pas , car je trouve dans le Kâmoûs l

le mot jy> (racine jj*) où, comme on voit, le j est précédé d'un a. On se demande d'ailleurs pourquoi les Arabes auraient eu besoin de tant modifier le mot *)t«Xil avant de pouvoir l'accepter, lorsqu'ils ont admis sans aucune modification semblable les mots grecs ly-lay?- , JaI^LÊ;! , J^uwy» , qui devaient paraître bien autrement barbares à l'organe arabe. En outre il serait fort extraordinaire que les Persans eux-mêmes fissent usage de la forme arabisée Jum<xâA , et non de leur propre mot *;l«Xjt , si &*M<XÂa n'était réellement qu'une altération de celui-ci. Une telle préférence donnée à la forme arabisée pourrait se comprendre aux époques postérieures de la littérature persane, où les mots arabes, et même des phrases arabes entières , abondent dans le style persan. Mais elle paraîtrait étrange dans le Châh-Nâmali, qui est, comme on sait, presque le monument le plus ancien de la littérature persane , et dont l'auteur évite à

1 The Kamoos, vol. I. Calcutta, 1817, in-fol. p. ePI*, lig. 6. Comparer le Dictionnaire de Freytag, vol. II, p. 28 > 2* colonne.

dessein et de parti pris les mots arabes. Or, voici deux passages que j'ai remarqués dans l'épisode du Gliâh-Nâmah, où est racontée l'enfance de Bahràm Goûr ', et dans lesquels sont employés les mois

; w.vi3 et XwikXÀi.

Dons un conseil , convoqué par le roi , on délibère pour décider à qui doit être confiée l'éducation du jeune prince :

'j <S>-5 tT"*'

"j's an

Qui parmi les grands obtiendra la charge de tenir dans ses bras le fil» du roi du monde , de l'instruire , et de former son caractère? Est-ce un Boûuiî, ou un Indien, ou un Perse, un astronome ou un géomèlre l.homtucî), un des philosophes savants et éloquents, ou un homme versé dans les affaires ?

Ensuite l'Arabe Mondar prend la parole , et ,

après quelques formules de politesse adressées au roi, il continue ainsi :

1 The Shuh-Nanieh , elc. by Turner Macan. Cal vol. III, p. iFir.

i839,in-S°,

px&à\ <ç**»\ 3 p**j^ ftjy»

*,Si LC &o Sj> bb »S \j igtS fJVHJ àjlà *j4f XmkXÂ* j,l jCT

Nous sommes des cavaliers et des braves , et nous savons lancer le cheval. Nous sommes vainqueurs des plus savants , mais il n'existe pas parmi nous un astronome qui ait un grand savoir en géométrie (handaçah).

Je ferai observer en passant que ces vers me semblent encore mériter quelque attention à un autre point de vue. H me paraît du moins significatif que Firdoûcî , vivant à une cour qui accueillait d'illustres savants arabes, et au moment où la science arabe jetait son plus grand éclat, refuse expressément aux Arabes du v 6 siècle des connaissances mathématiques. J'ajouterai que, dans le même épisode, lorsqu'il s'agit de consulter les astronomes de la cour au sujet de l'avenir du prince nouveau-né, le poëte nomme parmi ces astronomes en premier lieu le chef du collège des astronomes indiens l .

Un passage du Bourhân-i-kâtï me semble achever de trancher la question. Ce passage établit explicitement une signification du mot a-u>«Xx* qui rattache

1 Loc. laud.p.WW :

ce mot aux chiffres indiens, et par conséquent à l'Inde •>** * Ilind. Voici l'article du BoaHiân-i-kâtï ' :

Jaa- j j^ J«^r! •.#«* tXJ— tî^j 1-1* ™ |=r*rï

Hindiçah j dont la première et la troisième consonne sont suivies d'un i el le p d'un a, signifie mesure et figure. On appelle aussi de ce nom les chiffre* que l'on écrit au-dessous des lettres des mots*, comme il suit :

l'I A VH» l»r"fl

' liaorkaniQa.hu., Calcutta. :

n-4°. p. WV, col. a, iig. i

5 D'après l'exemple quo donne le Boiirhàa-i-lidû', il paraît qu'il faut entendre par ces «moisi les mots techniques formés des lettres numérale.!! arabes. L'usée de plarcr an-di:ssons de ces mots techniques les nombres correspondants écrits eD chiffra indiens est observé en effet dans des traités • l'arillmirlifun: arabes lorsqu'il s'agit d' expliquer et de présenter en tableau la notation indienne. Ainsi je trouve dans le. manuscrit 191a Suppl. ar.de la ISibliolh.imp. fol. 17 v°, lig. 7 à 1 1, le passage suivant :

( . De la connaissance de la notation indienne , et ce sont neuf figures, • à savoir les suivantes : 1 )

À âa ; vvv ■ ïii • S JB * Pie|e ■■■ ppc - rrr ■-■ îï'n

Un tableau fout à fait pareil occupe dans quatre dernières lignes du folio 22 r°.

Ce que l'on peut admettre comme vraisemblable dans cette prétendue origine persane du mot arabe qui désigne la géométrie , c'est que les premières connaissances dans cette science ont été transmises aux Arabes par l'intermédiaire des Persans. Mais le sens primitif de ce mot «U»«xà* , employé également par les Persans et par les Arabes , me parait toujours être uscience indienne, art indien, méthode indienne.» Je citerai en dernier lieu un passage d'Ibn Albannâ, célèbre mathématicien arabe, qui florissait au Maroc dans la première moitié du xin fl siècle de notre ère , passage qui se trouve dans le traité d'arithmétique de cet auteur intitulé Talkhîs 1 , et où l'adjectif ^«xjUfr hindacî me paraît encore être employé dans le sens d'indien, quoique le commentateur Alkalaçâdi (mort en i486 de J. C), au temps duquel le sens primitif du mot ^««xâa était tombé probablement en désuétude et dans un oubli complet, l'entende d'une autre façon.

Voulant exposer la règle des deux fausses positions à laquelle les Arabes donnent différents noms et, entre autres, celui de l'opération avec les plateaux de balance *, Ibn Albannâ dit 3 :

1 çji wjt J L^l ^otLj' « Exposé des opérations du calcul. » * Ce nom vient d'une figure composée de deux ronds ou de deux obiongs, sur les différentes parties de laquelle les arithméticiens arabes placent les nombres proposés, supposés et résultants.

3 Fol. 58 r°, lig. a 5 à 27 du premier morceau du manuscrit désigné par le n°n, p. io5 du cahier de février-mars 1862 du Journal asiatique. Le même passage d'Jbn Albannâ est reproduit fol. 48 r°, lig. 2 3 et suiv. du deuxième morceau du même manuscrit n° 11; et

J. As. Extrait n° 1 . (i863.) 1 2

« ce que vous trace?

u vante

Alkalaçâdi fait suivre ce passage du commentaire que voici 2 :

(jUll IÀjbw«yUj Ltf ^y*?} Jly*Ji ««-oj Jj>*4 s^-" ■rj ■'■j V I -X-£ £—«.» iaw% u^uotl yf k*l M\ 3 ÂJtS

« Ceci est la seconde espèce d'opérations fondées "sur la proportion. L'auteur a donné la figure des «plateaux comme un éclaircissement et une expli- « cation en faveur des personnes qui étudient son «ouvrage. Et si vous dites : pourquoi l'auteur a-t-il «tracé cette figure dans son ouvrage, et pourquoi fol. ii i v°, lig. io et suiv. du manuscrit désigne par le n° m, p. i 08 du collier de février-mars 1862 du Journal asiatique. Mais ces dem commentaires ne l'accompagnent d'aucune remarqua propre à éctaircir le point dont il s'agit ici.

1 Ai-ciad'at al-kindaciyyat , ce que l'on traduirait, suivant la manière ordinaire, par ■ l'art géométrique »

J Loc. laad. fol. 58 r", lig. 37. a fol. 58 v°, lig. 5.

«n'ont pas été tracées certaines autres, comme la a figure de la multiplication au moyen du tableau, «la figure du crible 1 , et d'autres semblables, rela-

1 Ce qu'Alkalaçâdi appelle lia multiplication au moyen du tableau ■ est une méthode de multiplication sur laquelle on trouve des recherches spéciales et Ires-étendues dans un ouvrage du prince Don Balthasar Boncompagni , intitulé Intorno ad un ttaltato tTtiritmettea ttampato nd 1478. Voir Atti dtlt Accademia Pontijicia de Naovi Lincei, t. XVI (année i863) , p. 33o et suiv. Voici un exemple de cette méthode, tiré du commentaire d'Alkalaçâdt et représentant la multiplication 3ll4 x 3'/i5 = 1 1636900

Le crible auquel Alknlaçâdi fait allusion est le Crible d'Ératasthèiies ; par la figure du crible, il entend le tableau suivent, qu'il a donné dans une partie antérieure de son commentaire.

iS

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1 ta

itS

Ui

iag

<itîves à cette théorie? je réponds: Dieu seul connaît u la vérité; (mais je pense que) l'auteur, au moment «où il traita cette matière, était préoccupé de géo- «mélrie, et il est d'habitude, chez les géomètres, « de tracer des figures et des images pour se faciliter «l'intelligence des théories subtiles. »

Je ne sais pas si le lecteur juge comme moi celte explication d'Alkalarâdi , qui me semble faite au hasard et trop facile. 11 n'y a rien de géométrique absolument-dans la règle des deux fausses positions, telle qu'elle est pratiquée par les arithméticiens arabes 1 . D'autres considérations, au contraire, me semblent corroborer le sens que je donne au passage d'Ibn Albannâ, à savoir, que la règle des deux fausses positions est d'origine indienne.

Je ne peux pas développer ici ces arguments, car je dois terminer cette digression , devenue déjà trop longue. Maïs je rappellerai du moins le titre d'un traité composé au moyen âge, qui a pour objet la résolution d'un grand nombre de problèmes au moyen de la règle des deux fausses positions , et dont on doit la connaissance à M. Libri*, Ce titre est conçu comme il suit :H< Liber augmenti et dinûnationis vocatas « nameratio divinatîonis , ex eo yaod sapientes Indi po- <■• suerant, quem Abraham compilavit et secundum libram « qui Indorum dictas est composait. » Peu de lignes après

1 Voir par cicmplc le deuxième chapitre dp ta quatrième partie lu traité d'arithmétique d'Alkalaçâdî , Atti dell Accademia Pontificia 'e' \ao„iLincei,U XII (année i85a). p. ii6 iU>8.

* Histoire des Sciences mathématiques en llalic, t. i, Paris, i83S,

n-8'. p. 3oi à3 7 i et i»4-

le commencement du traité, on trouve encore le passage suivant : « Hic post laudem Dei inquit. Comte pilavi hune librum secundum quod sapientes In- « dorum adinvenerunt de numeratione divinationis , «utilem, etc.»

J'ajouterai que je trouve dans le Fïhrist la mention de deux traités « de l'augmentation et de la diminution» {&£&&} £*JL i), c'est-à-dire de la règle des deux fausses positions, par Send Ben Alî et par Sinân Ibn Alfath , précisément les mêmes qui avaient écrit aussi , comme nous l'avons vu ci-dessus, des traités de calcul indien. En outre le Fihrist mentionne un commentaire du calculateur et astronome Abdallah Ben Alhoçaïn Alçaïdanânî sur le « Traité de l'augmentation et de la diminution » de Mohammed Ben Moûçâ Alkhârizmî, l'auteur que nous pouvons considérer comme l'introducteur par excellence de l'astronomie, de l'algèbre et de l'arithmétique indiennes parmi les Arabes de l'Orient 1 .