SUIVI

OuoiQUE toute figure plane puisse être décompçsée en triangles j» et que par con^^^^^^^t la Géométrie à deux dimensions , puisée à la rigueur être ramenée à la Trigonométrie rectiligne sefule ; comme il faut encore lier ces triangles les uns aux autres pour en forhièc la .'chaîne , il y a long-temps qu'on a reconnu l'avantage qu'il, y. aurait à considérer un point de plus } c'est-à-dire , la relation qui existe entre les distdinoe? i:espeotives de quatre poiats quelconque^ pris dans un mêjne plan. De même ^ dans la Géométrie aiik trois dimensions , quoique tout solide ou poljèdre puisse être ^^bomposâ en pjramides triangulaires , et que par conséquent ^ , la; théorie; àe ces pyramide soit fondamentale : comme il, faut encore; lier les unes aux autres ces pyramides ^ qui ont; chacune quatre, sommets oii anglô^ solides v il est à propos , pour cotnpléisr cette th^ofie # ^e ebnsîdérer, la relatipn. qui existe entre Jes distanoes vespbotives de cinq pcfiçts pris dans l'espace» Ces. dislanqes. entre le^ 'points ciwpar^d, deux à (deux, sont ai|.;i^om^re de ^frycjbde <^s dix quan^tij^Si neuf q^idlconque^ étant conques^il est'évîdeni que 'la

âUiàw^ fi^p, ^tifitmwie , et peut. s'expr4nter en Taleurs des it^uf

autres. C^est ce problème que je me suis propose de résoudre. Pour y parvenir j je^s^s £\)i\^ de traiter, plusieurs autres questions préliminaires , ii, pairn^i ^s ^quf stij^iis , il en ^et t qui sont trèsintéressantes par elles-mêmes : principalement celle d'exprimer en valeurs des seules arêtes d'une pjramide triangulaire , toutes les pigrt^es qui entrent dans la construction de cette pyramide^ savoir^ les angles que forment ces arêtes^ soit entre elles, soit avec les fitcea*, ceux qui sont compris entre tea mêmes faces;; la perpendiculftire abaissée de chacun des sommets sur la base opposée, le solide de la pjramide, le rajon de la sphère cîroonscïite , celui de la sphère inscrite , etc. ; d'oùr suit la solution de ce problème fondamental de la Géométrie aux trois dimensions , et qui répond au problème général de la Trigonométrie ordinaire dans là Géo« métrie plane.

r Pamd toutes Tes qmanlîté& qui enfrem dans la consirucHou, d^unc -pyramide triangulaire , six quelconques étant données suffisantes pour que le reste soit déterminé ^ trouifer toutes les autres.

Les applications les plus essentielles de ce problème sujQSraient seules pour £Dunûr la matière d'un grand ouvrage, et cet ouvrage $erait in fiji imejit utile : mais [e ne wHy arrête ici, qu*autant que cela, m'est nécessaire, pour arriver au but que je me suis propesé*

J^ai trouvé que plusîefrrs deé problències réonis^ dànS cet Opuscule y

avaient déjà été réeekispar d*airtre^, partioolièrement par Euler

dana divers Mémoires iiuf^imés parmi ceux de ^Académie de

FéCersbourg, par Lagrange dan^ceux de l'Académie de Berlin pour

Para 1775, et par l'abbé de Gua dans ceux de Paris pour l'an 1785 j

mais je n -ai cooservé de ces problèmes^ que le très-petit nombre de

ceux qui m'étaient absolument indispensables potff ne paa rompre

rensemblede mon travail , efr je le» ai traités conformément à mon

but^ qm était tout différent de celui de ces iHustires géomètres^ Le

Mémeice de Lagrange renfernie les recherches les plus étendues ;

mais: il'ne tend point, comme je le fais ici, à trouver Pexpreission

explÂ^e de foutes les parties Âe la pjranride en valeurs dM seules

«réfes;, et son objet n'est pas de résoudre le problème général énc&cé

ei-^gsus; mai» de faire connaître ^ en apf^quant à la p7rami4e

(5.) Télégante méthode des projections ou des coordonnées ^ l'étendue des ressources d'une analjse habilement employée.

J'ai résolu tous mes problèmes par la méthode des triangles ^ c*est-à-dire ^ par la seule Trigoooméfrie , tant rectiligae que sphériqué i cependant pai cru que i pour compléter mou tnvA^ , il convenait de montrer en peu de mots^ comment cette nétiboda peut se lier avec celle des projections , ce qui me donne lieu de résoudre d'une nianière nouvelle et qui m*a para fi>rt ^mple , le problème général de la transformation des coordonnées dans l'espace^ c'est-à-dire > em supposant que les six coordonnées-^ tant anciennes que nouvelles j fassent entre elles des angles quelconques^

Afin de ne pas oUiger le lecteur de reeouicir à d'antres ovHnrages^ ] 'ai donné au commencement , sous forme de lemmes ^ 4]iiel(iue8 formules trigonométriques familières^ dont j'avais besoin.

Je termine cet écrit par un Essai sur la Théorie des transversales , sujefrque j'ai déjà traité ailleurs > mais avec moins de précision. J'ai profité des réflexions qu'ont ajoutées à ce que j'avais déjà dit sur cela , plusieurs savans^ principalement Servois j professeur de mathématiques aux Écoles d'Artillerie à Metz , dans son intérêt saut petit ouvrage intitulé : Solutions peu çonniies de dif^ers problèmes de Géométrie'-pratique.

t • Si dans un triangle rectHigne ^juelconque , on nommé A » B > C, les trois angles j a, h^ c, les côté3 respectivement opposés « on aura les formules suivantes :

a* sin A = -^ V^(2a*^*-|-aa*iî*-f-âiVî»^^0<*^6*— ^J*);

3^. La p^iyendBcidvnl abaissée de Tangie A\ ='— ^(aa'i' -|-aaV-j-a JV— a^— Ô*— -C*) } sur le côté opposé. |

4*. L'aire du triang. ss \ ^(jia^b^ + aa V -|- aô'c^ -* a* — i< — c* ) î

circo98Cnt« J "^ V (aa*6* -f- a^c^f^-^ a6*c»— a*— b^ — c*) ^

Ç<>. Le rayon du cercle \ , g ^/ (a+R-^c)tg+c— &) (* + c-— a)'

ia^erlr*:/

H*K \ — : — ïTïT^ï — ' — }

d. Si dans tin triangle sphérique quelconque ; on nomme A j B> C> les trois angles; a^ ^^ o^ les côtés respectivement opposés # on aura les formules suivantes :

A cos a— cosfc . C09 c 1* cosA:^-» , I . -;

cosA + cofiB.cosC V.. . . .-. COS a = . p « ^ 1

sinD.ainC ^

3^ Le sinus de Tare abaissé per-} pendiculairement de f angle >=-: — V^(i-cod'a-coA*i-ca8*c+AC08â«cosi;008c)*> A 0nr le côté oppoaé. 3 "^

. S. Si trois apgles quelconques A , B^ C, valent ensemble quatre droits ou la circonférence entière : et de même ^ si l'un d'eux , .comme A ^ se trouve égal à la somme ou à la différence des deux .autres ; on aura toujours la formule suivante , symétrique entre les cosinus des trois angles

I — cos' A — cos'B -7 cps'C + 3C0S A • cos B • cos C = o;

.Si les trois angles A^ B^ C^ valent ensemble deux droits seule* 'tnent> comme par exemple > les trois angles d'un triangle^ ce sera la formule suivante qui aura lieu ,

I — cos*A — cos*B — cos'C — ^cos A . cos B • cos C s o.

Enfin si les trois angles A^ B^ C> ne valent ensemble qu^an seul angle droite on aura

I •» sin'A — « sin'B •» sin'G — - 2sin A • sinB • sin C =: o»

Remarque*

4* n m'arrivera souvent de désigner Tangle compris entre deux

m. 1. droites partant d'un même point comme ABj AC> de la manière

suivante^ AB AC« Cette expression indique' en même temps les

(5) directions des lignes de A vers B et de A vers C ^ si au contraire

on voulait exprimer l'angle que fait la direction AB avec la di*

jrection contraire à AC , on écrirait AB CA en mettant le C avant Vkf et cet angle serait évidemment le supplément du premier. Si Ton voulait exprimer l'angle formé par les deux directions contraires

& AB^ AC> on écrirait BA CA^ et cet angle redeviendrait Ainsi

le même que AB AC.

La même notation a lieu à l'égard des droites qui ne se coupent pas, même lorsqu'elles ne sont pas dans un même plan. Alors on fio. entend par l'angle qu'elles forment, celui qui serait compris entre deux autres droites respectivement parallèles aux premières et partant d'un même point. Ainsi AB, CD , étant les directions de deux droites quelconques menées dans l'espace, AB CD sera l'angle compris entre ces deux directions , BA DC l'anglp formé par le^

directions opposées, et AB UC ou BA CD, l'angle formé par l'une de ces directions et la direction opposée à celle de l'antre droite.

Si l'on désigne l'une de ces droites par m, par exemple, et

Tàutre par n , l'angle compris entre elles sera exprimé par m n, mais cette expression ne distingue pas cet angle de son supplément.

Enfin si deux surfaces planes sont désignées l'une par M, p«r exemple , et l'autre par N , l'angle qu'elles formeront entre elles

sera exprimé par M N, ainsi des autres.

Cette notation est très-commode, parceqn'elle aide à retrouver facilement les parties de la figure auxquelles se rapportent les expressions qui entrent dans une formule.