PROBLEME I

5. U £ S six droites qui joignent deux à deux quatre . points pris dans un même plan; cinq quelconques étant données p trout^er la sixième exprimée en valeurs des cinq autres.

pio. 3. Solution. Soient B^ C^ D, E, les quatre points proposés : sùppo^

sant donc que cinq des six droites BC^ CD^ BD^ BE^ CE^ DE^ soient données > il s'agit de trouver la sixième exprimée en valeiurs des cinq autres»

Je fais ^ pour abréger , .

BGsm, CDa»», lEDsszp, BEs=y, CE=r, DEss=^«

Cela posé ^ puisque des trois angles CBD , CBE > DBS^ il J en a un qui est la somme des deux autres ^ nous aurons par le lemme m,

I — co8*CBD — cos^CBE — cos'DBE 4- a cos CBD . cos CBE . coaDHÉ =^0 (A)

Or par Je lenraie i nous savons les trois équations suivantes :

CO»CBD=r= '"^+P'~"'

cosCBE=2l±^) (B)

cos DB£

Substituant ces valeurs des cosinus dans l'équation (A) qu'on vient de trouver > exécutant les opérations indiquées et réduisant j on aura la formule suivante , qui satisfait à la question proposée

~ /iV^ ^m'f^q^ ^p^q^r^ -^p^n^r^

cette formule exprime la relation existante entre les distances res« pectives de quatre points quelconques pris sur un même plan; ou ^ ce qui est la même chose, entre les quatre côtés et les deux diagonales de tout quadrilatère plan. Elle est , comme on le voit , sjmétrique entre les six quantités m y n, p, q, r, s'y et comme chacune d'elleajtie s'y trouve élevée qu'au carré et à la quatrième puissance y Téquation se résoudra toujours comme celles du second degré p ce quHl fallait trouptr^