AF
(a5) Substituant donc dans cette équation la valeur de AE, ou â? tirée de
réquation (A) du problème II (6) , et celle de AF donnée par le lemme I, nous aurons la formule suivante, qui satisfait à la question proposée,
ec ijii il fallait troui^§r.
COROLLAIRZ* .
38. Puisque la formule (A) contient les sept quantités m^ n ^ P, f fi g 9 f^ê FA£> il est évident qu'elle risout eette question plut générale;
Parmi les sept ^uantit/s suît^antes, sat^eir, Iss six arêtes. d*une pyramide triangulaire ^ et Vun quelconque des douze angles formés par les perpendiculaires et les faces adjacentes ^ si^ ^quelconques étant données ^ trouper la septième»
PROBLîlME JLY.
Sg. Exprimer en valeurs des six arêtes d^une pyramide triant gulaire ., tous les angles que forment entre eux les éloignemens de perpendicule.
Solution. Je eonsenre les dénoniinations précédentes^ et je me
propose de trouver, par e9;emple , Tangle BEC, compris entre les "^ *•
deuik éloignen^ns de peipendiculeEB, £C»
Par. le lemmte j-^ nous avons
( à6 ) mais k cause des (riangles rectaDgled ABE; ACE^ on a
BE=^— a:S CE=A*~ji;% et de plus on a BC?=m j donc 1-équation précédente devient
ccBEC= St+':^^^ (A)
formule tlans laquelle^ pour avoir l'inconnue cosBEC exprimée en valeurs des six arêtes, il n'j a plus qu'à substituer pour op sa valeur donnée par la formule (A) du problème II (6) ^ ce quHt fallait trout^er.
COROLLAIRS*
4o. Puisque ce problème donne la relation des sept quantités ^9 ^f P^ff gf ^f BEC 9 il est évident qu'il résout cette question plus générale:
' Parmi les sept quantités suwantes , savoir f les six arêtes d'une pyramide triangulaire > et V angle compris entre deux quel* conques des éloignemens de perpendicule ^ six quelconques étant êonnées, trouver la septième é
ipROBLÈME XVI.
4i* Trouver en valeurs des six arûes d'une pyramide trian^ gulaire, la plus courte distance de deux quelconques des arêtes opposées, c'est-à-dire, la droite qui est en même temps perpen^ dtculaire à Tune et à Fautre*
Solution. Je gardé les dénomijaation^ des problèmes précédens>
et je me propose de trourer, par exemple^ la plus courte distante
vi«. 5. dï3 ,A!B à' CD ou de g k n^
»o. 6. HeprencMis ta figure 6, qui nous a déjà servi à trouver Fangla gn, compris entre les deux droites dont nous chercbons^ maintenant la distance» Puisque^ par hjpothèse , BO est parallèle à
CD> le plan ABO sera aussi "parallèle à kk même droite CD> et par conséquent^ k distance châchée est la même que celle d'u»
point quelconque de la droite CD , par exemple du point C, k ce plan ABO»
Cela posé, j'abaisse du point C une perpendiculaire Cu sur BO9
et je mène Au) CBAz^ sera donc une pyramide triangulaire qui, en prenant C pour sommet > aura pour base ABu, et il est évident que la distance cherchée n'est autre chose que la hauteur de cette pjramide. Or nous avons (6) une formule qui nous donne la hau« teur d'une pyramide triangulaire en valeurs de ses arêtes. Il n*y a donc qu'à chercher d'abord les six arêtes de la pyramide CBAup en valeurs des six arêtes de la pyramide proposée ABCD ) et les substituer dans la formule dont nous venons de parler.
Or^ parmi les six arêtes cherchées de la pyramide CBAu, il y
en a déjà trois de connues, savoir, AB, AC^ BC, qui lui sont communes avec la pyramide proposée.
Quant aux arêtes Cu, Bu, on les a par la proportionnalité des sinus avec les côtés, dans le triangle rectiligne BCu, qui donne
0^=BC.sinCBO;sfiC.sinBCD et Bâs--BC.c^^ il
reste donc à trouver Au.
Mais par le lemme I, nous avons dans le triangle ABit
«*= S+ Bâ*— . 3S»B« . C08 AB%
Or AB est donnée; BÛ vient d'être trouvée, et ABO est préei-
sèment l'angle AB CD, ou gn trouvé dans le problème pré-cèdent.
Nous avons donc tout ce qu'il faut pour appliquer à la hauteur cherchée de la pyramide CBAz^ la formule trouvée (6)j car, d'après ce qui vient d'être dit, on aura, conime il suit > les six arêtes de cette pyramide en valçun des six arêtes de la proposée (figo 5 et 6). "^^ "^ ^
AB=g, AC=A, BC = m b1I=— (p*— m»— n»)
De ees six arêtes, toutes exprimée» en valeurs des données, le» trois AB, ^u. Au sont les côtés de la base AB^^, et les trois
^B^B^ ^K*^^M mmÊ^im^
autres Ci/, AC, BC sont les arêtes montantes, c'est-à-dire, partant du sommet C et respectivement opposées à ces côtés. Donc, pour appliquer au cas présent la formule trouvée (6) , il n'jr a
qu'à y substituer AB pour m, "Bu pour n. Au pour p, ,Çu
pour/i AC pourgr et. BC pour Aj c'est-à-dire , mettre dan» eette formule, au )ieu de m, n^p^f^g, h, les quantités trouvées ci-dessus (A) pour AB, Bu, Au^ Cu, AC, BC, respec* iiveinest; et alor» ^ exprimera par une équation du deuxième degré sans second terme, et en valeurs de» six arêtes de la pyramide proposée, I9 hauteur cherchée deC, au-dessus de la base AC2/, de la nouvelle pyramide CA'Bu, ou, ce qui revient au
même , la plu» coniie distance des arêtes opposées AB , CD de la pyramide proposée , dont les trois arêtes à la base sont m , »,7?, et le» triH» arête» montante» rcspectivemeat opposée» sont f^ g^ hy ce qu'il fallait trouver.
COROLLAIRE
4^. Puisque ee preUfrme donne la relation de ce» sept quantités m, n, p ,ff g, h y distance de ^ à n, il est évident qu'il résout cette question plus g^érale; , ,
Parmi ces sept quantités , sauoîr, les six arêtes d'une pyra* mide triangulaire, eu la distance de deux quelconques des arêtes
opposées, six quelconques étant données, trouver la septième.
ï>ROBLÈME XVI I.
'45. Exprimer en valeurs des six arêtes (Tune pyramide tfîan-' gulaire, V angle formé par les deux rayons de la sphère cir^ conscriùe , menés aux extrémités d^une même arête.
Solution. Je garde les dénominations précédentes, et je me propose de trouver, par exemple, Pangle compris entre les rayons menés du centre de la, sphère circonscrite , aux extrémités B , C
de Taré te BC ou m. pio. 4.
Soit m' l'angle clierclié. Le triangle formé par les deux rajons en question et le côté SC étant isoscèle, nous aurons par la preou&re formule du lemme i , cos ttj' = 7^ ou
a(i — cos/ii')R* =.m" (A),
Substituant dans cette équation la valeur de R* donnée par la fonnule (A) du problème lY (10), nous aurons
ce çu*il /allait trouver»
COROLLAIRE
44- Puisque la formule (A) contient les sept quantités m, n, p 9/9 g» h, ni y il est étident qu'elle donne la solution de cette question plus générale:
Parmi les sept quantités suivantes, saifoir, les six arêtes
^uné pyramide triangulaire y et Vun quelconque des angles
formés au centre de la sphère Circonscrite , par les rayons
jnenés aux quatre sommets de la pyranude ^ six quelconques
étant données , troiu^er la septième.
