PROBLÈME XVIII

45. Parmi toutes les^ quantités qui entrent dans la construC" tion d'une pyramide triangulaire, six quelconques étant don-' nées, suffisantes pour que le reste soit déterminé, troui^er toutes les autres*

Solution. J'observe d'abord que les six données doivent être en effet suffisantes pour que tout le reste soit déterminé} car si^ par exemple^ on donnait six angles seulement^ il est évident qu*bn ne pourrait déterminer la valeur absolue des arêtes, mais seulement leurs rapports, puisque toutes les pyramides semblables ont les mêmes angles* Il en serait de même , si des six choses données, il s'en trouvait quatre appartenantes à un même triangle sôit rectiligne, soit sphérique, puisque trois d'entre elles suffisant pour déterminer la quatrième, c'est en effet comme si Ton ne donnait que trois de ces quantités , au lieu de quatre*

Cela posé, qu'on cherche par les formules trouvées dans les problèmes précédens chacune des six données , en valeurs des six arêtes j qu'ensuite , considérant ces six arêtes comme les incon* nues, on tire la valeur de chacune d'elles en données j il n'jaura plus , pour avoir en valeurs de ces mêmes données, chacune des autres quantités qui entrent dans la construction de la pyramide^ qu'à substituer dans l'expression que par les problèmes précédens^ on a de cette autre quantité en valeurs des arêtes, l'expression qu'on vient de trouver de chacune de celles-ci en valeurs des données) ce quHl fallait trouver.

Remarque.

éfi. Si l'on voulait se borner à rechercher la relation qui existe entre les quantités angulaitîes de la pjramide , cinq de ces quan* tités suffiraient pour trouver toutes les autres. Par exemple , si parmi les six angles que forment les faces deux k deux , on en connaît cinq, il est évident que le sixième sera déterminé ( qu'ensuite avec ces six angles on aura par )a seconde formule du l^mme ii^ tpus ceux que forment les arêtes entre elles à chacyui

( 50 des sommets; puis par la troisième formule du même lemme^ tou9 ceux que forment les arêtes avec les faces.

Ainsi > de même que nous avons exprimé foutes les parties, tant linéaires qu'angulaires de la pyramide , en valeurs de ses six arêtes; DOU8 pourrions nous proposer d'exprimer toutes ses parties angulaires seulement , en valeurs des six angles compris entre les faces deux à deux ; pourvu toutefois ^qu'on ait commencé par établir l'équation de condition qui lie entre eux ces six angles , puisqu'il suffit de cinq d'entre eux pour que le sixième soit déterminé.

47* Au lieu des six angles formés par les Ëices deux à deux i nous pourrions prendre pour données , six autres angles quelconques : par exemple, ceux que forment deux à deux au centre de la sphère circonscrite > les rayons menés de ce centre aux quatre sommets de la pyramide *y pourvu que Ton commençât encore par établir l'équation de condition qui lie tous ces angles entre eux.

Cette équation serait facile à trouver dans le cas présent , d'après le problème XY II ; car par la formule (A) de ce problème , nous avons

m' s= aR* ( I — cosm')*

Far conséquent , en nQmmant de même n',p\^, V^f, les angles fermés respectivement par les deux rayons qui aboutissent aux extrémités des arêtes n^p, g, h,/', nous aurons les six équations suivantes :

= aR'(i -

= aR»(i-

-co«»')

= aR»(i-

-cosp')

= aR'(i-

"CM g')

= aR*(i-

— cosh')

= aR*(i-

Donc si dans toutes les formules trouvées par la série des proUèmes donnés, on substitue pour les quantités m*, n%p^,g*, h%/^, qui expriment les carrés des six arêtes , leurs valeurs qu'on vient de trouver (B) , on aura l'expression de chacune des quantités du système^ en valeurs du seul rayon R de la sphère circonscrite.

(Sa)

et des six angles formés au centre par les rayons menés aux quatresommets de la sphère. Mais comme cela fait sept quantités , et qu'il ne xloit y avoir que six données ^ il faut faire disparaître un de ces six aijgles par Téquatiôn de condition qui les lie entre eux; il reste donc à trouver cette équation de condition.

. Gela sera facile en reprenant la formule (A) du problème IV (i a), car si Ton j substitue les valeurs trouvées ci*dessus (B) de m^, /z% p*, f^^ g^, h^\ il est visible que toute l'équation se trouvera , après la substitution^ divisible par R'} donc celle qui restera sera une simple équation de relation entre les six angles 772% vl^ p'ff'^ ^9 ^^i et c'est ce que l'on cherche. Mais puisque toute l'équation doit être divisible par R^ il est évident qu'on abrégera l'opération en supposant R = i j c'est-à-dire, en substituant simplement au lieu des quantités m*, ^^ 9 p^ y ^ y h^^f"^ ^ celles-ci, 2(1 — cos/w'), 3(1 — cos w') , 2 ( I — cos ;?' ) , 2(1— cos^') , 2(1 — cos /i') ; 2(1— -cos/') ce qui étant exécuté donnera ^ réduction faite ^

+co8^/îi'cosy-f-co8*/i'co8*g'-fcoj^co8*A'-J-aco8in'cos7i'coÉy/ + a cosm'cosg^cosA' -^- a cosn'cosh^cosf, -|- a coag' cosh'cosf^ —a cosnif CO8 n.' cosf cosg^ — a cos m' cosf cosj/ cos K -^a cos fil coi ffcoap' 00s A' rs o. . . • » • . < 1 . ^ « . . » (C) '

Telle est l'équation de condition qui, avec les six trouvées (B); donne le mojen d*exprimer en valeur du rajon R et de cinq quelconques, des angles m\ n' , p'yf 9^ y h' , toutes les quantités du tjstème.

S'il ne s'agit que d'avoir les quantités angulaires; comme alors H doit disparaître, il sera plutôt fait, comme ci-dessus, de supposer R = I. Cest de la relation de ces diverses quantités angulaires seulement , que nous allons maintenant nous occuper ; après quoi, nous viendrons à notre question principale qui consiste, suivant le titre de ce Mémoire , à trouver la relation existante entre les distances de cinq points quelconques pris à volonté dans l'espace.