PROBLEME XXVIII

63. Connaissant les distances respectives de six points quel" conques pris dans V espace , trouver V angle que forment entre eux les deux plans qui contiennent y le premier trois quelconques des six points proposés , le second les trois autres. .

FiGii. Solution. Soient A, B, C, M> N, P, les six points proposés, et qu'il s'agisse de trouver Tangle compris entre le plan qui contient les trois premiers A, B, C, et celui qui contient les trois autres M, N , P.

Imaginons de chacun des points A, B, C, contenus dans le premier plan , une perpendiculaire abaissée sur le second. Puisque les distances respectives de tous les points proposés sont données par hypothèse , ces perpendiculaires seront faciles à trouver ; cac

si Ton conçoit du point A, par exemple , les droites AM, ÀN>

AP, il en résultera une pyramide triangulaire , dont les six arêtes seront données , et dont la hauteur , à partir du point A , est précisément la perpendiculaire qu'il s'agit de trouver.

Maintenant , imaginons AB prolongée j^usqu'à la rencontre de deux plans ABC , MNP , et par les pieds des perpendiculaires abaissées des points A et B sur le plan MNP , concevoiis aussi

une droite : elle ira rencontrer AB dans l'intersection des plans ABC, MNP , et ces droites formeront avec les perpendiculaires ci-dessus ^ des triangles rectangles semblables , dans lesquels on

connaît, i*. les deux perpendiculaires, a**, la distance AB de leur sommet. On trouvera donc facilement les autres côtés de ces triangles par cette proportion : la diflFérence de ces deux perpendiculaires est à AB comme la perpendiculaire abaissée du point !Q est à la distance du point B , au point où AB rencontre le plan MNP.

Far une opération semblable , on trouvera la distance du même

point B, au point où la droite AC rencontrera ce même plaû

MNP : ainsi ces deux droites AB, AC , prolongées jusqu'à l'intersection des plans ABC, MNP, et cette intersection elle-même, formeront un triangle rectiligne dans lequel on connaîtra les deux

côtés pris sur les directions de AB et AC avec l'angle compris au sommet B de ce triangle. On aura donc par le lemme i, la perpendiculaire abaissée de ce point B qui est son sommet sur sa base qui est l'intersection de deux plans ; et commet la perpendiculaire abaissée du point B sur le plan MNP est aussi, connue,. on aura, en joignant les pieds de ces deux perpendiculaires,, un trianglp rectangle , dont on connaîtra rhjpoténuse et un petit côté; etpa^ conséquent on trouvera sans difficulté l'angle opposé à ce petit côté, et cet angle est précisément l'angle compris entre les deux plans ABC, MNP j cç qu'il fullait tromper.