PROBLÈME XXXII

65. lia position tPun point étant déterminée dans r espace par trois coordonnées quelconques , faisant entre elles des angles^ donnés, on propose de changer les directions de ces coordonnées, supposant que Von connaisse V angle que fait chacune des nou^ velles coordonnées auec chacune des anciennes^

(59) Solution. Soit M le point proposé dont la position soit déter-ne.». minée dans l'espace par les trois coordonnées

qu*on suppose données ^ et faisant entre elles les angles aussi donnés^

PAQ=:a:'y, VKR^x\, QAR =y'z...(A).

Maintenant , l'origine A des coordonnées restant la même ^ soient les trois nouvelles coordonnées du même point M

Â^ = ajS ,Âï=y, a7 = z' (B)

formant chacune avec les premières > les angles donnés ,

ph¥=:x\\ pAQ:=/'x', pJkRzz^raf (C)

çAPzrzoTy, qAQ=:yy, çAR=:zy (D)

rAP^oTz', rAQ=^''z% rAR = z'V (E)

Il s*agit donc de trouver les premières coordonnées à:^ y, z, en valeurs des nouvelles :xf, y^z' , et des <}ouze angles que iious v^^ nous d'énumérer»

J'observe d'abord , que des trois angles marqués (C)^ il suffit d'en connaître deux quelconques pour que le troisième soit déterminé» Ainsi , lorsqu'il est dit dans l'énoncé du problème , que ces trois angles sont donnés , on entend seulement > que deux d'entre eux ayant été donnés immédiatement , le troisième a été déterminé en valeurs des donnés , par ce qu'on nomme une équation de cori-dition. Cette équation de condition est facile à trouver j car les quatre droites o^, y , z, x' forment entre elles six angles

X y p X Zy y Zf x x % y. x ^ z •* j

dont les trois premiers et deux d'entre les derniers ^ont donnés par hjpothèse. Donc on peut leur appliquer la formule trouvée (âo), en faisant

X y=:mj X z:=zn, y zr=z.p ^ x x ^^r^y x=zq^ z x z=zs...(F) Il en est de même des trais angles marqués (D)^ il suffit que deut

(6o) soient connus > pour que le troisième soit détermine par la même formule, en faisant

Enfin , il en est de même encore des trois angles marqués (E) , auxquels on appliquera la même formule en faisant

X y;=sm, X zzs^n^ y Z'=^j)y x zzszr^y *=7> z z:=s*f

on a donc d'abord , pour déterminer réellement tous les angles supposés donnés dans Ténoncé du problème , mais qui ne le sont qu'implicitement, les trois équations de condition suivantes :

1 — CÙS^X y — C08*X s ^ C08*^ z — * C08*X X — C08^ X — C08*2 of

-j- co9*xy . cos*£ X + corx z.cos^y x + cos*^ s • cot^x x

*t- â 008 X ^ . C08 X 2 . C08^ % + ACOS X ^ . C08^ X . CCS X X

-f flCOSX S . COSX oi . C0S2 j/ -f" fiC08^ X . C08^ af . C08 2 X^

.— âC08X^.C08X S.C08^ X.C0S2 X — aC08X Jf.C08^ «.C08X X.C08S X

— aco8x «.co8^ 2.008^ y .COSX y^ = o (K)

1 — C08*X y — C08*X ft — 008*^ z — COS*X y — C08*Jf y — C08*« y

+ COrX y . €08*» y-j-C08*X s • C08*y y +C08^ 2 . C08*X y , A A A. A A. A^

+ fl COSX y . COSX 2 . cosy z + acosx y . cosx y . cos y y 4-flco8x Z . COSX y . cosa y + a cosy z . cosy y . cos 2 y

— acosxy.cosx «.cosy y .coszy — ùcosxy.cosy z.cosxy .coszy

— acosx 2.co8jr a.cosxy .cosy y =0 (L)

1 — co8*x y — C08*x 2 — cos*y z — C08*x z — cos'y ^ — cos* a z'

+ coè'x y . co8*z »' -f"CO^^ * • cos*y * + co8*y z . co8*x af *t- acosx y . cos x a . cosy « -|- a cosx y . cosx z . cosy a' *^ acos X a . cosx z . cosa a + a cosy a • cosy a . cos a a

«—acosxy.cosx a. cosy a^cosa a — acosx y. cosy a. cosx a .cosa a'

— acosx a.cosy a, cosy a'. cos» a' = Q (M)

Maintenant que tous les angles marqués ci«dessus (A)^ (B), (C), (D) , (E) sont connus , il nous reste à trouver les preaùères coor* données x, y, z, en valeurs de ces angles connus j et des trois nouvelles coordonnées x\ y, :£.

Pour cela^ j'achève les deux parallélipipèdes APQRSMT^ 'KpqrslAt y le premier ^ construit sur les premières coordonnées ^^y y^y prises pour arêtes partant du point A : le second^ construit sur les nouvelles coordonnées x' ^ y' ^ z' également prises pour arêtes du même point A } ces deux parallélipipèdes ayant par conséquent

pour diagonale commune le rajon vecteur AM«

Or la seule inspection delà figure démontre que APTM/;7A est un

hexagone gauche dont les trois premiers côtés AP^ PT^ TM^ sont

les anciennes coordonnées x , z\ y\ et les trois autres hp s pt ,

iHy sont les nouvelles coordonnées o:^^ s^ , y y et que de plus les angles formés par ces droites deux à deux , sont ceux que font

entre elles à l'origine A, les six arêtes AP> AQ > AR^ Ap ,

Aç, Ar.

Mais on sait que dans tout polygone plan pu gauche j chacun des côtés est égal à la somme de tous les autres multipliés, chacun par le cosinus de l'angle qu'il forme avec le premier. Appliquant

donc ce principe successivement à chacun des côtés AP , TM ,

PT^ (m X, y, z, de l'hexagone gauche AJPTMtpAj on aura les trois équations suivantes :

a:==a/co8x x^+y cosx j/+a'co8x »'— ^cosx^ — acosx « V

y zzzafcosy a/ +j/co8y y'+a'cosy »'— xcos^ x^^zcosy z V-'-C^)

2 = 0; C08» or -f-y cosa y +« C08Z * — xcos» x^^ycosz y )

équations qui ne renferment plus que les trois anciennes coordonnées y les trois nouvelles y et les neuf angles , ou immédiatement donnés ou déterminés par les équations de condition ci-dessus.

Pour embrasser le problème de la transformation des coordonnées dans toute sa généralité^ il faut résoudre ces trois équations^ afin d'en tirer les valeurs de Xy y, Z) ces équations étant toutes

du premier degré, l'opération n'est pas difficile j car si nous faisdns pour abréger >

008 0?^=^, cosx z = c, X cosj; ar +y cosxy -fz'cosa; ii -zizà

cosy a?=c, cosjf zssg', a/cosy x^ +y cos^'y + a' cosj^'^' = A > (P)

C08» a: = r, cos«3^ = ft, afcosz x +y cos«y +«'cosa *'=m

On aura par la méthode ordinaire des éliaunations ^ les trois équations suivantes qui satisfont à La question proposée ,

^ c hk «f- ftffm ■^— dgk -^bh ^^ cm ^ d " cek -j- bgi "^ gk -^ be ''■^ ci + ï

^ cem «f- gJt — chi — gm — & >»f- A f ^^

" cek + 6gi "* g^ — be --^ ci -^ i £ '*• V

&ft + ^^t "^ ftgyn— fcft — * rf t + m ""^ ccA -|- 6gi — gk — <. ^0 — a -|- 1

Ctf quHl fallait trouver.

COROLLAIRE I

69. SiPon voulait connaître les trois angles txTy ^ cxf z\ yz'^ que forment entre eux les nouveaux axes deux à deux, il nV aurait qu'à considérer les six axes x, y , z y x\ y^ z' quatre à quatre , en prenant deux des anciens et deux des nouveaux ) et comme des six angles que formeraient ces quatre droites 9 il j en aurait cinq de donnés, le sixième se trouverait par la formule

du problème XXI (5o) ; par exemple , Pangle x' y se trouvera en combinant ces quatre axes

^^yi^'fff OM x,z,x\y, ou y^zjx'.yy

d*où Pon tire (5o) les trois formules suivantes , dont chacune donne

Tangle cherché x' y. Ainsi Ton choisira parmi ces trois valeurs équivalentes entre elles , celle qui conviendra le midux ^ suivant les circonstances :

1 — cos*x y — cos*x X — *• cos*^ a;' — cos^x y — cos^ y — cos* x y

+ C08*X^ . COÎi^X y + C08*X X . COS'y J^ + C08^ X . cos*xjr

4" acos X j^ . cos XX.. cos j^ x + a cos x y . cos j^ y . cos x y -f-aco8xx^. cosxy . côsx^y' + accJayj:'. co8yy' . cosxy'

— flcosx ycosx x.cosy y xcfsx y *--flcosaî y.cosy x^.^osx y.GOsx y

i «. co8*x » — ^ coâ*x af — coé?» x' — co^af y -^ coa^ y — co8*x y -f- C08*x 2 . C08*x y + co8*x X . COS*» y + cos*;b x . cos*x y -f-aco8 X 2 . cos a? x • cos.2 x «4* ^ coes x x . cos z y . cosx y +flco»xy' . cosx x^ • cosx y ^ acosx x' . eoas y . cosx y

—a cosx z.cosx x'.cosa y'.cosx y'«— .flcosx z.eosx af ,cûsœ y ,eosxy

— flCOSX X .COS£ X .C082 y .COSX y = o (S)

1 — cosy z — cosy x — cos*» x — cos*a y — co8*x y — cosy y + cos^ z . Qos^xy + Gos^ x^ . co8^ y + coô** x' . CÔS^ y' + acosy z . cosy x . cos a x + a cosy x . cos « y . cosy y -f-acosy a/ . cosy y . cosx y' -|- acoszx^. cos a y . cosx y — acosy z.cosy x'. cos z y. cosx y'— a cosy x^.cosx a/.cosa y xoay y •— acosy z.cosa af .cosy y^cosxTy z=z o » (T)

COROLLAIRE II

70. Si les trois premières coordonnées étaient rectangulaires f comme on le suppose ordinairement > on aurait évidemment

cosa:y=o, cosx zz=Of cosy z = oj

ainsi les termes affectés du signe négatif dans les formules (N^ disparaîtraient^ et ces formules se réduiraient aux suivantes :

X s= a;'cos« a/^y^cosx y-f- z'coso: zf

y = aîcosy aï'+ycosy j^H-^cosj^ ;j' ^ ••...»• . «(U^*

* s; a:^cosz od^y'coiz y^ z'co9Z £

Les équations de condition (K), (L), (M) trouvées ci-dessus st réduiraient à celles-ci :

cos'o: af^ cos*^ 0?'+ cos*z a?' = i

ço$*x y+ cos*^ y-f- co8*z y = I f 0^)$

COS*X z'4- COS^ Z'^- C08*Z z' = I

et enfin les équations (R)^ (S), (T), combinées entre elles et

appliquées de même successivement aux autres angles x x^^ j^» se réduiraient aux trois suivantes :

co8xry=co«a: a:'.cosxy-j- cosy j/.coty y-j-coax a/.co&cy co8arà'=cosx a/.cosx »'+co«y af .cosy *'-f- cow j/.coss y /• • • 'C^)* cosyVss C05X y .coax »'+ co?y y «coay z'+ com y . cos* »'

COROLLAIRE III

71. Si au lieu de connaître les angles xy^ x z, y z i que forment entre eux les trois premiers axes^ on connaissait les angles que forment entre eux les plans Axy , Axzy Ayz , qui contiennent deux à deux les arêtes partant du point A^ angles que j'exprime (4) comme il suit :

Axy Axz, Axy Ayz, Axz Ayz, il n*j aurait qu'à prendre les formules données par le lemme 11^

cos^ y = . j \ A ^ -^-^ — "^

amAxy Axz . ânAxy Ayz

coso: z = etc»

cosj zs:etc*

et Von substituerait ces valeurs de cosx y, cobx z, cos^z^dans les formules trouvées ci-dessus^ ce qui donnerait toujours les va* leurs des anciennes coordonnées en valeurs des nouvelles et d*angle8 connus» ^