DITES NÉGATIVES

Je crois avoir donné dans ma Géométrie de position^ la véritable théorie des expressions algébriques^ appelées communément quantités négatives. Comme il était question alors de combattre une opinion ancienne sur la nature de ces quantités^ j'ai dû entrer dans beaucoup de détails ; mais plusieurs savans du premier ordre ont pensé que cet objet étant rempli^ il serait maintenant utile d'écarter de la discussion tout ce qui ne serait pas entièrement élémentaire^ en me bornant à Texposé le plus simple et le plus court possible de ma théorie; c'est ce qui m'a déterminé k composer cette Digres* sion abrégée : je Pai jointe ici par forme de supplément^ n*ajant pas en ce moment occasion de la publier avec des sujets auxquels elle soit plus analogue*

i« La nature des quantités dites négatives a toujours été lespjet d'une des principales difficultés métaphysiques de l'analyse.

Les opérations de l'Algèbre conduisent à chaque instant à des expressions de formes négatives. Que signifient ces expressions ? Voilà ce qu'il faut savoir.

Il est clair d'abord que les quantités absolues sont les seules dont on puisse se former une idée nette } les signes »j- et *--- dont elles sont précédées^ indiquent seulement les opérations qu'on doit faire sur elles. Ainsi les expressions ^a, -^ b, sont des formes algébriques complexes , qui n'expriment ni simplement une quantité , ni simplement une opération , mais la réunion de Tune et de Tautre. On ne peut donc ^ sans altérer l'évidence qui doit faire

(97) la base des vérités mathématîqaes , confondre ces expressions avec celles qui doivent représenter de simples quantités. Cependant -f-^ pouvant être regardé comme étant la même chose o -4- a ou a , onpeut ne faire aucune distinction entre les quantités dites positives et les quantités absolues ^ et la difficulté ne regarde réellement que les quantités dites négatives.

21 • n j a des personnes qui regardent les quantités négatives isolée*, comme moindres que o; mais cette opinion ne paraît nullement goutenable \ car pour obtenir une pareille quantité ^ il faudrait pouvoir ôter quelque chose de rien » ce qui est absurde*

De plus> comment admettre que le produit de deux facteur* donnés puisse être moindre que celui de deux autres facteurs donnés^ plus petits que les premiers , chacun à chacun ? C'est cependant ce qui arriverait en multipliant > par exemple^ — 4 par — 5, s'il était vrai que --" 4 ^^ "^ ^ fussent chacune moindre que o ; puisque leur produit 30 serait plus grand que celui de ces deux autres facteurs 3,5^ chacun plus grand que o, et dont le produit n'est que 6.

Enfin , puisqu'on est en droit de négliger dans un calcul le$ quantités nulles , à plus forte raison devrait-on pouvoir négliger celles qui sont moindres que rien : or tout le monde ^it qu'oa commettrait des erreurs capitales j si on négligeait les quantité* négatives.

3. D'autres personnes disent que les quantités négatives isoléei se difi^rent des quantités positives ^ qu'en ce qu'elle^ sont prise* •dans un sens contraire*

Mais d'abord , ces personnes n'expliquent point-i^e qu'elles entendent en général par quantités prises en sens contraire les unes des autres. Elles disent bien ^ par exemple , qu'une créance et une dette sont deux quantités prises en sens contraire l'une de l'autre , et qu'ainsi une dette peut être dite une créance négative. Elles disent qu'une ordonnée prise à droite de l'axe des abscisse^ et une ordonnée prise à gauche ^ sont deux quantités prises en sens contraire l'une de l'antre ^ et qu'ainsi une ordonnée à gauche peut être considérée comme une ordonnée à droite prise négatif Vement. Mais indépendamment de l'obscurité attachée à de pc^v

reilleï expressions j ce ne sont là que des exemples particuliers «

(98) qui n^expUqnent point ' ce qu*on doit entendre g^néiralenlient par deux quantités prises en sens contraire Tune de l'aubre.

De plus, les règles que. l'on établit sur cette notion vague se trouvent sans cesse en défaut^ même dans les cas particuliers dont nous venons de parler. Je me bornerai ici à un seul exemple , celui de la sécante d'un arc plus grand que la demi-circonférence ^ et moindre que les trois quarts. Cette sécante , d'après les règles dont nous venons de parler > devrait être positive , puisqu'elle se confond ^ tant pour sa grandeur que .pour sa direction ^ avec la sécante d'un arc moindre que le quart de circonférence j que tout le monde reconnaît pour positive. Or il est constant^ dans la théorie même de ceux qui soutiennent l'opinion dont il s'agit y que cette sécante d'un arc plus grand que la demi-circonférence ^ et moindre qu« les trois quarts^ doit être négative. C'est donc une contradiction manifeste ^ et cette opinion est au^si inadmissible que la première;

D'ailleurs^ si les quantités dites négatives étaient de véritables quantités, pourquoi, lorsqu'on multiplie les unes par les autres, les négatives auraient-elles le privilège de donner leur signe au produit ? Pourquoi ne pourrait^on tirer la racine carrée des unes aussi bien que des autres ? Là racine carrée d'une créance serait une quantité réelle, et la racine carrée d'une dette serait une quantité absurde : la racine carrée d'une ordonnée prise à droite de l'axe serait réelle, et celle de l'ordonnée à gauche serait imaginaire; et qui plus est, comme on est maître de fixer le côté des ordonnées positives, on pourrait rendre à volonté possible et impossible une même chose ; on ^urrait , par la magie des signes , donner l'existence à ce qui ne peut pas être, et rendre impossible ce qui existe : certes , les géomètres ne se sont jamais douté qu'ils eussent en main un pareil pouvoir*

4^ D'autres personnes enÇn , sans discuter la nature des quantité négatives isolées, se sont attachées à justifier l'emploi qu'on en ÎBÏt, ta montrant qu:e les résultats qu'on obtient par elles , sont toujours (conformes à ceux qu''on obtient par la seule synthèse, ou par d'autres fyrocédës de calcul qui dispensent de faire usage de ces quantités irégatives. On doit regarder leur travail comme d'autant plus

(99) précieux, qu'il n'est pas d'autre manière de constater ribfaillibiUt^ des résultats fournis par l'analjse* Mais ce que je me propose ici est différent ; mon but n'étant pas de rechercher comment on pourrait se passer de Temploi des quantités dites négatives, mais de savoir en quoi consiste la nature de ces mêmes quantités , lorsqu'on ea fait usage. Tel est l'objet des remarques suivantes*

5« L'expression de quantité négatiue se prend en Algèbre dans deux acceptions très-différentes. '

Suivant la première acception , quantité négative signifie simplement toute quantité qui est affectée du signe — -•

Suivant la seconde , quantité négaiiùe signifié toute quantiti^ qui se trouvé affectée du signe contraire à celui qu'elle devrait avoir.

. Par exemple , dans la formule connue

cos(a-f- A) = cosa cos 3 -~ sin a sin h (A)

le dernier terme est négatif suivant la première acception* Tant que a y b et a -f: ^ ^^^ moindres chacun que le quart de circonférence j ce même terme reste an contraire positif, suivant la seconde acception , parceque le signe — > dont il est affecté , est le vrai signe qu'il doit avoir en effet , pour que l'équation soi^; exacte. Mais si Tangle a^h ^ par exemple , devient plus grand que le quart de circonférence , la formule sera pour lors fautive ; car en cherchant directement par sjnthèse , la formule qui conr vient à ce nouveau cas, on trouve

ces (a + ^) s= ^in a sin^ — oosa ces &. 4.\ (B)

Donc si Pou veut regarder la première formule comme applicable encore à ce cas-ci, il faudra j considérer le premier terme cos(a»f-^)i comme portant un signe contraire à celui qu'il devrait avoir j puisqu'en effet en changeant Iq signe de ce terme, on a ^ — - cos ( a -{« 6) =: cos a cos & — » sin a sin ^ > (formule qui en transposant les termes, revient à la- formule (B) qui est la véritable pour le cas présent. Ainsi, en considérant cette première formule (A) comme applicable au cas où a + 6 est plus grand que le quart de circonférence j ces (a •-}- ^J y est a&cté dsi sign^

( lOO )

contraire à celoi qu'il devrait avoir , et se trouve parconséquent une quantité négatwe suivant la seconde acception > quoiqu'elle soit positive suivant la première.

On voit par là que ces deux classes de quantités diffèrent essentiellement l'une de l'autre j puisqu'une même quantité peut se trouver positive suivant la première acception , et négative selon l'autre} ou négative selon la première, et positive selon la seconde : qu'une simple transposition rend positive celle qui était négative suivant la première acception , tandis que suivant la seconde ^ elle restera toujours négative malgré la transposition^ parcequ'elle ne cessera pas pour cela d'être aflfectée du signe contraire à celui qu'elle devrait avoir. Il n'est donc pas étonnant qu'une même expression appliquée indistinctement à deux choses si difiiSrentes^ répande l'obscurité sur le sujet dont il s'agit*

6. Pour éviter cet inconvénient, réservons l'expression de quan^ tîtés négatwes à celles qui sont en effet réellement affectées du signe — * ; et celles qui se trouvent affectées d'un signe contraire à celui qu'elles devraient avoir, nommons-les quantités ini^erses par opposition à celles dont le signe est tel qu'il doit être , et que nous nommerons quantités directes.

On dit f par exemple ^ qu'une dette est une créance négative i cela signifie que si dans un calcul ^ on prend une dette pour une créance, ou une créance pour une dette, la quantité algébrique qu'on aura prise pour représenter la somme à payer ou à recevoir, se trouvera affectée du signe contraire à celui qu'elle devrait avoir, et qu'elle aurait eu réellement si l'on ne s'était pas trompé.

En effet , soit x cette quantité à payer ou à recevoir par une certaine personne , A la fortune de cette personne , B ce qu'elle posséderait , abstraction faite de sa dette ou de sa créance x.

Si cette somme x est une créance , il est clair qu'on aura

As=:B--H^^ ou âi = A-— B; si au contraire x est uiie dette , on aura

A = B — or, ou a:s=B — Aj donc si l'on a supposé par erreur que x étoit une créance > tandis

que c'était nue dette > ou une dette tandis que c'était une créance , on aura mis dans le calcul A — B au lieu de B— * A ^ ou A — B au lieu de — (A — B) , ou a? au lieu de — a?j c'est-à-dire^ que dans tout le cours du calcul , x se trouvera affectée du signe contraire à celui qu'elle devrait avoir , et qu'elle aurait réellenoieat si elle représentait ce qu'elle doit représenter en eJSTet»

7* De même^ si dans un calcul d'application d'Algèbre k la Géo-: métrie ^ on suppose par erreur que telle ordonnée est placée k la droite de l'axe des abscisses^ tandis qu'elle est réellement placée à la gauche^ le signe dont se trouvera affectée la lettre alphabétique prise pour représenter cette ordonnée^ sera contraire à celui qu'elle devrait avoir , et qu'elle aurait réellement si l'on ne s'était pas trompé sur la position de cette ordonnée j ainsi cette lettre alphabétique exprimera une quantité inverse.

effet, soit BB' Taxe des abscisses , pM l'ordonnée qui est

à gauche , tandis qu'on l'avait jugée à droite en pm\ Menons

au-delà du point M un nouvel axe FF' parallèle au premier qui soit rencontré en />' par l'ordonnée , et nommons a la distance arbitraire de ces deux axes, y l'ordonnée dont il s'agit, et z la distance de son extrémité , M ou M' un nouvel axe.

Si Tordonnée est réellement Wp , on aura

TiSfp =:Mp' --^ pp\ ou^ = ;r — a.

Si au contraire l'ordonnée est M;; , on aura

Donc si l'on a supposé, par erreur ou autrement, que l'ordonnée

était à droite , c'est-à-dire Wp , tandis qu'elle était réellement à

gauche, c'est-à-dire Mp , on aura mis dans le calcul Mp au lieu

deM;7, ouz — a au lieu de a— -z, ouz— aaulieu de— (z-«-^î), c'est-à-dire qu'on aura donné ky lin signe contraire à celui qu'elle devait avoir ; donc cette quantité j' sera de celles que j'ai nommées quantités inverses.

8* On peut roîr par là que le principe fondamental de f ouf e la théorie des quantités inverses , est celui-ci : Toute quantité int^erse peut être considérée comme la différence de deux quantités directes dont laplus grande aété prise pour laplus petite, etréciproquement.

En e£fet > dans le premier exemple ci-dessus^ x est inverse et porte le signe contraire à celui qu'elle devrait avoir , puisqu'on l*a supposé A — B, tandis qu'il est réellement B — A ; c*est-à-dire , que des deux quantités > A^ B » dont x est la différence > A a été supposée la plus grande > tandis qu'elle se trouve en e£Pet la plus petite.

De même ^ dans le second exemple ^ y est inverse y et porte le signe contraire à celui qu'il devrait avoir ^ parcequ'on l'a supposé z — a y tandis qu'il est réellement a — z ; c'est-à-dire^ que des deux quantités a^ z, dont j" est la différence > la plus grande a été prise pour la moindre.

En général^ soit p une quantité inverse quelconque, et faisons pzszm-^n. Puisque p est inverse par hypothèse ^ il est affecté du signe contraire à celui qu'il devrait avoir j c'est-à-dire ^ qu^oa a mis dans le calcul p au lieu de — /? , ou m —« 72 au lieu de 7z — « m : on 4 donc supposé m'^n, tandis que réellement on a n <Cm'y c'est-à-dire que des deux quantités, m , n, dont p est la différence^ la plus grande n a été prise pour la plus petite^ et la petite m a été prise pour la plus grande.

9* C'est dans ce sens qu'on doit entendre ce principe connu et important j savoir^ que toute quantité variable qui^ de positive qu'elle était, devient négative et réciproquement , passe nécessairement par ou par 00 • Cela signifia que toute quantité variable qui de directe devient inverse , ou qui d'inverse redevient directe» passe nécessairement par o ou par 00 • En effet, pour que des deux quantités^, n, la plus grande devienne la plus petite, il faut qu'elles passent l'une et l'autre par l'état d'égalité, et que par conséquent leur différence m — /i ou n — m devienne o. Donc^ puisque/? est cette différence , il faut aussi qu'elle passe par o pour devenir inverse

ou — p. Maiis si p devient — /? • - deviendra aussi ; donc •

deviendra aussi inverse } donc en devenant inverse^ elle passera

( io3 )

par 00 '• Appliquons toute cette théorie à quelques nouveaux exemples.

10. Le cosinus d'ua angle obtus est une quantité inverse ^ on négatÎTe suivant la seconde acception dont nous ayons parlé; parce que le système primitif, celui auquel on le rapporte ^ et sur lequel les raisonnemens ont été établis ^ est celui dans lequel tous les angles considérés, sont moindres que le quart de circonférence^ ce qui, 'suppose le cosinus même égal au rayon moins le sinus rerse , et par conséquent le rayon plus grand que le sinus verse j mais lors^ que l*angle est obtus, c'est au contraire le sinus verse qui est plus grand que le rayon. Donc alors le cosinus est la différence de deux autres quantités dont la plus grande a été supposée la plus petite. Donc le cosinus de l'angle obtus est ce que j'ai appelé une quantité inverse.

Voilà pourquoi, en prenant la formule primitive cos = i •— sin ver, il faut y changer le signe dont cos est affecté , pour que cette formule lui devienne applicable: c'est-à-dire, écrire — cos = i ^^ sin ver , ou cos = sin ver — -* i , qui est la vraie formule coiivtknable au cas dont il s'agit. De même^ ainsi qu'on l'a vu plus liant, a et 6 étant deux angles dont la somme a -f-^ est moindre que le quart de circonférence \ on a cos (a H** ^)^= cos a cos 6 — sin a sin h. Mais si a -f- d surpasse le quart de circonférence , cos ( ^ + 6 ) deviendra inverse , puisqu'elle est la différence de deux quantités, i et' sin ver (iz + 3), dont la première a été prise pour la plus grande dans la formule primitive, tandis qu'elle est la plus petite dans le cas présent. Cos (^ + 3) se troukre donc affectée du signe contraire à celui qu'elle devrait avoir \ c^est-àdire, que U véritable foromle, pour le cas présent, est

*^cos(^*f-3)sscos^ico8 3 -**sÊnasia 3, ou fos(a^^&) = 8ina sin ^~ ooBixcosfr.

Et Ton doit rémarquer que, conibnnément à ce qui a été dit ci-dessus, au moment où cos (cr-f-3) change ainsi de signe ou devient inverse , elle passe évidemment par o.

De même , on a par les formules primitives^ tang a =

eoaa

sin a smafi— sinvera) sin a — sin a. sin ver a

ou taivgtf= ; = ^ — : rr^= • ; — : r-j

'^ 1— sinvera (i — sinvera)* i — 2 sin ver a + sm ver'a

sin a sma.sinvera

ou t^"g <? ^^^^ mm».-^ .

1 •<- a sin ver a + sin Ycr*a i — û râ ver a -f- sin ver*a

(io4>

Cela poséi fant que a sera moindre que le quart de cireonfé*» rence> i sera plus grand que sinvera, et par conséquent, le pre'« mier ternoie du second membre sera plus grand que l'autre : donc tang a restera constamment directe. Mais si a devient obtus y alors on aura sinversa> i. Donc tang a se trouvera la différence de deux quantités , dont la plus grande a été supposée la plus petite^ donc tang a deviendra inverse , ou négative suivant la seconde acception dont nous avons parlé ; c'est-à-dire , que la véritable

Ml .A sin u ( sin ver a — i ) ^^ i

formule pour ce cas , est tang a = . . — • Cela n em-

pêche pas que l'on ait toujours tang a s^îllLf ^ parce que dans

cette équation , tang ^ et cos a deviennent Pune et l'autre inverses à - la* fois > de manière que pour y appliquer la formule , il faut changer le signe de l'une et de l'autre, ce qui donne

. an a . sin a

— tang a s= • ou tanga = — - ;

et l'on doit remarquer, qu'au moment où tang a change de signe,

elle passe par oo , puisqu'elle est toujours - — , et que cos a passe .par o , comme on Ta vu ci-dessus»

Pareillement encore , on a dans le système primitif,

» 1 1 1— sînvera i nnyera ,

cos a i— sinvera (i— sînvera)* (i— sinvera)* (i— sin ver a)**

Or tant que a sera moindre que le quart de circonférence, le premier terme du second membre sera plus grand que l'autre , et la formule aura lieu sans modification : mais si a devient plus grand d'une demi-cireonférence , sin ver a sera plus grand que i ; donc séca se trouvera être la difi^érence de deux quantités dont la plus petite aura été prise pour la plus grande > donc elle sera inverse , donc elle portera un signe contraire à celui qu'elle devrait avoir. Donc la vraie formule , dans ce cas , aéra

séca

sinvera I

"(sinvera— i)* (sin ver a— i)* '

ce qui n'empêche pas qu'on ait toujours séc a es -—f parcequ^alors

cos a'

( ïo5 ) êéc a et cos a deviennent l'une et l'autre inrerses en même tempt»

Il est à remarquer^ comme on Ta déjà dit, que cet exemple^ si facile à expliquer dans notre théorie , détruit entièrement l'opinion de ceux qui disent que les quantités négatives ne sont autre chose que des quantités ordinaires , prises en sens opposé à celles qu'on nomme positives.

11. Mais on peut demander à quoi bon introduire dans le calcul^ des quantités affectées d*un faux signe > et s*il ne serait pas plus simple de donner tout de suite à chacune d'elles le signe qui lui convient.

Je réponds d^abord^ qu'on j est souvent obligé j car si l'on cherche^ par eicemple, Tordonnce d'une courbe, sans savoir la région dans laquelle elle se trouve \ il faut bien commencer par supposer qu'elle se trouve dans telle ou telle région ; et si Ton se trompe dans dette hjpotfaèse, on trouve bien la valeur absolue de l'ordonnée en question^ mais (7) affectée du signe contraire à celui qu'elle devrait avoir. Il y a par conséquent erreur dans le résultat j mais cette erreur est facile à corriger , sans qu'il soit nécessaire de recommencer le calcul, puisqu'il n'y a qu'à prendre cette ordonnée dans la région opposée à celle où l'on avait jugé qu'elle devait se trouver*

De même, si l'on cherche le cosinus d'un angle qu'on croit être siigu, et que cependant on trouve pour ce cosinus une valeur né« gative, c'est une preuve qu*on s'est trompé sur le côlé du centre où on l'a supposé placé (10) , et que l'angle eftt obtus; mais comme on n'en a pas moins trouvé la valeur absolue de son cosinus , on en conclut que l'angle cherché est le supplément de celui qu'on avait cru devoir remplir les conditions du problème.

12. Il arrive souvent ainsi que, quoiqu'on se soit trompé dans la mise en équation , la solution n'en est pas moins utile , parceque l'erreur est facile à rectifier, sans qu'il soit besoin de recommencer le calcul; mais souvent aussi, on est obligé de le refaire sur de nouvelles hypothèses ; car on ne peut se flatter d'avoir ob* tenu une véritable solution , que lorsqu'on est parvenu à trouver pour l'inconnue une valeur positive, puisqu'il n'y a en effet que les valeurs positives qui soient véritablement intelligibles , et que toute>s les autres axmoncent nécessairement une incompatibiÛlé

entre les conditions données et les bjpotlièses sur lesquelles on a établi le raisonnement. Il faut donc changer ces hypothèses ou modifier les conditions du problème jusqu'à ce qu'on ait une valeur positive pour l'inconnue* Si l'équation a plusieurs racines, les unes positives^ les autres négatives» il n'j a jamais que les premières qui puissent être prises pour de véritables solutions. Il faut appliquer à chacune des autres en particulier, ce qu'on a dit de la valeur négative de la racine lorsqu'elle est seule. Quelquefois même il arrive que ces raciaes sont absolument insignifiantes, et ne peuvent être considérées que comme de simples formes algébriques , qui ont été introduites dans le calcul par les transformations auxquelles Téquation s'est trouvée soumise dans le cours des opérations.

i3. Nous venons de voir qu'on est souvent obligé d'emplojer dans le calcul, des quantités affectées du signe contraire à celui qu'elles devraient avoir; quantités que nous avons nommées inverses: mais il est un autre motif qui déterminerait aies employer^ quand même on n^jr serait pas obligé ; c^est l'avantage qu'elle^ procurent de pouvoir représenter par une seule et même formule ^ un système variable de quantités , dans tous les états où il peut se trouver. Ainsi , par exemple , sans ce moyen il faudrait quatre équations difiFérentes pour représenter les quatre régions d'une courbe plane divisée par ses deux axes, et il en faudrait huit pour représenter une surface courbe; au lieu qu'en admettant les quantités inverses, la même équation sert pour les huit régions, en se réservant de changer à la fin du calcul le signe des quantités inverses ou affectées d'un faux signe, qui pourraient se trouver encore dans le résultat. Ainsi , par exemple , quoique les formules

sin ( a -|- 3 ) = sin a cos ^ -+- sin A cos a ; cos ( a -f- i ) = cosa cos 3 — sin a sin h ,

ne soient exactes que pouif le premier quart de la circonférence ; on les regarde comme applicables à tous les cas possibles ; sauf à changer, suivant l'exigence des cas à la fin du calcul , le signe des cosinus des angles plus grands que le quart de circonférence ou plutôt, c'est par les signes mêmes dont les termes se trouvent affectés à la fiji du calcul > qu'on juge si les angles appartiennent

( I07 ) comme on Tavait supposé , ou s'ils n'appartiennent pas au premier quart de la circonférence.

14. Tout ce que j'ai dit jusqu'à présent ne regarde encore que les quantités inverses faussement appelées quantités n^atives , puisque cette expression ne peut naturellement convenir qu'à celles qui sont réellement affectées du signe --*^ tandis que les quantités inverses se trouvent tantôt affectées du signe 4* et tantôt du signe — •

Les quantités négatives proprement dites ^ dont il reste à parler^ ne donnent lieu à aucune difficulté , lorsqu'elles sont précédées de quantités positives plus grandes qu'elles j mais lorsque par l'effet d'une transposition > ou d'une autre transformation quelconque algébrique y on arrive à une quantité négative de cette espèce , isolée ou précédée d'une quantité positive moindre qu'elle^ ou en généra] à une pbrase algébrique qui indique des opérations inexécutables^ on doit regarder cette phrase comme une simple forme qui n'a aucune signification réelle par elle«mème , mais qui renferme néanmoins implicitement les rapports cherchés entre les quantités qui y entrent. Ce qu'il j a d'absurde ou d'inintelligible dans une pareille expression , étant censé amené par une trans« formation j doit disparaître par d'autres transformations; et c'est seulement lorsqu'on l'aura ramenée à une forme explicite, c'està-dire où toutes les opérations indiquées se trouveront possibles, que l'on pourra faire des applications utiles de cette formule ; jusque-là, on doit la regarder comme mise transitoirement sous une forme non significative , dans la seule vue de faciliter et d'abréger les opérations du calcul. C'est par la synthèse seule qu'on démontre les règles des signes en algèbre , c'est-à-dire , qu'on ne saurait les établir autrement que sur des expressions significatives ; on ne prouve pas que ^-ax — 1 = — a^, mais on prouve que •f-ax(B — ô) est aB — aô , en supposant B> Aj c'est ensuite par pure analogie, qu'en supposant B<è, ou même B=o, on en conclut que +ax— ^ = — ai, et qu'on étend ainsi cette règle algébrique à toute fonction significative ou non.

Les quantités simplement négatives doivent à cet égard être considérées comme les quantités imaginaires elles-mêmes ; c'està-dire , comme de simples formes algébriques, les dernières n'étant que les racines carrées des premières : si celles-ci étaient possibles ,

( io8 ) il n*y aurait anenne raison pour que les autres ne le fussent pas, car toute quantité effective doit avoir sa racine carrée; et si elle n'en a pas , c'est une preuve qu'elle est elle-même une quantité absurde : les unes et les autres ne diffèrent, à proprement parler^ que par leurs différens degrés d'absurdité.

l5« Voilà pourquoi c'est un travail important que celui des savans , qui se sont attachés à montrer que les résultats auxquels on est conduit par Temploi de ces formes insignifiantes en ellesmêmes, ne diffèrent jamais de ceux qu'on obtient par d'autres tournures de calcul qui n'exigent pas qu'on s'en serve. Mais loin d'en conclure , qu'il faut rejeter les méthodes analytiques où l'on en fait usage; on prouve , par cette conformité même de résultats^ l'avantage de ces méthodes ^ qui sont en général beaucoup plus courtes et plus faciles que celles qu'on pourrait leur substituer.

C'est même , à proprement parler , dans la faculté qu'on a d 'employer en analyse ces formes négatives et imaginaires, que consiste le véritable caractère de cette science , et son avantage sur la sjo^ thèse qui n'a pas la même faculté : celle-ci est restreinte par la nature de ses procédés, elle ne peut jamais perdre de vue son objet ; il faut que cet objet s'offre toujours à l'esprit réel et net ^ ainsi que tous les rapprochemens et toutes les combinaisons qu'on en fait. Elle ne peut donc employer des quantités absurdes , rai* sonner sur des opérations non exécutables. Si elle fait usage de signes , c'est seulement pour aider l'imagination et la mémoire y mais ces signes ne peuvent jamais être pour elle que de simples abréviations.

L'analyse au contraire a d'abord tous les moyens de la synthèse;: et de plus, elle admet dans ses combinaisons des objets qui n'existeni pas; elle les représente par des symboles, aussi bien que ce qui esfc effectif: elle mélange les êtres réels avec les êtres de raison ;> puis, par des transformations méthodiques, elle parvient à éliminer ou chasser ces derniers du calcul^ après s'en être servi eomme d'auxiliaires. Alors ce qu'il y avait d'inintelligible disparaît ,.et il ne reste que ce qu'une synthèse subtile aurait sans doute pu fsiire découvrir : mais ce résultat, on l'a obtenu par une voie plus courte^ plus facile , et presque par pur mécanisme , lorsqu'il eût fallu de grands efforts pour y parvenir autrement» Tel est l'avaatage de

( 109) Tanalyse sur la synthèse , et toute autre distinction entre Tune et Tautre paraît absolument illusoire.

Par la synthèse , dît-on , on cherche h passer du connu a l'ln« connu ; au lieu que dans l'analjse on regarde comme connu ce qui ne l'est pas. Cela veut dire qu'en synthèse on cherche à exprimer tout de suite les inconnues en valeurs des données; et qu'en analyse au contraire , on commence souvent par exprimer les données en valeurs des inconnues^ pour revenir ensuite à Texpression de cellesci en valeurs des autres , à l'aide de transformations algébriques.

i6. Mais cette distinction adoptie assez généralement sans qu'on Tait approfondie , n'a rien de réel : il n'y a qu'à ouvrir tous les ouvrages d'une synthèse délicate^ et l'on verra que le procédé qu'on attribue ici exclusivement à l'analyse , est également celui de la synthèse ; que dans l'une aussi bien que dans l'autre^ on raisonne sur les quantités inconnues comme si elles étaient données , et que la vraie , la seule différence consiste , non en ce que l'une emploie des signes algébriques^ et l'autre non^ car l'une et l'autre en font usage , mais uniquement dans la nature des transformations algébriques qui suivent la mise en équation ; cette mise en équation appartenant elle-même exclusivement à la synthèse. Mais celle-ci ne peut se permettre , sans manquer à son essence , une transformation qui laisserait quelque quantité négative isolée dans un membre , ou qui indiquerait une opération non exécutable ; tandis que ces sortes de transformations sont très • familières & l'analyse, et sont pour elle une source féconde de découvertes^ auxquelles la synthèse ne peut arriver que par des moyens longs et pénibles.