CONCLUSION

N 27. Tels sont les principes généraux de la théorie des transversales : je me bornerai ici à indiquer quelques-unes des applications dont elle est susceptible.

Soient A, B, C, les centres de trois cercles tracés dans un mêmepi^.a^^ plan. Concevons qu'on mène des droites qui touchent ces cercles deux à deux extérieuvement ^ et soient a, /;> c > les points où ces tangentes coupent les lignes des centres prolongées; c'est-à-dire^

que a soit le point ou la ligne des centres BC est rencontrée par la tangente extérieure aux cercles B, G; ainsi des autres. Je dis que les trois points a^ ^^ (?, se trouveront nécessairement en ligne droite y ainsi que Monge l'a trouvé par des considérations purement géométriques , relatives à la Géométrie aux trois dimensions. Car si l'on nomme A, B, C, les raj^ons de cercles de mêmes dé-

nominations y il est clair que les distances B^z ^ Qa y seront proportionnelles aux rajons B, Cj ainsi des autres. Donc nous aurons ces trois proportions

A : B :: Ac : Bc, B : C :: Bâ : Ca,

(88) Multipliant ces trois proportions ^ et réduisant > on a

ce qui , en vertu du théorème I ^ ne peut avoir lieu j sans que les trois points a, b,c , soient en ligne droite.

Considérons maintenant les tangentes intérieures. Soient a', V, d les points où ces tangentes coupent respectivement les lignes des centres. Nous aurons > comme ci-dessus ,

A : B :: "a? : b7, B : C :: Ba^ : "ô?, C : A :: C6^ : Â^.

Multipliant ces trois proportions, et réduisant j on a

Â6^ . bJ' . Câ^=Â? . B^ . Cy }

ce qui^ en vertu du théorème Y, prouve que si Ton mène les trois transversales Ko! ^ B^% Qd ^ elles se croiseront toutes en un même point D.

Puisque d'une part^ nous avons A : B :: Ac : B^? ^^

et de Pautre A : B :: A? : B? ,

nous aurons Ac : Bc :: Ac' : Bc%

Donc la droite AB est divisée en segmens proportionnels par les points Cy d\ ce qui, en vertu du théorème VI, prouve que les points'a', V, c , sont en ligne droite ; et il en est ainsi, par la même raison^ des trois points d, d b, et d, b', a.

On peut appliquer la même théorie au cas où les trois cercles proposés se trouveraient sur la surface d^une même sphère: il suffit^ pour cela , d'entendre alors des arcs de grand cercle , ce que nous venons de dire des lignes droites.

Fio.ai. Q&. Soient A,B,C, D,les centres de quatre sphères. Concevons que ces sphères soient enveloppées extérieurement deux à deux par des surfaces coniques tangentes) il en résultera six cônes

(89) AiSétens. Or je dis que les sommets m, n, p, ç,r, s , de ces six cônes, se trouveront fous dans un même plan. Car soient A^ B, C, D , les rayons des quatre sphères de mêmes dénominations ; nous aurons évidemment ces six proportions

A : B :: Am : Bm, B : C :: B^ : Cn, C : D :: Ç? : Vp, D : A :: Di/ : Ay.

Multipliant ces quatre portions , et réduisant, on aura

Am • B/z • C/7 • D^ = Aç . Bm .Cn.Dp'f

ce qui , en vertu du théorème III , prouve que les quatre points mf'^fPp Çf qui terminent les segmens des côtés du quadrilatère gauche ABCD , sont dans un même plan ; et la même démonstration s'applique à tous les points m,n, p, ç, r,s, pris quatre i quatre. Donc tous ces points sont dans un même plan } et de plus, il sont trois à trois dans la même droite, puisqull est évident, par exemple, que les trois points m, n, r, sont nécessairement placée sur Tintersection du plan général dont nous venons de parler^ et du plan du triangle ABC.

Considérons maintenant les points m',n^,p% /, t{, /, où sont placés les sommets des cônes; qui envelopperaient intérieurement les sphères deux à deux.

. Les quatre points A,B,C,D> pourront être considérés cçmme les quatre sommets d'une pjramide triangulaire; et en considérant chacune de ses bases, on aura pour le triangle ABC, par exemple.

' Kwl . B/î' . C/ = A/ • Bm' . Cp'i

Ce qui » pair le théorème VI , prouve que si Ton imagine les trois

transversales Kii^ B/, C/n', ces trois transversales se croiseront en un même point. Il en sera de même des ttois autres fàceS de la pjramide. Donc par le théorème XII, si Ton joint chacmi des sommets au ;poipt de concours des trois transversales de la base

(90 ) opposée 9 les quatre nouvelles transversales se croiseront en un même point de Pcspace.

Les droites AB^ BC^ CA> se trouvent coupées chacune en segmens proportionnels, par les points tti, ni \ n, ri \r ^ r'j d'où il suit, qu'en vertu du théorème XI, les trois points m, 7z> r, sont dans un même plan avec les trois points jfy q\ s' \ ainsi des autres, rtc.ax ^Q. Soit ABC un triangle quelconque inscrit dans un cercle: par chacun des sommets je mène une tangente que je prolonge jusqu'à la rencontre des côtés opposa en a> &, c, je dis que les trois points a y b, c, sont nécessairement cq ligne droite.

En effet, le triangle ABa donne AB : Ba :: sin ÂaB : sinBAa; et le triangle ACa donne. • • Ca : AC :: sinCÂa : sin AaC.

Multipliant ces deux proportions ^ et observant que AaB est la même chose que AaC ) que de plus , sin BAa s= sin C et sin Qka

= sinB, on aura AB.Ctf:AC.Ba::sinB:8inC.

Pareillement, nous devons avoir.. CA.B£?:CB.Ac ::sinA:sinB^ et BC.Â^:BA. C^:: sinCrsin A,

Multipliant ces trois proportiœis , et effaçant les termes qui se détruisent, il viendra entre les six segmens des côtés du triangle A£C^ réqiiatiôn suiranjte :

A^ . Bë. Câ s=:Âc . Ba . CF;

ce qui, en vertu du théor&me I> ne peut avoir lien> sans que

les trms points a,b, c ne soient en ligne droite.

m. a3. 3o. Soit le quadrilatère inscrit ABCD î je prolonge les côtés

opposés ÂB , œ, iusqtfà leur rencontre en m , les autres côtés

opposés ÂD, BC, jusqu'à leur rencontre en 9,^ et je mène par

les extrémités de Tune deS diagonales ,' comme AC', les tangentes

^pj> C/?J je di? ?iue les troî? points W; n,py sont en ligne. droite.

En jeffét, considéirons , par exemple j le friangle CDr, dont un

' côté CD passe par m , un autre Dr par tî ^ et le Itoisième Cr par ;?•

ï^e triangle ÂmD donne AD : Dm II sin AmD : sinDAm;

et le triangle BmC Cm : BC :: sinCBm : sînB/TzC.

Le triangle ACp donne AC : Cp i: sin ApC ; sin CAp ,

et le trianglb Arp rp : Ar :: sin rAp : sin A;ir.

Le triangle CDn donne Dn : CD :: sin DC/i : sin D/2C ;

et le triangle Cm. . . . T Cr : r» :: sin Cnr : sin /iCr.

Multipliant toutes ces proportions , et observant pour réduire , que sin A/tîD =sîn BmC, sin ApC = sin A;?r, sin Cnrzss sinD/iC j sin D Am =5: sin DC/^ , sin CB//1 = sin CAp.

Que de plus, AD : BC :: sinrA;? : sinnCr. On aura

AC . Cr • Cm . rp . Dn = CD . Ar • Dm . Cp . rn£. . . . (A) Mais ÂC : CD :; sin ADC : sin CAD ,

Cr : Âr :: sin CAD : sin ACr.

Donc, puisque sinACr= sinADCj l'un de ces angles étant supplér ment de l'autre > on a

ÂC.Cr=:CD..Âr.

Divisant Téquation (A) par celle-ci , il restera

Cm . rp . Dn = Dm . Cp .rn • . (B)

équation entre les segmens du triangle CDr, laquelle, en vertu du théorème I , ne peut avoir lieu, sans que les trois points m, n, p, ne soient en ligne droite j ce quHl fallait prouuer.

Puisque le point de concours des tangentes qui passent par les

extrémités A, C de la diagonale AC, se trouve sur la droite mn \ lé point de concours des tsmgentes qui passent par les extrémités

B, D, de l'autre diagonale BD> doit, par la même raison, se

trouver aussi sur cette droite mn. Donc les quatre points tti^ Uy p^q 9 sont tous placés sur une même ligne droite*

YXG

De p1u8> )e dis que la droite mn, comprise entre les points de concours des côtés opposés du quadrilatère inscrit ^ est coupée en segmens proportionnels par les points de concours /^^ q^ des côtés

opposés du quadrilatère circonscrit ^ et réciproquement > pq est coupée en segmens proportionnels par les points m, Wj car le

quadrilatère circonscrit^^/ a pour ses trois diagonales/*/! y gl, pq* Donc (13) chacune d'elles est coupée par les deux autres en segmens proportionnels y mais par la même raison que myUyp y q sont en ligne droite > fyky h y n sont aussi en ligne droite y ainsi

que les quatre points l, k, gy m; donc les diagonalesy/i ^ /g,

passent respectivement par les points rtyin'y donc pq est réellement coupée en segmens proportionnels par ces points m y n y et réciproquement (16) mn est coupée en segmens proportionnels par les points py q.

Par les mêmes raisons > les autres diagonales fhy gl sont coupées chacune en segmens proportionnels j la première y par les points A^ 7z^ la seconde par les points k, m.

Nous pourrions conclure encore ^ i"" que les diagonales du quadrilatère inscrit et celles du quadrilatère circonscrit se croisent toutes quatre au même point Aj a"", que si de ce point A on abaisse

une perpendiculaire sur mn y cette droite passera par le centre du cercle , de même que celles qu'on mènerait du point m perpendiculairement k/h y et du point n perpendiculairement à gl-y ^''. que le rayon du cercle est moyenne proportionnelle entre sa distance au

point A et sa distance à mriy etc. ; mais ces détails curieux nous mèneraient trop loin. J'observerai seulement que si du point ;ï ^ par

exemple y on xqène deux droites ns y ns' aux points où la circonférence est coupée par ml y ces deux droites seront nécessairement tangentes à cette circonférence > puisque ce point n est placé suir

la droite pq des e:)ctrémités de laquelle partent les droites pA y pC }

qB, qDy et. que les cordes AC^ BD j ss' y se croisent toutes au même point A.

a4. 3i. SoitThexagone ABCDEF inscrit au cercle, je prolonge les

côtés Opposés AB^ £D , jusqu'à ce qu'ils se rencontrent au point m}

les côtés opposés BC> EF^ jusqu'à ce qu'ils se rencontrent au

point n ; et les côtés opposés CD , AF , jusqu'à ce qu'ils se rencontrent au point /?} je dis que les trois points m, n^ p sont eii ligne droite.

En effet , je considère , par exemple ^ le triangle DEr ^ doni

un des côtés DE passe par le point m ^ un autre Ar passe par

le point n / et le troisième Dr par le point p. Je mène de plus les

diagonales FB, FC, FD , FË, etc. Cela posé , ^^

■ ■ ■ ■ ■ ■ le triangles BmE donne BE : mE :: sinBmE : sin TziBEy

et le triangle A/nD inD : AD :: sinmAD : sin AmD,

Le triangle B/zE donne... .^.. /z£ : BE :: sin /zBE : ^in B/zE^

et le triangle Cnr Cr : nr :: sin Cnr : slri nCr. .

Le triangle ADp donne...... AD: D/> :: sinA;7D : sin/^ADy

et le triangle ¥pr rp l rF :: sin rFp : sin rpF.

Multipliant ensemble toutes ces proportions , en observant que

sin B/7i£ =s: sin AmD > sin B/»E = sin C/?r ^ sin ApJi :;&£ sin f/i^F }

que de plus, Cr : rF :: sin CFr : sînFCrj qu'enfin, eh prenant i pour le diamètre du cercle, nous avons '

sinmBE = ÂË, sin toAD = BD, siniiBE = CE, sinnCr sb BD, siii;7ADs=DF,8m rFp =ÂË, «in CFr =aGp> «inFCrssDF.

Nous aurons

mD . nE . /j7 = mE • nr . D/; j

équation entre Içs segmens des xôtés du triangle DEr, laquelle ne peut avinr lieu en vertu du. ^éorème 1, sans que les trois points m, n, p ne soient en ligne; droite.

Soit encore ABCDEF u& heiagone inscrit au cerclé *, et parriG.d5. chacun desanglqs Aj B, C,;P> E, F, ç[ienons une tangente pour .former l'hexagone circonscrit abcdefi je dis que les trois diagonales

ad y be p éf At cet hexagone circonscrit^ se croiseront toutes en un Qiêoie point K.

En effet, je prolonge les cotés opposés IbC , Te de Phexagone Inscrit jusqu'à leur rencontre au point /ij de ce point ti, je mène

des droites ns , ns' , aux points dUntersection delà diagonale ^^ Ces droite? seront tangentes. à la circonférence; car en prolongeant

cd,fe jusqu'à leur rencontre en h, etcb,/a jusqu^à leur rencontre

en g, on a le quadrilatère circonscrit cgfh ; donc (5o) ^, In? , sont tangentes à la circonférence. On prouvera de même qu'en

riG. 04 prolongeant AF , CD jusqu'à leur rencontre en p , les droites ^* menées de ce point p , aux points d'intersection t, ^ de la diagonale be avec la circonférence , doivent être tangentes à cette

^circonférence ; et pareillement enfin ^ en prolongeant AB , DE jusqu'à leur rencoiitre au point m, les droites menées de ce point m

artsx points u^u' d'intersection de la diagonale ad avec la circon^ férence , doivent aussi être tangentes à la même circonférence.

Mais les trois points m , n, p sont en ligne droite (5i) j donc

Tes trois droites ss\ tf, ud se croisent toutes en un même point. DonCj puisqu'elles se confondent respectivement pour leurs direc*

^■^^^^MM ^mmm^m^^m ^^t^m^^^^

tions avec les diagonales yc> be, adàe l'hexagone circonscrit , ces diagonales se croisent toutes en un même point } ce qu'il fallait démontrer.

Cette proposition qui s'étend^ ainsi que les précédentes^ à toutes les sections coniques , est due à Brianchon , qui en a tiré de trèsbelles conséquences. ( Voyez son Mémoire dans le 1 3' cahier du Journal de l'École Polytechnique , tome VI. )

Il est aisé de voir y d'après ce qui a é\é dit précédeomient sur l'application de la théorie des transversales aux poljgones sphériquesj que tottt ce qui vient d'être démontré dans* cette conclusion, s'étend aux figures tracées âùr l'a tu^face d^unè sphère quelGOnque> 260 stdb^tî^oant les girands'arcs de caiiclie aiix traA^VeTjsales rectiligaes.

Leâ^ mêmes propriétés ont lieu égàleoient pour toutes les sectioi» coniques, ainsi qu'on l'a observé ci-dessuis^^ ef il su£Bt ^ ^ùos ^en

(95) convaincre^ de remarquer que ces courbes peuvent toutes être consi* dérées comme Tombre du cercle déterqunée par un point lumineux ^ et portée sur des plans di£Péremment inclinés. Or une droite qui est tangente à une courbe ^ doit également lui rester tangente sur Tombre de la ûg^irp ; et par l'article i4> il est évident que les droites coupées en segmens proportionnels sur la figure^ doivent ]*ètre également sur son ombre. On sent donc quel développement il est possibje de doQiïqpr 4 la théorie dei ^nmsymrsqies) nji^.mms avons voulu nous borner ici à en exposer les principes.