SUIVI

Qorour toute figure plane puisse être décomposée en triangles, et que par conséquent la Géométrie à deux dimensions , puisse à la rigueur être ramenée à la Trigonométrie rectiligne seule; comme il faut encore lier ces triangles les uns aux autres pour en former la chaîne, il y a long-temps qu'on a reconnu l’avantage qu’il y aurait à considérer un point de plus; c’est-à-dire , la relation qui existe entre les distances respectives de quatre points quelconques pris dans un même plan. De même, dans la Géométrie aux trois dimensions , quoique tout solide ou polyëdre puisse être décomposé en pyramides triangulaires, et que par conséquent, la théorie, de ces pyramides soit fondamentale : comme il faut encore lier les unes aux autres ces pyramides, qui ont chacune quatre sommets ou angles solides ; il est à propos, pour compléter cette théorie, de considérer la relation qui existe entre les distances respectives de cinq points pris dans l’espace. Ces distances entre les points comparés deux à deux , sont au nombre de dix; et de’ces dix quantités, neuf quelconques étant connues, il est évident que la dixième est déterminée , et pent s'exprimer eu valeurs des neuf

autres. C’est ce problème que je me suis proposé de résoudre. Pour y parvenir, je suis obligé de traiter plusieurs autres questions préliminaires, et parmi ces questions, il en est qui sont trèsintéressantes par elles-mêmes : principalement celle d'exprimer en valeurs des seules arêtes d’une pyramide triangulaire , toutes les parties qui entrent dans la construction de cette pyramide; savoir, les angles que forment ces arêtes, soit entre elles, soit avec les faces; ceux qui sont compris entre ces mêmes faces ; la perpendiculaire abaissée de chacun des sommets sur la base opposée, le solide de la pyramide, le rayon de la sphère circonscrite, celui de la sphère inscrite, etc.; d’où suit la solution de ce problème fondamental de la Géométrie aux trois dimensions , et qui répond au problème général de la Trigonométrie ordinaire dans la Géométrie plane.

Parmi toutes les quantités qui entrent dans la construction d'une pyramide triangulaire , six quelconques étant données suffisantes pour que Le reste soit déterminé, trouver toutes Les

auires.

Les applications les plus essentielles de ce problème suffiraient seules pour fournir la matière d’un grand ouvrage , et cet ouvrage serait infiniment utile : mais je ne m’y arrête ici, qu’autant que cela m'est nécessaire pour arriver au but que je me suis proposé.

J'ai trouvé que plusieurs des problèmes réunis dans cet Opuscule, avaient déjà été résolus par d’autres , particulièrement par Euler dans divers Mémoires imprimés parmi ceux de l’Académie de Pétersbourg, par Lagrange dans ceux de l’Académie de Berlin pour l’an 1773, et par l’abbé de Gua dans ceux de Paris pour l’an 1783 ; mais Je n’ai conservé de ces problèmes que le très-petit nombre de ceux qui m'étaient absolument indispensables pour ne pas rompre l’ensemble de mon travail , et je les ai traités conformément à mon but, qui était tout différent de celui de ces illustres géomètres. Le Mémoire de Lagrange renferme les recherches les plus étendues ; mais il ne tend point, comme je le fais ici, à trouver l’expression explicite de toutes les parties de la pyramide en valeurs des seules arêtes , et son objet n’est pas de résoudre le problème général énoncé ci-dessus; mais de faire connaître, en appliquant à la pyramide

(5) l'élégante méthode des projections ou des coordonnées , l'étendue des ressources d’une analyse habilement employée.

J'ai résolu tous mes problèmes par la méthode des triangles, c’est-à-dire , par la seule Trigonométrie ; tant rectiligne que sphérique; cependant j'ai cru que , pour compléter mon travail, il convenait de montrer en peu de mots, comment cette méthode peut se lier avec celle des projections, ce qui me donne lieu de résoudre d’une manière nouvelle et qui m’a paru fort simple, le problème général de la transformation des coordonnées dans l’espace, c’est-à-dire , en supposant que les six coordonnées, tant anciennes que nouvelles, fassent entre elles des angles quelconques.

Afin de ne pas obliger le lecteur de recourir à d’autres ouvrages, j'ai donné au commencement, sous forme de lemmes, quelques formules trigonométriques familières, dont j’avais besoin.

Je termine cet écrit par un Essai sur la Théorie des transversales, sujet que j'ai déjà traité ailleurs, mais avec moins de précision. J'ai profité des réflexions qu’ont ajoutées à ce que j'avais déjà dit sur cela , plusieurs savans, principalement Servois , professeur de mathématiques aux Écoles d’Artillerie à Metz, dans son intéressant petit ouvrage intitulé : Solutions peu connues de divers problèmes de Géométrie-pratique.