PROBLÈME VIII

23. Exprimer en valeurs des six arêtes d'une pyramide triangulaire, la distance de chacun de ses sommets au centre de gravité de cette pyramide,

Solution. Soient, comme dans les problèmes précédens,

so. 4 3 3 p, les trois côtés ou arêtes de la base; f; &» h, les trois arêtes montantes respectivement opposées ;

Yr+ +... la distance cherchée du sommet A par exemple, au centre de gravité.

Par les propriétés connues des centres de figure ou de gravité, le carré de la distance de ce point à un autre point quelconque de l’espace, est égal à la somme des carrés des distances de cet autre point à tous ceux du système , multipliée par le nombre total des points de ce même système, moins la somme des carrés des distances respectives de tous ces points comparés deux à deux, le tout divisé par le carré du nombre total des points.

Or le nombre total des points du système, c’est-à-dire des sommets, est ici de quatre. Donc en prenant A pour le point de l’espace auquel on rapporte tous ces points du système ; on aura | = A+ +R) EL où Ph A im +) an

ou en réduisant

167 = 3(f Hg +R) —(m +n + pt),.......(A)

ce qu’il fallait trouver.

COROLLAIRE

24, Puisque la formule (A) contient les sept quantités 7,7,p;

(17) f;gh,73ilest évident qu’elle donne la solution de cette question plus générale :

Parmi les sept quantités suivantes ; savoir , les six arêtes d'une pyramide triangulaire et la distance de l'un quelconque de ses sommets à son centre de gravité; six quelconques étant données, trouver la sepiième.

PROBLEME Ix.

25. Exprimer en valeurs des arêtes d'une pyramide triangulaire, tous les angles formés par ces aréles, deux à deux, aux quatre sommets de cette pyramide.

Solution. Soient, comme dans les HE précédens , CP PRE les trois côtés ou arêtes de la base ; JPY + LUE NTRE les trois arêtes montantes respectivement opposées,

BAC ou gh ,; l’un des angles cherchés.

Cet angle étant l’un de ceux du triangle ABC, dont les trois côtés sont donnés, se trouvera immédiatement par le lemme I, sans que les arêtes f, z, p, entrent dans sa valeur, et l’on aura

cos gh HER. PR ON PT ENANETE .(A)

et ainsi de chacun des onze autres angles du même genre qui entrent daps la construction de la pyramide. Ce qu'il fallait trouver.

COROLLAIRE

26. La formule précédente donne, en l’appliquant successivement aux trois angles du sommet À, les trois équations suivantes :

2gh cos gh = 8 + — 7m

2fgcosf sf" +8 —p° 2e AR HR) 2fhcosf h=hR+f — n°

Ajoutant ensemble toutes ces équations, on aura

oghcosg h +2fg cos fx hofh cosf A—2f?+ 99° + oh mu nt pt... (C)