PROBLÈME X

07. Exprimer en valeurs des six arétes d’une pyramide triane: gulaire, l'angle formé par celles de ces aréles qui sont respectivement opposées deux à deux ; c’est-à-dire (vu qu'elles ne sont pas dans un méme plan), l'angle que férait avec l’une d'elles , La droite menée parallélement à l'autre, de l’un quelconque des points de la première. | |

Solution. Je garde les dénominations du problème précédent : les arêtes respectivement opposées.étant get. 1, het p, f etm; proposons-nous ; par exemple , de‘trouver l’angle formé par get, c’est-à-dire , l'angle que formerait.avec # ou AB , une droite menée du point B parallélement à z où CD, angle que, d'après la notation

. f . Pie A A expliquée (4), je désigne par AB CD ou g 7.

Pour rendre la figure plus nette , traçons-la de nouveau (fig. 6) aÿec la parallèle dont nous venons de parler, ef soit BO cette, parallèle au côté CD. ;

Concevons une surface sphérique qui ait son centre au point B, et qui soit rencontrée par les droites BA, BO, BD, BC, aux points a, o, d, c, respectivement. Les plans qui contiennent ces droites deux à deux , formeront sur cette surface .sphérique, un, triangle sphérique ado , qui aura avec le premier acd , un angle commun en c, Cela posé, par le lemme IT, les deux triangles sphée

(19) riques adCc, aco, donneront les deux valeurs suivantes pour Je cosinus de l'angle ac4 qui leur est commun :

cos ad — cos ac.cos cd A

cos aod = sin ac. sin Cd

COS GO =—— COS AC. COS CO sin ac. sin CO

cos acd =

égalant ces deux valeurs, et réduisant, on aura (cosao—cosac.cosco)sin cd—(cosad—cosac.cos cd)sin co....(A) mais il est évident que ac ABC, co— OBC — supp. BCD , cd CDR ARE

Or tous ces angles sont connus et faciles à exprimer en valeurs des arêtes de la pyramide; il n’y a donc plus rien d’inconnu dans l'équation précédente (A), que l’arc cherché ao qui est la mesure

de l'angle cherché BA” CD ou sn.

L’équation précédente devient donc

(cosg + cos ABC .cos BCD )sin CBD — ,; (cos ABD — cos ABC.cos CBD jsin BCD.......... (B)

d’où l’on tire cos sn par une équation du premier degré en valeurs de ABC, BCD, CBD, ABC. Mais puisque nous voulons’avoir cette inconnue. en valeurs des arêtes seules de la pyramide, il faut chercher ces angles en valeurs des arêtes. Or, par le lemme I, nous avons ( fig. 5 )

cos ABCEÉ Em,

cos BCD SR ACL OR sin BCD — = — y/(2m°n°+ 2m pare p RUE AR Ent cos ABD er 28P

cos CBD tp

2mp

sin CBD = 5 V (2m°n°+ 2m p° + on pt nt nt p4\,

Substituant donc ces valeurs dans l’équation (B), et faisant dis-

mac. 3.

( 20 ) paraître les dénominalfeurs , nous aurons la formule suivante qui satisfait à la question proposée, ve 2gn Ccosg n=hR+p—f—m............ (C) ce qu’il fallait trouver.

COROLLAIRE

28. Puisque la formule (C) contient les sept quantités suivantes,

Min; Psf»L£>h; Sn; il est évident qu’elle résout cette question plus générale :

Parmi les sept quantités suivantes ; savoir, les six arêtes d’une pyramide triangulaire , et l'un quelconque des trois angles formés par deux des arétes opposées ; six quelconques étant. données , trouver la septième.

COROLLAIRE Il.

29. Si l’on applique la formule (C) aux autres arètes respectivement opposées 71, f, et p, h; on aura, y compris la formule (C) elle-même, les trois équations suivantes :

La)

29n COSg n —=h +p—f" —m

2 fm cos fm = g° + n° — ht — p° re ON) A

2hpcosh p =f+m—g — n°

Ajoutant ensemble ces trois équations , et réduisant, on aura cette formule symétrique assez remarquable

fm cos fm + 87 cosg”n + hp cos po. 1e 2. (E) COROLLAIRE ÏIIl.

30. On peut observer en passant, que si l’on suppose égale à zéro la hauteur de la pyramide , le point À tombera sur le point E, et-que parconséquent cette pyramide deviendra un quadrilatère plan, sans que les formules (D) cessent de lui être applicables, Or ces formules deviennent

Che) mn” 7 2M$S COSM S—=Q HN —r7 —p gr SA TNT) 274 COS 2 Q=T Hp —Ss —m 0.9 LAN

2pPT COS pPT—=S +m—g —n

Ces formules peuvent être très-utiles dans la résolution du quadrilatère plan. La dernière , par exemple, donne la solution de ce problème :

Connaïissant les quatre côtés d'un quadrilatère plan et l’angle compris entre les deux diagonales, trouver ces deux diagonales. Car les inconnues sont ici p, r; et pour les obtenir , il n’y a qu’à combiner cette dernière des équations (F) avec la formule (C) du problème I (5).

On résoudrait de même cette autre question :

Connaissant l'aire d’un quadrilatère plan et ses quatre côtés ; trouver ses deux diasgonales.

En effet, l'aire de ce quadrilatere est, comme l’on sait, la moitié du produit des diagonales multiplié par le sinus de l’angle Lai compris ; c’est-à-dire , = prsinp r. Nommant donc a cette aire

LA) donnée , nous aurons = pr sinp r—a; divisant cette équation par

la dernière des formules (F), on aura

NN cospr LAS SEE Fr; Ou cotpr=—

= y sn pr 4a

Or on connaît toutes les quantités qui entrent dans le dernier

4 ’ 1 A membre de cette équation. On connaïtra donc l’angle p r , et le problème reviendra à celui dont nous venons d'indiquer la solution.