PROBLÈME XVIII

45. Parmi toutes les quantités qui entrent dans la construction d'une pyramide triangulaire, six quelconques étant données, suffisantes pour que le reste soit déterminé, trouver toutes les autres.

Solution. J'observe d’abord que les six données doivent être en effet suffisantes pour que tout le reste soit déterminé; car si, par exemple, on donnait six angles seulement, il est évident qu'on ne pourrait déterminer la valeur absolue des arêtes, mais seulement leurs rapports, puisque toutes les pyramides semblables ont les mêmes angles. Il en serait de même , si des six choses données, il s’en trouvait quatre appartenantes à un même triangle soit rectiligne, soit sphérique, puisque trois d’entre elles suffisant pour déterminer la quatrième, c’est en effet comme si l’on ne donnait que trois de ces quantités, au lieu de quatre.

Cela posé, qu'on cherche par les formules trouvées dans les problèmes précédens chacune des six données , en valeurs des six, arêtes; qu’ensuite , considérant ces six arêtes comme les inconnues, on tire la valeur de chacune d’elles en données; il n’y aura plus, pour avoir en valeurs de ces mêmes données, chacuïe des autres quantités qui entrent dans la construction de la pyramide, qu’à substituer dans l’expression que par les problèmes précédens, on a de cette autre quantité en valeurs des arêtes, l’expression qu’on vient de trouver de chacune de celles-ci en valeurs des données; ce qu’il fallait trouver.

Remarque.

46. Si l'on voulait se borner à rechercher la relation qui existe entre les quantités angulaires de la pyramide , cinq de ces quantités sufliraient pour trouver toutes les autres. Par exemple si parmi les six angles que forment les faces deux à deux, on en connaît cinq, il est évident que le sixième sera déterminé; qu’ensuite avec ces six angles on aura par la seconde formule du lemme 11, tous ceux que forment les arêtes entre elles à chacun

(31) des sommets ; puis par Ja {roisième formule du même lemme, tous ceux que forment les arêtes avec les faces.

Ainsi, de même que nous avons exprimé toutes les parties, tant linéaires qu’angulaires de la pyramide , en valeurs de ses six arêtes; nous pourrions nous proposer d'exprimer foutes ses parties angulaires seulement , en valeurs des six angles compris entre les faces deux à deux; pourvu toutefois qu’on ait commencé par établir l'équation de condition qui lie entre eux ces six angles, puisqu'il suffit de cinq d’entre eux pour que le sixième soit déterminé.

47. Au lieu des six angles formés par les faces deux à deux, nous pourrions prendre pour données, six autres angles quelconques: par exemple, ceux que forment deux à deux au centre de la sphère circonscrite , les rayons menés de ce centre aux quatre sommets de la pyramide ; pourvu que l’on commencât encore par établir l'équation de condition qui lie tous ces angles entre eux.

Cette équation serait facile à trouver dans le cas présent , d’après le problème XVIT; car par la formule (A) de ce problème , nous

avons mn = 2R° (1— cos").

Par conséquent , en nommant de même #7’, p', g', W, f”, les angles formés respectivement par les deux rayons qui aboutissent aux extrémités des arêtes 2, p, £g, h, f; nous aurons les six équations suivantes :

m = 2R°(1— cos)

— 2R°(1 — cos nr) 2R°(1 — cos p') 2R°(1 — cos) 2R°(1 — cos’) 2R°(1 — cosf”)

Le AE: 3 cotes 2e es (D):

h° ie

Donc si dans toutes les formules trouvées par la série des problèmes

donnés, on substitue pour les quantités m°, n°, p°, g*, h*, f*, qui

expriment les carrés des six arêtes, leurs valeurs qu’on vient de trouver (B), on aura l'expression de chacune des quantités du

système, en valeurs du seul rayon R de la sphère circonscrite ,

(52) et des six angles formés au centre par les rayons menés aux quatre sommets de la sphère. Mais comme cela fait sept quantités, et qu’il ne doit y avoir que six données; il faut faire disparaître un de ces six angles par l'équation de condition qui les lie entre eux; il reste donc à trouver cette équation de condition.

Cela sera facile en reprenant la formule (A) du problème IV (12), car si l’on y substitue les valeurs trouvées ci-dessus (B) de 7°, n°, p°, f°, 8°, k°3 ilest visible que toute l'équation se trouvera , après la substitution, divisible par R*; donc celle qui restera sera une simple équation de relation entre les six angles», 7", p',f'; 8, 3 et c’est ce que l’on cherche. Mais puisque toute l’équation doit être divisible par R°, il est évident qu’on abrégera l'opération en supposant R — 1; c’est-à-dire, en substituant simplement au lieu des quantités m°, n°, p°, g°, h°, f°, celles-C1, 2(1— cos er je 2(1—cos 7), 2(1— cosp'), 2(1—cosg), 2(1 — cos"); 2(1—cos f’) ce qui étant exécuté donnera , réduction faite,

T— COSMm — COS — COS p’ — COS f” — COS’ p" — COS? — cos’m’cos’f"+cos’n’cos’g’ +cos’p'cosh"+acosmcosncosp + 2 cosm’cosg’cosh" + 2 cosn'cosh’cosf” + 2cos9/ cosh’cosf” —92 cosm cosn cosf” cosg” — 2 cos m' cosf” cosp' cos h" —2ços nr Cos g’cosp'.cos ho... 0 ie doedspe (C)

Telle est l'équation de condition qui, avec les six trouvées (B), donne le moyen d'exprimer en valeur du rayon R et de cinq quelconques, des angles 7°, n°, p',f", 2, K, toutes les quantités du système.

S’il ne s’agit que d’avoir les quantités angulaires; comme alors R doit disparaître, il sera plutôt fait, comme ci-dessus , de supposer R = 1. C’est de la relation de ces diverses quantités angulaires seulement , que nous allons maintenant nous occuper ; après quoi, nous viendrons à notre question principale qui consiste, suivant le titre de ce Mémoire, à trouver la relation existante entre les distances de cinq points quelconques pris à volonté dans l’espace.