PROBLÈME XIX

48. Des six arcs de grands cercles qui joignent deux à deux quatre points quelconques pris sur la surface d'une sphère , cing quelconques étant donnés , trouver le sixième.

Solution. Soient B, C, D, E, les quatre points proposés sur la surface de la sphère ; BC, BD, BE, CD , CE, DE, les six arcs de grands cercles qui joignent ces points deux à deux; il en résultera le quadrilatère sphérique BCDE, dont les quatre côtés sont BC, CD, DE, BE, et les diagonales BD, CE, et il s’agit de trouver la relation qui existe entre ces côtés et ces diagonales,

J’appellerai arcs opposés ceux qui n’ont point d’extrémités communes : ainsi les six arcs du quadrilatère sont opposés deux à deux; savoir, le côté BC au côté DE, le côté CD au côté BE, et la diagonale BD à la diagonale CE; maïs on peut considérer dans tout quadrilatère les côtés comme diagonales , et les diagonales comme côtés. Ainsi nous dirons en général que les côtés sont

opposés deux à deux, et cela devra s'entendre aussi des diagonales..

Observons, en passant , deux choses : premièrement , que des trois arcs BC, CD, BD qui forment, par exemple, le triangle sphérique BCD , il n’y en a point qui soient opposés entre eux; mais qu’ils sont tous respectivement opposés chacun à chacun des trois arcs s, 9, r, qui partent du quatrième angle E ; et la même chose a lieu pour chacun des autres triangles BED , CBE, CDE, qui ont leurs sommets aux angles du quadrilatère. Secondement, que si du centre À de la surface sphérique sur laquelle est tracé le quadrilatère, on imagine des rayons menés aux quatre angles B, C, D, E, ceux de ces rayons qui embrasseront l’un des arcs, seront l’un et l’autre différens des deux rayons qui embrasseront l’autre arc; au lieu que lorsqu'il s’agit d’arcs qui ne sont pas opposés, il y a parmi les rayons qui les embrassent , un de ces rayons qui appartient en même temps aux deux arcs, et l’on voit que ces quatre rayons forment les quatre arêtes d’une pyramide quadran-

gulaire, dans laquelle nous appellerous faces opposées, celles qui.

FIG. ÿ.

( 34 ) sont comprises l'une entre deux quelconques de ces quatre raÿons ;, l’autre entre les deux autres, sans qu’il y ait aucun de ces rayons commun à l’une et à l’autre. Aïnsi il y a au sommet d’une pyraramide quadrangulaire ABCDE, six faces qui sont opposées deux

à deux; savoir, ABC et ADE; ACD et ABE; ABD et ACE.

D'après ces éclaircissemens , nous allons reprendre la solution de

notre problème. Soient donc dans le quadrilatère considéré BCDE,

m,n, p, les trois ares ou côtés BC, CD, BD, de l’un quelconque des quatre triangles qui ont leurs sommets aux angles du quadrilatère.

S, gr, les trois arcs ou côtés ED, EB, EC, respectivement opposés aux premières. :

Par le lemme ir (5), nous avons entre les trois angles qui ont leur sommet au point B, par exemple ; savoir, CBE, CBD , DBE, dont l’un est la somme des deux autres : nous avons, dis-je, l’équation suivante :

1 — co°CBE — cos CBD — co$BDE + 2cos CBE.cosCBD .cosDBE = 0...... (A)

Mais le lemme 11 (2) nous donne pour trouver les angles qui entrent dans cette formule, les trois autres équations

COST — COS. COS cos CE Sin 7n .Sin q

cos CBD TE) 7. 4 (B)

sin n1.sinmp

Cos DBE — en coss = 5.698 P.. cos g 7 sinp. sing Substituant ces valeurs dans l’équation précédente (A), on aura, après avoir fait disparaître les dénominateurs , et multiplié par sin*71.sinp.sin"g , l'équation suivante :

sin°m . sin°p . sin°g — sin°p (cos r — cosm.cos q )*

— sin°q (cos — cosm.cosp)*—sin?m (coss—cos p.cos q }* + 2(cosr—cosm.cosq)(cosn—cosm.cosp)(coss—cosp.cosg)—0....,.... (C) T1 ne s’agit donc plus que d’effectuer les opérations indiquées, ‘ et de mettre ensuite à la place de sin, sin’p, sin’, leurs valeurs

(35) respectives, 1== C5, 1—COSp, 1—C0s’7; alors on obtiendra la formule suivante qui satisfait à la question proposée ,

1 — COS° NL =m COS?TL mn COS’D == COS? — COST == COS?S + cos’m. coss + cos. cosq + cos’p. cos’r 2cosm.Ccosn, COSp + 2C0$m .co$q.cosr + 2 cos n . cosr . COS S + 2 COS p . cos g . COSS — 2008 .COSN. COS .COSS—2C057.COSP.COST.COSS

— 2008 hi .C08p. 6084 .TO0B TO. 2 TE POS FUN (D)

ce qu'il fallait trouver.

Il est à remarquer que dans cette formule il n’entre que les cosinus des arcs proposés , et que chacun d’eux ne s’y trouve élevé qu’au carré, d’où il suit que l’équation à résoudre n’est jamais que du second degré. Cette formule revient au même que celle qui a déjà été trouvée (47), comme cela doit être évidemment.