A A A A, UE

A — COST y COX Z— COS Y Z COS X Y — COS y y” — COS Z y A A A A A A + cos x y . cos z y+cosx z . cos y y + cosy z . cos x ÿ A

= A A A } A “+2 COSx y . COST Z . COSy Z H2COSX y . cosx y. cos y y A

A La) / La) r Lai LA ?

+ 2cosx z . COSX Y . COSZ Y + 2C0Sy Z . cosy y . cos z y’ A A A, nn? A A A FL:

—— 2C08X Y.COSX Z.COSÿ y .CO8Z ÿ —2COSX y.COSy Z.Co8 x ÿ'.CcOSZ y A A 1P A, — 2COST Z.C0Sÿ Z.COSX ÿ .COSÿY ÿ —O0...... une al pu Et ..(L}

nt A A A, A, A 1— COSX Y — COST Z2— COS y Z — COX 2 — cos y z— co z z’ UN sue, A La\ ” LA\ PA + cosx y . cos z 2 +cosx z . cosy 2° + cosy z . cosx 2 / A LAS #\ La\ LA:

2008 æ& y . COS x z . cosy z + 2cosx y . cosx CANON CE EE

Lure 2 7 A A, A

f 2008 X Z . cos x Z° . Cosz 2° + 2 COSY Z . COSY Z . CosZ z° A A "> A, A A A, A, 2CO$X ÿ.COSX Z.COSY Z .COSZ Z —2COSX Y.COSÿ Z.COSX Z'.COSZ 2

4 a où , A TTIACOL 2, CSV &. COS Y 2 COEZ 2 OS Lin BAD LA re MORAL)

Maintenant que tous les angles marqués ci-dessus (A), (B), (C), (D), (E) sont connus, il nous reste à trouver les premières coordonnées æ, y, z, en valeurs de ces angles connus, et des trois nouvelles coordonnées x’, y’, z'.

Pour cela, j’achève les deux parallélipipèdes APORSMT, ApgrsMt, le premier , construit sur les premières coordonnées æ, Y » Z, prises pour arêtes partant du point À : le second, construit sur les nouvelles coordonnées x’, y’, z’ également prises pour arêtes du même point À ; ces deux parallélipipèdes ayant par conséquent

pour diagonale commune le rayon vecteur AM.

Or la seule inspection dela figure démontre que APTM/pA est un hexagone gauche dont les trois premiers côtés AP, PT, TM, sont les anciennes coordonnées x, z, y; et les trois autres APRES

1M , sont les nouvelles coordonnées x’, z', y’, et que de plus les angles formés par ces droites deux à deux , sont ceux que font

entre elles à l’origine A, les six arêtes AP, AOQ , AR; AP, ANA.

Mais on sait que dans tout polygone plan ou gauche, chacun

des côtés est égal à la somme de tous les autres multipliés, chacun par le cosinus de l’angle qu'il forme avec le premier. Appliquant

donc ce principe successivement à chacun des côtés AP, TM,

PT ,ou x, y, z, de l’hexagone gauche APTM/pA, on aura les trois équations suivantes :

/ # / / D / / A f A A T—=x COsx x +y Sans Hz cosx 2 DUT Lo 0 3 L! — x/cosÿ x + y cosy ÿ f+z cos ÿ” C4 d— 2 cos y > 3 pe. (N) LA) A", A z — x" Ccosz x’ + cos z” y” + 2'cosz 2° —xcosz : TX —ÿCOSZ y équations qui ne renferment plus que les trois anciennes coordonnées, les trois nouvelles, et les neuf angles , ou immédiatement

donnés ou déterminés par les équations de condition ci-dessus. Pour embrasser le problème de la transformation des coordon-

nées dans toute sa généralité, il faut résoudre ces trois équations,

afin d’en tirer les valeurs de x, y, z; ces équations étant toutes

: (62) du premier degré, l’opération n’est pas difficile; car si nous faisons pour abréger ,

“A dt 4 a / "4 7 / A,

cosæ y —b, cosx z—c, x cosx x° + y cosx ÿ +2 cosx z —d A PAS LAN A LA)

cosy T—E, COS y 3=g, x’Cosy x + y’ cosy y +z'cosy z —h SALE) gs s se 4 2 4 > / A,

COS FT US cos z y—k, æ COSZ X + y COSZ y +2 cosz z —m

On aura par la méthode ordinaire des éliminations , les trois équations suivantes qui satisfont à la question proposée,

___chk + bgm— dghk — bh — cm + d ST Tee Pr] PE

cem+ gdi — chi —gm—de +h TR be — et be ea HULL 0102 __ dek + bhi — bem— kh — di+m TRE PER MR Ce Dora

ce qu'il fallait trouver.

COR O LL AÎTRIENT

69. Sil’on voulait connaître les trois angles y’, x 7, ÿ. C4 que forment entre eux les nouveaux axes deux à deux, il n’y aurait qu'à considérer les six axes x, y, z, x’, y’, x’ quatre à quatre, en prenant deux des anciens et deux des nouveaux; et comme des six angles que formeraient ces quatre droites, il y en aurait cinq de donnés, le sixième se trouverait par la formule du problème XXI (50); par exemple, l’angle y se trouvera en combinant ces quatre axes

/ LA / / f T'Y, LCL, V3 OU LC, Z;, X3 Y s ou ERIC ER EE

d’où l’on tire (50) les trois formules suivantes , dont chacune donne

A l’angle cherché x’ y’. Ainsi l’on choisira parmi ces trois valeurs

équivalentes entre elles , celle qui conviendra le mieux , suivant les circonstances :