PROBLÈME XXXII

68. La position d'un point étant déterminée dans l'espace par trois coordonnées quelconques, faisant entre elles des angles donnés, on propose de changer les directions de ces coordonnées, supposant que l’on connaisse l'angle que fait chacune des nou= selles coordonnées avec chacune des anciennes.

( 59 ) Solution. Soit M le point proposé dont la position soit déter- rre.r. minée dans l’espace par les trois coordonnées

un RCE qu’on suppose données, et faisant entre elles les angles aussi donnés, PAQ—x y, PAR=x%, QAR — 7" 2. (A).

Maintenant, l’origine A des coordonnées restant la même , soient les trois nouvelles coordonnées du même point M

Ap=æx, Ag=Yy, Ar—=zx.........,(B) formant chacune avec les premières, les angles donnés,

pAP=x x, pAQ =Y x, PAR= x... .(C) LAN LA Pa ;

gAP= 3x y, gAQ SOL gAR — 2 y ONE (D) La)

ARE Ar A Q Ep 0, TRES 20207 CN à (E)

Il s’agit donc de trouver les premières coordonnées x, y, z, en valeurs des nouvelles 2’, y’, x’, et des douze angles que nous venons d’énumérer.

J'observe d’abord, que des trois angles marqués (C), il suffit d’en connaître deux quelconques pour que le troisième soit déterminé. Ainsi, lorsqu'il est dit dans l’énoncé du problème, que ces trois angles sont donnés, on entend seulement, que deux d’entre eux ayant été donnés immédiatement , le troisième a été déterminé en valeurs des donnés, par ce qu’on nomme une équation de condition. Cette équation de condition est facile à trouver, car les quatre droites æ, y, z, x’ forment entre elles six angles

A La) La LAN : A : LAN .

OH TT Ye LT auN L'ART, dont les trois premiers et deux d’entre les derniers sont donnés

par hypothèse. Donc on peut leur appliquer la formule trouvée (50), en faisant

LAN A La) NS gp, NS L Y—=M) L Lis Ÿ LP LL ETS VI L=qs z.4 = 80 (E)

Il en ést de même des trois angles marqués (D), il suffit que deux

( 60 ) soient connus, pour que le troisième soit déterminé par la même formule, en faisant

72 / / A / r'y=m, LAS 17 ÿ2=p, a y Te ŸY 06.7 VC)

Enfin, il en est de même encore des trois angles marqués (E) , auxquels on appliquera la même formule en faisant La) Ca La La) Lai La

AS ed 11 à M A A LIU RS 18 LE auf del a de Tin

on a donc d'abord , pour déterminer réellement tous les angles supposés donnés dans l’énoncé du problème , mais qui ne le sont qu’implicitement, les trois équations de condition suivantes :

LA\ La) A AN à 27 AY, 1 — cos x Y — cos x Z — COS" y Z— COS X L'—COSy L'—COSZ x

ES TRS} «le, enr nb: Re + cos x y.cos z æ + cos x z.cos y x + co y z.co x x

A A A A n , NS H2COSx ÿ,. cost Z.C05y % + Aacosx y”. cosy x : cos tr

A 1x, PAM A N?, "Y, H2cosx z.cosx x’. cosz à + 2cosy z. cosy x” . cos z x

A A A, se A Pa sn è —— 2C08X y.COSX Z.COSÿy X'.COSZ X —2COSX Y.CO8ÿ Z.COSX x'.CO8Z L

A A A, AS 2008) 2: COS COS Y. YL:COSD UV 0. NAN ANR. ENTER EPP CES)