ESSAI

1. J APPELLE /ransversale une ligne droïte ou courbe qui traverse d’une manière quelconque un système d’autres lignes, soit droites , soit courbes; ou même un système de plans ou de surfaces courbes. Mais je ne parlerai dans cet Essai que des transversales droites et circulaires.

La théorie des transversales est curieuse par elle-même, et fournit souvent des démonstrations et des solutions très-élégantes, dans des questions compliquées. La simplicité et la fécondité de ses principes semblerait lui donner le droit d’être admise dans les élémens ordinaires de Géométrie.

2. Au fond, cette théorie est la même que celle des coordonnées; car si l’on suppose que MOM' soit une courbe rapportée à deux FIG:r. axes AP, AQ, dont l’origine est au point À, que AP, PM soient les coordonnées du point M, et que par le même point M, on mène entre les axes une transversale quelconque pMg sous

un angle donné ApM; les deux triangles semblables ?PM, pAg

donneront

donc en nommant x, y les coordonnées AP , PM du point décrivant M; x’, y’, les parties correspondantes pM, 9M de la transversale; a, b, les angles donnés PA, Apg, les équations précédentes deviendront

, Sn b NEO ARCRE PT},

af sin a ? sin q 2

d’où l'on voit qu’en substituant pour les coordonnées +, y dans l'équation de la courbe MoM, leurs valeurs ci-dessus, on aura une équation du même degré entre x’, y’; c'est-à-dire, entre les

portions Mp, My, de la transversale pMM'9.

Ainsi la théorie des transversales n’est, à proprement parler, que la théorie des coordonnées qui, au lieu de faire un angle, sont prises sur une même droite, ce qui paraît être un degré de simplification ; puisque d’ailleurs le degré de l’équation ne hausse pas, et qu’on peut changer l’origine et la direction des transversales, comme on change l’origine et la direction des coordonnées.

THÉOREÉME I.

5. Sz les trois côtés d’un triangle ou leurs prolongemens sont coupés par une transversale quelconque indéfinie, il y aura sur la direction de chacun des côtés du triangle, deux segmens Jormés par la transversale, et tels que le produit de trois d’entre eux , n'ayant aucune extrémité commune, est {toujours égal au produit des trois autres.

Démonstration. Soit ABC le triangle proposé, abc la transversale menée dans le plan de ce triangle , et coupant les côtés BC,

AC, AB, ou leurs prolongemens respectivement en &, b,c; il ÿ aura sur la direction de chacun de ces côtés ou sur son prolongement , deux segmens formés par la transversale, c’est-à-dire,

(167 ) deux portions comprises entre cette transversale et les angles placés sur cette direction ; savoir :

Ac, Bc sur AB; AG, Cb sur AC; Ba, Ca sur BC.

I] s’agit donc de prouver que le produit Ab. Bc.Ca, qui a pour facteurs les trois segmens Ab, Bc, Ca, non contigus, ou qui n’ont point d’extrémités communes , est égal au produit Ac, Ba, C&, des trois autres segmens Ac, Ba, Cb, qui sont également non contigus entre eux.

Or par le sommet de l’un quelconque des angles du triangle proposé, comme B, soit menée une parallèle au côté opposé AC, et qui rencontre en # la transversale.

Les deux triangles semblables Aÿc, Bkc, d'une part, et de l’autre, les deux triangles semblables Cab, Bak donnent les deux proportions suivantes :

Ab : Ac :: Bk: Bc, Ca iCESABAMBE Multipliant ces deux proportions, et effaçant les termes qui se

détruisent , on a en égalant le produit des extrêmes au produit des moyens,

29 ape CT AVR EP Ge D ne thé der (A)

ce qu’il fallait démontrer.

On voit que la même démonstration a lieu, soit que la transversale coupe l’aire même du triangle, ou qu’elle passe au dehors.

Ce théorème qui doit être regardé comme le principe fondamental de toute la théorie des transversales, est susceptible d’une très-grande généralisation : car il s'étend, comme on le verra par les théorèmes qui suivent , à tous les polygones soit plans, soit gauches, et même aux polygones sphériques,

(68) C'O*R TO LL 'AMMBLENLT

4. Les trois côtés du triangle et la transversale peuvent être regardés comme les quatre côtés d’un quadrilatère BCbc, et chacun des côtés de ce quadrilatère peut être pris à son four pour transversale, à l'égard du triangle formé par les trois autres prolongés jusqu’à leurs rencontres respectives : ce qui donnera par la même raison, les quatre équations suivantes, parmi lesquelles est comprise la formule (A) trouvée ci-dessus :

Ab.Bc.Ca— Ac.Ba.Cb AB.Cb.ac— AC.Bc.ab | c.BC.ab —= AB.Ca.bc AC.Ba.bc—Ab.BC.ac

Mais il faut remarquer que ces quatre équations se réduisent à trois essentiellement différentes : car si, par exemple, on multiplie ensemble les trois premières , on aura la quatrième.

COROLLAIRE IT

5, Si l’on multiplie l’une par l’autre la première et la troisième

des équations (B) , et qu’on efface les termes qui se détruisent , on. aura

BC.Bc.BA.ba—bC.bc.BA.Ba.....…. Co

OU BC. Bc:2C. bc :: BA Ba: 04 Ba... ...4(D)

c’est-a-dire, que dans le quadrilatère BCbc, le produit des deux côtés BC, Bc, adjacens à l’un des angles comme B , est au produit des deux côtés DC, bc, adjacens à l’angle opposé , comme le produit des segmens BA, Ba, interceptés sur les premiers, depuis l’angle B d’où ils partent, jusqu'aux directions des deux autres prolongés au besoin , est au produit des segmens

(69 ) bA , ba, interceptés depuis l’angle D d'où ils partent , jasqu’aux directions des deux premiers.

Remarque.

6. On obtient une formule de même nature en multipliant deux à deux les autres équations (B) du corollaire précédent; et comme la même démonstration a lieu, quelle que soit la disposition respective des quatre points B, C, b, c, tant qu’ils ne sortent pas du même plan , nous pouvons prendre ici le nom de quadrilatère , dans un sens plus étendu qu’on ne le fait ordinairement.

Nous entendons donc par quadrilatère en général, l’assemblage de quatre lignes droites qui joignent quatre points pris à volonté sur un plan , en les prenant dans quel ordre on veut, puis passant du premier au second, du second au troisième, du troisième au quatrième et du quatrième au premier; d’où il est aisé de voir que les quadrilatères peuvent être de trois formes différentes, savoir, le quadrilatère ordinaire BC2c(fig. 2), que je nomme quadrilatère de la première espèce; le quadrilatère à angle rentrant BCéc (fig. 3), que je nomme quadrilatère de la seconde espèce, et le quadrilatère BCbc (fig. 5), qui a la forme de deux triangles opposés par le sommet , et que je nomme quadrilatère de la troisième espèce.

Chacun de ces quadrilatères, considéré séparément, s’appelle quadrilatère simple; mais la figure qui résulte de leur assemblage, et qu’on obtient évidemment, en prolongeant tous les côtés d’un quadrilatère simple quelconque, jusqu’à leurs rencontres respectives; cette figure , dis-je, se nomme qguadrilalère complet.

Le quadrilatère complet ABFCGDA est donc formé des trois quadrilatères simples ABCD, AFCG , BFDG: les diagonales de chacun d’eux sont les droites qui joignent le premier angle avec le troisième, et le second avec le quatrième. Ainsi les deux dia-

gonales du quadrilatère ABCD de la première espèce sont AC, BD; celles du quadrilatère AFCG de la deuxième espèce sont AC, FG, et celles du quadrilatère BFDG de la troisième es-

pèce sont BD, FG; ces six diagonales se réduisent, comme on

FIG. 7e

le voit, aux trois AC, BD, FG; d'où il suit que le quadrilatère simple a seulement deux diagonales, mais que le quadrilatère complet en a trois. Les points 2, k, Z indiquent les trois intersections de ces diagonales prises deux à deux, et cette figure a des propriétés infiniment remarquables, comme on l’a déjà vu par le théorème précédent, et comme on le verra encore dans ce qui doit suivre.

THÉORÈME Il.

7. Si tous les côtés d’un polygone plan, ou leurs prolongemens,

sont coupés par une transversale quelconque indéfinie, 11 y aura

sur chacun de ces côtés, ou sur son prolongement, deux segmens formés par la transversale, tels que le produit de tous ceux de ces segmens qui n'ont point d’extrémilés communes sera ézal au produit de tous les autres, et chacun de ces produits aura autant de facteurs qu'il y a de côtés au polygone.

Démonstration. Soit, par exemple, le pentagone ABCDE,

coupé par la transversale z2npgr : je dis qu’on aura

équation à deux termes, dans laquelle on voit que chacun d’eux est composé de cinq facteurs, nombre égal à celui des côtés du polygone , et tels que tous ceux de ces facteurs qui entrent dans le même terme n’ont point d’extrémités communes, puisqu’en effet aucune des dix lettres A, B, C, D, E,m,n,p,gq,r,s,1, qui désignent les extrémités de ces segmens, ne se trouve deux fois dans le même membre.

Pour démontrer cette proposition, de l’un quelconque des angles

du polygone, comme À, menons des diagonales AC, AD, à tous les autres, et prolongeons, tant ces diagonales que les côtés du polygone, jusqu’à la transversale en 71, n, p, g, r, s, 1. Cela posé, par le théorème premier, les triangles ABC, ACD, AED, considérés séparément comme coupés par la transversale proposée, donneront

Re. nn. dan. 7 à

( 72) Am.Bn.Cs — As.Bm.Cn AS.Cr.D:—Ar.CS.Dr A t.Dp.Eg — Ag.D 1.Ep.

Multipliant ensemble toutes ces équations et effaçant les fermes qui se détruisent, nous aurons

ce qu’il fallait prouver.

Ce théorème est une généralisation du théorème premier et un cas particulier du suivant.

THÉOREME Ill.

8. Sz tous les côtés d'un polygone gauche, ou leurs prolongemens, sont coupés par un plan que j'appellerai transversal, il y aura sur chacun de ses côtés ou sur son prolongement , deux segmens formés par le plan transversal, tels que Le produit de tous ceux de ces segmens qui n’ont point d’extrémités communes, sera égal au produit de tous les autres , et chacun de ces produits aura autant de facteurs qu'il y a de côtés au

polygone.

Démonstration. En regardant 777pgrst non comme une droite, mais comme le plan transversal dont il s’agit, projeté sur un autre plan qui lui soit perpendiculaire, le raisonnement sera absolument le même que celui qui a été fait dans la démonstration du théorème précédent, et l’on trouvera pareillement

or er te (A), ce qu’il fallait prouver.

Il faut remarquer que dans cette formule, Am, Bn, Cr, etc. expriment les segmens même formés sur les côtés du polygone

FTC. 7

FIG. 8e

gauche proposé, et non pas leurs simples projections sur le plan perpendiculaire au plan transversal.

Le théorème suivant montre que cette théorie s’étend au cas où la transversale est une ligne circulaire.

THÉOREME IV.

g. Si tous les côtés d'un polygone plan quelconque sont coupés par une transversale circulaire, c’est-à-dire, s’ils sont tous, ou leurs prolongemens, rencontrés par la circonférence d'un cercle, cette circonférence coupant chacun des côtés en deux points, déterminera sur chacun d’eux quatre segmens entre elle et les angles qui terminent ce côté. Or de tous ces segmens, le produit de la moitié pris pour facteurs, sera égal au produit de 1ous les autres, en les prenant tous de manière qu'il n'en entre jamais deux dans le méme produit qui aient pour extrénité un méme point de la circonférence.

Démonstration. Je me bornerai à démontrer cette proposition sur le triangle, le même raisonnement étant applicable à tout autre polygone. Soit donc ABC le triangle proposé, dont le côté

BC soit rencontré en &, a, par la transversale circulaire, le côté AC en D, b', et le côté AB en c, c’, desorte que, par exemple, les quatre segmens formés sur AB par la circonférence,

seront Ac, Ac’, Bc, Bc’'; ils’agit donc de prouver qu’on doit avoir

me (mn cpu mme messe mms mme me ns me

Or cette proposition est facile à appercevoir, car par la propriété des sécantes au cercle, on a les trois équations suivantes:

Ab.AD —Ac.Ac, Bc.Bo—Ba.Ba, Ca.Ca — Ch.C.

Multipliant ensemble ces trois équations, on aura la formule (A), ce qu’il fallait prouver.

(73) G'O'R'OL D'ATR'E

10. Il est aisé de voir que la même démonstration aurait lieu pour tout autre polygone que le triangle, et qu’elle serait applicable également, en la modifiant comme au théorème IIT, si ce polygone, au lieu d’être plan, était gauche, en supposant qu’alors tous les côtés fussent coupés par une surface sphérique, tenant

de, du plan transversal dont il a été question dans ce théorème II.

L’ellipse pouvant être considérée comme une projection du cercle, il est aisé de lui appliquer la proposition précédente , puisque les projections des parties d’une même droite sont entre elles en même rapport que ces parties elles-mêmes; d'où il suit que le rapport des deux membres de l'équation (A) étant 1 pour le cercle, doit rester x pour l’ellipse.

Cette proposition a lieu également pour toutes les autres sections coniques, et lorsque le polygone est gauche, elle s'applique aux surfaces formées par la révolution de ces courbes autour de leur axe.

Mais cette mème proposition est susceptible d'une beaucoup plus grande généralité, car elle s'étend à toutes les courbes géométriques prises pour transversales lorsque le polygone est plan, et à toutes les surfaces dont les sections faites par des plans quelconques sont des courbes géométriques , lorsque le polygone est gauche. Mais mon intention étant de ne m'occuper ici que des transversales droites et circulaires, je me borne à indiquer ces objets, sur lesquels on peut consulter ma Géométrie de position.