THÉORÈME VV

11. S2 par un point quelconque pris dans le plan d'un triangle, on mène sur chacun des côtés une transversale qui passe par l'angle opposé , on obtiendra sur chacun de ces côtés deux segmens, tels que le produit de trois d'entre eux n'ayant aucune

extrémité commune , sera égal au produit des trois autres. | 10

FIc.

(74) Démonstration. Soit ABC le triangle proposé, D le point pris à volonté dans le plan de ce triangle; Aa Aa, Bb, Cc les droites menées de ce point sur les côtés BC, AC , AB, en passant par

‘les sommets À , B, C, des angles respectivement opposés. On

obtiendra sur le côté BC, les deux segmens Bz, Ca, sur le côté

AC les deux segmens Ab, Cb, et enfin sur le côté AB les deux

segmens AG, Be; il s'agit donc de prouver que le produit se @

7. trois segmens Ab, Bc, Ca , non contigus , ou qui n’ont point d’extrémités communes , est égal au produit. des trois autres segmens qui sont également non contigus; c’est-à-dire, qu’on a

Ab. Bc. Cu — Ac. Ba. Ce.

Considérons, par exemple, les deux triangles AaB , AaC, coupés

respectivement par les transversales Cc, BŸ; ils donneront par le théorème I,

nr

À c LBC MD — AD. Be AG, ADP ICE D NDOPATE

Multipliant ces deux psepsæons , et effacant les termes qui se détruisent , on a

Ab. Be : Ca Act Bai Chr 04 ENV PRAS

ce qu'il fallait démontrer.

Cette proposition a également lieu comme on jè voit , soif que le point D d’où partent les trois transversales , soit pris sur l’aire mème du triangle, soit qu’il soit pris au dehors.

THÉOREME VI.

12. Dans tout quadrilatère complet ayant ses trois diagonales,

chacune d'ellès est coupée par les deux autres en segmens proportionnels.

| ; (75) Soit ABFCGDA le quadrilatère complet proposé , avec ses dia- rie. 6.

gonales AC, BD, FG, qui se coupent respectivement en Z, k, h; il s'agit donc de prouver , que l’une quelconque d’entre elles ,

comme AC, par exemple , est coupée en Z et en k, de manière

que les segmens AZ, y: formés par l’une d’entre elles BD, font

entre eux comme les segmens Ah, CA, déterminés par l’autre

FG sur la même première diagonale AC, c’est-à-dire qu’on a AZI C set Ana z

Pour cela, je considère le triangle ABC, qui a pour ses som-

mets, trois de ceux du quadrilatère simple ABCD , dont AC est la diagonale. Ce triangle étant coupé par trois transversales partant d’un même point D pris dans son plan et passant par ses trois angles, nous devons avoir par le théorème précédent,