THÉORÈME IX

19. Si une méme droile sert d'intersection commune à quatre points différens, et qu'ayant mené à volonté entre deux de ces plans une transversale indéfinie; cette transversale se trouve coupée par les deux autres plans en segmens proportionnels ; toute autre transversale menée entre les deux premiers plans, sera coupée aussi par les deux autres en segmens proportionnels,

Démonstration. Supposons que tout le système soit représenté en projection , sur un plan perpendiculaire à la droite qui sert d’intersection aux quatre plans proposés. Que A soit la projection de cette intersection commune AB, AA AD, Ad, celles des quatre plans proposés, BD la droite qui, par hypothèse étant menée entre les deux plans AB, AD , est coupée en segmens proportionnels aux points b, d, par les deux autres; enfin B'D’ une autre transversale quelconque comprise entre les plans AB, AD, et rencontrée par les deux autres en D", d’. Il s’agit donc de prouver qu’on doit toujours avoir

Bo’ : Ba :: DD : Da.

Je mène la droite B'4, et par les droites Bd, Bd, j'imagine un plan qui ira couper la droite A en un point quelconque. Quel que soit ce point , la droite B'[" sera (14) coupée en segmens proportionnels aux points 2", d. Maintenant, imaginons par les deux

droites B7, B'd’, un nouveau plan qui coupera encore l’inter-

( 81 ) section commune À en un point quelconque. Quel que soit ce point,

la droite B'D” étant, comme on vient de le voir, coupée en seg-

mens proportionnels aux points 2”, d; l’autre B'D” sera également coupée en segmens proportionnels aux points 2’, d': donc on aura

Bas a: D7 2 Da... Les (A)

Ce qu'il fallait prouver.