THÉORÈME %X

21. Si d'un point quelconque Æ pris hors d'une droite BK ,ric. 14. on mène à cette ligne tant d'autres droites AB, AC, AD, AE

qu’on voudra, et qu'ayant mené du point K une transversale Kb, qui coupe toutes ces droites partant du point A enb,c,d,e,

on trace les diagonales Bc , Cb £ Cd e Dec , élc. de tous les quadrilatères BCcb, CDde, BDdb, etc.; je dis que tous les points de croisement m,n,p, €fc., des diagonales de chacun de ces quadrilatères ; seront dans une méme droite qui passera par le point K.

Démonstration. Prenons , par exemple, le point 77 ; la droite Km est l’une des diagonales du quadrilatère complet KchmBCK,

et les deux autres sont Bb, Ce. Or par le théorème VI, chacune de ces trois diagonales est coupée par les deux autres en segmens

(82) proportionnels ; donc si la droite Kr coupe Bo en K', les points A et K’ couperont cette droite B2 en segmens proportionnels, Donc

par le théorème VII, chacune des autres droites Ce, D&, Ke, sera pareillement coupée par la même droite Km, en segmens proportionnels.

Mais par la même raison, la droite Kz doit couper de même toutes les droites Bb, Co, Da, Ée en segmens proportionnels ;

ainsi des autres, comme p, etc.

Donc toutes les droites K7z, Kyz, Kp ne forment qu’une seule et même droite partant du point K. Ce qu’il fallait prouver.

THÉOREME XI.

22. Si d'un point quelconque A pris hors d'un plan représenté par la droite BK , on mène à ce plan tant de droites AB AC) AD , AE qu'on voudra ; et qu'ayant mené un plan transversal

représenté par DK, et dont l'intersection avec Le premier soit représentée par le point K , lequel coupe les lignes menées du point A aux points b,c,d,e; on trace dans chacun des quadrilatères BCcb, CDde, BDdb, etc. qui en résulteront, les deux

diagonales Bec, (b; Cd, De, etc. Je dis que tous les joints de croisement m,n, p de ces diagonales, se trouveront dans un méme plan, qui passera par la ligne d’intersection K des deux

plans BK, bX.

Démonstration. Par l'intersection K et le point de croisement 72, j'imagine un plan, et je suppose que ce plan coupe, suivant la

droite Km, celui qui contient les droites AB, AC ; ilest clair, par le théorème VI, que si K’est le point d’intersection de cette droite

Km avec Bb, cette dernière Bb sera coupée par les points À, K’, en segmens proportionnels. Donc, par le théorème VIIT, toutes les

autres droites Ce, De, Ee, interceptées entre les deux plans KB, Kb,

( 83°) seront coupées de même en segmens proportionnels par le plan KK’ et le point A.

Mais, par la même raison, le plan qui passe par l'intersection K et le point z, coupe avec le point A toutes ces droites Bo, Co, Dé, Ée, en segmens proportionnels. Ainsi des autres, comme p, etc.

Donc les plans qui passent par l'intersection K et par chacun des points 2, 7, p, ne sont qu’un seul et même plan. Ce qu'il {allait prouver.

THÉOREME XII.

23. Si chacune des arêtes qui partent du sommet A d'unerie. 5. pyramide triangulaire ABCD , on prend à volonté un point m, n, p, pour former le triangle mnp sur la surface extérieure de cette pyramide, et qu'ayant imaginé les diagonales Bn, Cm, Cp, Dn, Dm, Bp, on mène encore par le sommet A et les points de croisement D’, BP’, C”, Les transversales Aa, A, Aa”. Je dis que ;

1°, Les transversales Da, Ba, Ca”, se croiseront loutes en un méme point A de la base.

2°, Les quatre transversales AA, BB", CC', DD’ se croiseront aussi toutes en un méme point K de l’espace.

3°, Le plan qui passera par les trois points B', ©", D’, et les” deux autres plans BCD, b, c, d, auront tous trois une interseclion commune.

Démonstration. Par le théorème V , les trois triangles ABC,

ACD , ABD, coupés chacun par trois transversales partant de ses angles, et se croisant en un même point D’, B', C', donnent

ces trois équations Am. Ba. Cn — An. Bm. Ca, * A CZ. Dp = Ap} Cn. Dr, AP. De’. Bm = Am. Dp. Ba”.

(84 ) Multipliant fontes ces équations, et effaçant les termes qui se détruisent, on aura

Br Cab. DR CAD PMR" équation qui, par le même théorème, prouve que les trois trans-

‘versales Da, Bu’, Ca”, se croisent toutes en un même point A; ? ?

Ce qui est la première partie de la proposition que nous avons à

démontrer.

Maintenant, menons AA. Cette droite est donc tout-à-la-fois dans les trois plans ADa, ABa’, ACa'. Donc, puisque Aa passe par le point de croisement D’ de Cm et Bz, la droite DD’ sera

dans le même plan qui contient AA”, et par conséquent la coupera en un point. Par un semblable raisonnement, on prouvera que les

quatre droites AA’, BB’, CC? DD’, se coupent toutes deux à deux. Donc la droite CC’, par exemple, qui n’est pas dans le plan AD,

où sont contenues AA’, DD”, les coupe cependant l’une et l’autre; ce qui ne peut avoir lieu, sans qu’elle passe par leur point de

croisement. Donc les quatre droites AA”, BB’, CC’, DD, se croisent trois à trois dans un même point : donc elles se croisent toutes quatre au même point. Ce qui est la seconde partie de Ja proposition que nous avons à démontrer.

Puisque le point B’est, par hypothèse, le point de croisement des droites imaginées Cp, Dr; si par ce point B’ et le point de concours des droites CD, 7p, on conçoit une transversale , elle

coupera (12) avec le point A, chacune des droites C7, Dp en segmens proportionnels. Pareiliement , la transversale menée par

C’ et par le point de croisement des lignes imaginées Bp, Dm, coupera avec le point A, chacune des droites Br, Dp ; en sepgmens

proportionnels. Donc le plan qui contient B’, C’, et le point où Dp est coupée par À et par les transversales mentionnées ci-dessus , en segmens proportionnels , passe par les points de concours des droites

CD et 7p, BD et mp, et par conséquent par l'intersection com-

(85) mune des plans BCD , #77p. On prouvera de même que le point D’ est contenu dans le même plan; donc le plan qui contient B', C’, D’et les deux autres plans BCD, #17p, ont la même intersection. Ce qui restait à démontrer.

Ilest à remarquer que la même démonstration a lieu soit que les points 72, 2, p se trouvent placés sur les arêtes mêmes de la pyramide , soit qu’ils se trouvent sur le prolongement de ces arêtes au-delà des points D, C, D; alors le point K peut se trouver hors de la pyramide. Ainsi À, B, C, D, K peuvent être considérés comme cinq points quelconques pris à volonté dans l’espace, auxquels on peut appliquer, en les prenant quatre à quatre, dans

un ordre quelconque, tout ce qui vient d’être dit de la pyramide ABCD.

Les points «’, 8’, y , où se rencontrent respectivement les côtés

correspondans BC et mn, BD et mp, CD et np des triangles BCD , np, sont évidemment tous trois dans l'intersection de ces deux plans, et par conséquent toujours en ligne droite, quelques

angles que fassent entre elles les trois arêtes AB, AC, AD; donc

si l’on concoit que AC se rapproche insensiblement du plan ABD jusqu’à se trouver tracée dans ce plan même, les trois points «, B', y ne cesseront pas, pour cela , d’être en ligne droite; d’où suit qu’en général, si d’un point quelconque À , on mène dans

un même plan trois droites quelconques AB, AC, AD, et qu’on fasse deux triangles BCD , #72p , qui aient chacun ses trois angles sur ces trois droites partant du point À, ou sur leurs prolongemens soit d’un côté, soit de l’autre, les trois points de concours à’, £’, y des côtés correspondans de ces triangles , seront toujours en ligne droite.

Par la même raison , on voit que les trois arêtes AB, AC, AD; étant supposées dans un même plan, et qu'ayant mené les diago-

nales Br, Cm, Cr: Dr, Bp, Dm; les points de croisement de ces

diagonales soient D’, B’, C’; les trois droites DD’, BB’, CC’, devront se croiser toutes en un même point K.

(66 ) Remarque.

24. La théorie des transversales droites que nous venons d’exposer, s'étend facilement aux transversales sphériques ; c’est-à-dire ,. que tout ce que nous avons dit des polygones plans, s'étend aux polygones formés d’arcs de grand cercle, tracés sur une sphère, en substituant les sinus de ces arcs aux côtés des polygones plans.

ec. Par exemple , si un triangle sphérique ABC est coupé par un arc de grand cercle transversal abc qui les rencontre tous trois, chacun des arcs AB, AC, BC, sera coupé en deux segmens, et le produit des sinus de trois de ces segmens sera égal au produit des sinus des trois autres, en les prenant de manière que ces segmens n’aient point d’extrémités communes; c’est-à-dire, qu’on aura

sin Ac .sinBa.sin Co = sin AB .sinBc.sin Ca.....(A)

En effet, par la proportionnalité des sinus des angles avec les sinus des côtés dans les triangles sphériques , les triangles Acb, Bac, Cab, donnent

sin Ac : sin AD :: sinb : sinc,

sin Ba : sin Bc :: sinc : sina,

sin C& : sin Ca :: sina : sin ®.

Multipliant ces trois équations, et effaçant les termes qui se détruisent, on aura la formule (A) qu’il fallait démontrer.

ri.18. 25. Pareillement, si sur l’aire d’un triangle sphérique ABC, on prend un point D, et que par ce point on mène trois arcs de grand cercle Aa, Bb, Cc, qui passent par les angles, ces arcs couperont les côtés du triangle en deux segmens chacun, et le produit de trois de ces côtés non adjacens sera égal au produit des trois autres; c’est-à-dire, qu’on aura

sin Ac. sin Ba . sin Co — sin A. sin Ca . sinBc.....(B)

"6.19. 26, De même encore, si l’on a un quadrilatère sphérique ABCD, et qu'on trace ses trois diagonales AB, CD, FG, on trouvera

(87) que chacune de ces diagonales est coupée par les deux autres en segmens , dont les sinus seront proportionnels : c’est-à-dire, par exemple, qu’en désiguant par Z/ et L les points d’intersection de la diagonale AC par les deux autres BD, GF , on aura

Sin AZ SIT 1e SIL CZ SIC 0 MENC),

Je ne crois pas qu'après tout ce qui a été dit sur les transversales rectilignes , il soit nécessaire d’entrer dans le détail de la démonstration de cette proposition, ni de pousser plus loin l’analogie entre la théorie de ces transversales rectilignes avec les transversales sphériques : c’est pourquoi j'abandonne ces conséquences à la sagacité du lecteur.