CONCLUSION

27. Tels sont les principes généraux de la théorie des transversales : je me bornerai ici à indiquer quelques-unes des applications dont elle est susceptible.

Soient À, B, C, les centres de trois cercles tracés dans un même, ». plan. Concevons qu’on mène des droites qui touchent ces cercles deux à deux extérieurement, et soient a, b, c , les points où ces tangentes coupent les lignes des centres prolongées; c’est-à-dire,

que a soit le point où la ligne des centres BC est rencontrée par la tangente extérieure aux cercles B, C; ainsi des autres. Je dis que les trois points a, b, c, se trouveront nécessairement en ligne droite , ainsi que Monge l’a trouvé par des considérations purement géométriques , relatives à la Géométrie aux trois dimensions. Car si l’on nomme A, B, C, les rayons de cercles de mêmes dé-

nominations , il est clair que les distances Ba, Ca, seront proportionnelles aux rayons B , C; ainsi des autres. Donc nous aurons ces trois proportions

«+ Ac : Bc, Ba : Ca, + Cè : Ab.

( 58 ) L Multipliant ces {rois proportions , et réduisant, on a

Ab Bc te CHANNEL: CP:

ce qui, en vertu du théorème T, ne peut avoir lieu, sans que les trois points &, b,c, soient en ligne droite.

Considérons maintenant les tangentes intérieures. Soient a”, D", c’ les points où ces tangentes coupent respectivement les lignes des centres. Nous aurons , comme ci-dessus,

A :B:: Ac: Bc’, B:C :: B&:Cy, CSA: CHENE Multipliant ces trois proportions, et réduisant, on a RE. Ho) CHA DANCE

ce qui, en vertu du théorème V , prouve que si l’on mène les trois transversales Aa’, Bb’, Cc’, elles se croiseront toutes en un même point D.

Puisque d'une part, nous aVons.. 7... À Be LAC :0hC, 3 P D

et de Mantre. ts, OR, MORE AR LATTES

nous AUFONS EE el elel te ee .. . AcSs Be : ACL EEE

Donc la droite AB est divisée en segmens proportionnels par les points c, c'; ce qui, en vertu du théorème VI, prouve que les points a’, b’, c, sont en ligne droite; et il en est ainsi, par la même raison , des trois points c’, & b, et c’, b', a.

On peut appliquer la même théorie au cas où les trois cercles proposés se trouveraient sur la surface d’une même sphère: il suffit, pour cela , d’entendre alors des arcs de grand cercle , ce que nous venons de dire des lignes droites.

28. Soient À, B, C, D, les centres de quatre sphères. Concevons que ces sphères soient enveloppées extérieurement deux à deux par des surfaces coniques tangentes; il en résultera six cônes

( 89 ) différens. Or je dis que les sommets 71, n, p, 9, r,s, de ces six cônes , se trouveront fous dans un même plan. Car soient À, B, C, D, les rayons des quatre sphères de mêmes dénominations ; nous aurons évidemment ces six proportions

AB: Am :1Brr,

B:C:: Bz : Cz,

G'AD 460%: De

DiTAT AD A7 Multipliant ces quatre portions , et réduisant, on aura

En BAC D A1) Pre CD:

ce qui, en vertu du théorème ITT, prouve que les quatre points 1, 3 Ps Q, qui terminent les segmens des côtés du quadrilatère gauche ABCD , sont dans un même plan; et la même démanstration s'applique à tous les points 3,7, p, q,r,s, pris quatre à quatre. Donc tous ces points sont dans un même plan; et de plus, il sont trois à trois dans la même droite, puisqu'il est évident, par exemple, que les trois points m, 7, r, sont nécessairement

placés sur l’intersection du plan général dont nous venons de parler, et du plan du triangle ABC.

Considérons maintenant les points 2°, n°, p', g', r', s’, où sont placés les sommets des cônes qui envelopperaient intérieurement les spheres deux à deux.

Les quatre points À, B, C, D, pourront être considérés comme les quatre sommets d’une pyramide triangulaire; et en considérant chacune de ses bases, on aura pour le triangle ABC, par exemple,

Am’. Br: Cr'— A7. Br . Cp'; Ce qui , par le théorème VT, prouve que si l’on imagine les trois transversales Az’, Br’, Cm’, ces trois transversales se croiseront en un même point. Il en sera de même des trois autres faces de la

pyramide. Donc par le théorème XII, si l'on joint chacun des

sommets au point de concours des trois transversales de la base L2

(90 ) opposée, les quatre nouvelles transversales se croïseront en un même point de l’espace.

Les droites AB, BC, CA, se trouvent coupées chacune en segmens proportionnels, par les points m, m';n,n;r,r'; d'où il suit, qu’en verfu du théorème XI, les trois points 1, 7, r, sont dans un même plan avec les trois points p’, g', s’ ; ainsi des autres. m6. 29, Soit ABC un triangle quelconque inscrit dans un cercle : par chacun des sommets Je mène une tangente que je prolonge jusqu’à la rencontre des côtés opposés en a, b, c; je dis que les trois points a, b, c, sont nécessairement en ligne droite,

En effet, le triangle ABa donne AB : Ba :: sin AaB : sinBAa, et le triangle ACa donne........ Ca : AC :: sin CAa : sin AaC.

Multipliant ces deux proportions ; et observant que AaB est la même chose que AaC ; que de plus, sin BAa — sin C et sin CAa

sin B(onsautais 6 4e NRC AB.Ca:AC.Ba::sin B:sinC. Pareillement , nous devons avoir.. CA.Bc:CB.Ac::sinA:sinB, BC.Ab:BA.Cb::sinC:sin A.

CENT EN TRE A A ol iterelete ee ee, à ..…

Mholtipliant ces trois proportions, et effaçant les termes qui se détruisent , il viendra entre les six segmens des côtés du triangle ABC,

l'équation suivante :

Ab.Bc.Ca = Ac.Ba.C; ce qui, en vertu du théorème ÏI, ne peut avoir lieu, sans que les trois points a, b, c ne soient en ligne droite. 30. Soit le quadrilatère inscrit ABCD ; je prolonge les côtés opposés AB, CD, jusqu’à leur rencontre en m, les autres côtés

opposés AD, BC, jusqu’à leur rencontre en n, et je mène par les extrémités de l’une des diagonales, comme AC, les tangentes Ap, Cp; je dis que les trois points 1, 7, p, sont en ligne droite.

En effet, considérons, par exemple, le triangle CDr, dont un

côté CD passe par "2 , un autre Dr par #, et le troisième Cr par p.

Le triangle AmD donne....... AD : Dm :: sin AmD : sinDA/”n, et le triangle BC. .......... Cm: BC :: sin CBm : sin BmC. Le triangle ACp donne........ AC : Cp :: sin ApC : sin CAp, CU ENTRE RSRPET ne rp : ÀÂr ::sinrAp :sin Apr. Le triangle CD donne ....... Dr: CD :: sin DCn : sin DC, PET triannie Crrz et AA, Cr : rn :: sin Cnr : sin rCr.

Multipliant toutes ces proportions, et observant pour réduire, que sin A72D —sin BC, sin ApC = sin Apr, sin Car =sinDC, sin D Am — sin DC, sin CBm=— sin CAp.

Que de plus, AD : BC :: sinrAp : sinrCr. On aura

St st mu uv ont ts tn

AC. Cr.Cm.rp.Dn—CD.Ar.Dm.Cp.rn:.... (A) Mais AC : CD :: sin ADC : sin CAD, Cr : Ar :: sin CAD : sin ACr.

Donc, puisque sin ACr = sin ADC, l’un de ces angles étant supplément de l’autre, on a AC. Cr = CD. Ar.

Divisant l'équation (A) par celle-ci, il restera

Cm.rp.Dr—Dm.Cp.rn............. (B)

équation entre les segmens du triangle CDr , laquelle, en vertu du théorème I , ne peut avoir lieu, sans que les trois points 771, n, p, ne soient en ligne droite; ce qu’il fallait prouver.

Puisque le point de concours des tangentes qui passent par les

extrémités A, C de la diagonale AC, se trouve sur la droite 717 ; le point de concours des tangentes qui passent par les extrémités

B, D, de l’autre diagonale BD, doit, par la même raison, se

trouver aussi sur cette droite 17. Donc les quatre points 1, 7, P 9, Sont tous placés sur une même ligue droite.

(92) De plus, je dis que la droite nn, comprise entre les points de concours des côtés opposés du quadrilatère inscrit , est coupée en segmens proportionnels par les points de concours p, g, des côtés

opposés du quadrilatère circonscrit; et réciproquement, pg est coupée en segmens proportionnels par les points 77, 2; car le

quadrilatère circonscrit f2h/ a pour ses trois diagonales f A, gl, pg. Donc (12) chacune d'elles est coupée par les deux autres en segmens proportionnels; mais par la même raison que M,n,p,9q sont en ligne droite, f, 4, h, n sont aussi en ligne droite, ainsi

que les quatre points 7, k, g, m; donc les diagonales fh, /g, passent respectivement par les points 7 , #1, donc pg est réellement coupée en segmens proportionnels par ces points m1, m7, et réciproquement (16) m7 est coupée en segmens proportionnels par les points p, g.

Par les mêmes raisons, les autres diagonales fh, gl sont coupées chacune en segmens proportionnels ; la première , par les points 4, 2, la seconde par les points k, m.

Nous pourrions conclure encore , 1° que les diagonales du quadrilatère inscrit et celles du quadrilatère circonscrit se croisent toutes quatre au même point Æ; 2°. que si de ce point Æ on abaisse une perpendiculaire sur 17 , cette droite passera par le centre du cercle, de même que celles qu’on mènerait du point "7 perpendiculairement à f h, et du point z perpendiculairement à 27; 3°. que le rayon du cercle est moyenne proportionnelle entre sa distance au

P&OP point Æ et sa distance à mn, etc.; mais ces détails curieux nous mèneraient trop loin. J’observerai seulement que si du pointz, par

exemple, on mène deux droites zs, 5’ aux points où la circon-

férence est coupée par "7/ , ces deux droites seront nécessairement tangentes à cette circonférence , puisque ce point z est placé suc

la droite pq des extrémités de laquelle partent les droites pA, pC;

9B, gD, et que les cordes AC, BD, ss’, se croisent toutes au même point 4.

31, Soit l'hexagone ABCDEF inscrit au cercle, je prolonge les

(95 ) côtés opposés AB, ED , jusqu’à ce qu'ils se rencontrent au point 717; les côtés opposés BC, EF, jusqu’à ce qu’ils se rencontrent au point 3; et les côtés opposés CD , AF, jusqu'à ce qu’ils se rencontrent au point p; je dis que les trois points "2, 7, p sont en ligne droite.

En effet, je considère, par exemple, le triangle DEr, dont un des côtés DE passe par le point m, un autre Ar passe par le point », et le troisième Dr par le point p. Je mène de plus les diagonales FB, FC, FD, FE, etc. Cela posé ; :

le triangle BE donne....... BE : »2£ :: sin BE : sin mBE : et. le triangle AmD.......... mD : AD :: sinmAD : sin AmD. Le triangle B2E donne...... nE : BE :: sin 2BE : sin BrE, ctle tManpleiC 77e 0.. Ne. . 7: Cr : nr :: sin Cnr : sin Cr. Le triangle ADp donne..... AD: Dp :: sin ApD : sinpAD, ctclertnansle Enr. :.,:.,... rp ire :: sin rEp : sin TpF,

Multipliant ensemble toutes ces proportions, en observant que sin BE = sin AmD, sin BnË—sinC#r, sin ApD =sinrpF ; que de plus, CrirF :: sin CFr: sin FCr; qu’enfin, en prenant :

pour le diamètre du cercle, nous avons sinmBE — AE, sin mAD = BD, sin2BE = CE, sinrCr— BD, sinpAD = DPF, sinrFp =AE, sin CFr = CE, sinFCr= DEF, Nous aurons

mD .nE.rp=mE.nr.Dp; équation entre les segmens des côtés du triangle DEr, laquelle

ne peut avoir lieu en vertu du théorème I, sans que les trois points %, n, p ne soient en ligne droite.

Soit encore ABCDEF un hexagone inscrit au cercle ; et par ric.5. chacun des angles A, B, C, D, E,F, menons une tangente pour former l'hexagone circonscrit abcdef; je dis que les trois diagonales

ad, be, ef de cet hexagone circonscrit, se croiseront toutes en un même point K.

En effet, je prolonge les côtés opposés BC, FE de l'hexagone inscrit jusqu’à leur rencontre au point z ; de ce point z, je mène

des droites z5, 75°, aux points d’intersection de la diagonale fc. Ces droites seront tangentes à la circonférence; car en prolongeant

cé, fe jusqu’à leur rencontre en k, et ch, fa jusqu’à leur rencontre en g, on a le quadrilatère circonscrit cgfh; donc (30) zs, ns', sont tangentes à la circonférence. On prouvera de même qu’en

r16. 4 prolongeant AF ; CD jusqu’à leur rencontre en p, les droites t 20. . . ° û Q ©" menées de ce point p, aux points d’intersection 7, z de la dia-

gonale be avec la circonférence , doivent être tangentes à cette

circonférence ; et pareillement enfin, en prolongeant AB, DE jusqu’à leur rencontre au point "2, les droites menées de ce point m

aux points z, u' d’intersection de la diagonale ad avec la circonférence , doivent aussi être tangentes à la même circonférence.

Mais les trois points 31, 2, p sont en ligne droite (31); donc

les trois droites ss”, 4’, uw’ se croisent toutes en un même poinf. Donc, puisqu'elles se confondent respectivement pour leurs direc-

tions avec les diagonales fc, be, ad de l’hexagone circonscrit, ces diagonales se croisent toutes en un même point; ce qu’il fallait démontrer.

Cette proposition qui s'étend , ainsi que les précédentes, à toutes les sections coniques , est due à Brianchon, qui en a tiré de trèsbelles conséquences. ( F’oyez son Mémoire dans Le 15° cahier du Journal de l'École Polytechnique , tome VI.)

Il est aisé de voir , d’après ce qui a été dit précédemment sur l'application de la théorie des transversales aux polygones sphériques, que tout ce qui vient d’être démontré dans cette conclusion, s'étend aux figures tracées sur la surface d’une sphère quelconque, en substituant les grands arcs de cercle aux transversales rectilignes.

Les mêmes propriétés ont lieu également pour toutes les sections coniques , ainsi qu'on l’a observé ci-dessus; et il suffit, pour s’en