DITES NÉGATIVES

J E crois avoir donné dans ma Géométrie de position, la véritable théorie des expressions algébriques, appelées communément quantités négatives. Comme il était question alors de combattre une opinion ancienne sur la nature de ces quantités, j’ai dû entrer dans beaucoup de détails; mais plusieurs savans du premier ordre ont pensé que cet objet étant rempli, il serait maintenant utile d’écarter de la discussion tout ce qui ne serait pas entièrement élémentaire, en me bornant à l'exposé le plus simple et le plus court possible de ma théorie; c’est ce qui m’a déterminé à composer cette Digression abrégée : je l’ai jointe ici par forme de supplément, n'ayant pas en ce moment occasion de la publier avec des sujets auxquels elle soit plus analogue.

1. La nature des quantités dites négatives a toujours été le sujet d’une des principales difficultés métaphysiques de l'analyse.

Les opérations de l’Algèbre conduisent à chaque instant à des expressions de formes négatives. Que signifient ces expressions ? Voilà ce qu’il faut savoir.

I] est clair d’abord que les quantités absolues sont les seules dont on puisse se former une idée nette ; les signes + et — dont elles sont précédées, indiquent seulement les opérations qu’on doit faire sur elles. Aïnsi les expressions + 4, — à, sont des formes algébriques complexes, qui n’expriment ni simplement une quantité, ni simplement une opération , mais la réunion de l’une et de l’autre. On ne peut donc, sans altérer l’évidence qui doit faire

la base des vérités mathématiques , confondre ces expressions avec celles qui doivent représenter de simples quantités. Cependant + a pouvant être regardé comme étant la même chose o + a ou a, on peut ne faire aucune distinction entre les quantités dites positives et les quantités absolues , et la difficulté ne regarde réellement que les quantités dites négatives.

2. Il y a des personnes qui regardent les quantités négatives isolées comme moindres que 0; mais cette opinion ne paraît nullement soutenable ; car pour obtenir une pareille quantité , il faudrait pouvoir ôter quelque chose de rien, ce qui est absurde.

De plus, comment admettre que le produit de deux facteurs donnés puisse être moindre que celui de deux autres facteurs donnés, plus petits que les premiers, chacun à chacun ? C’est cependant ce qui arriverait en multipliant , par exemple, — 4 par —5, s’il était vrai que — 4 et — 5 fussent chacune moindre que o ; puisque leur produit 20 serait plus grand que celui de ces deux autres facteurs 2, 3, chacun plus grand que o, et dont le produit n’est que 6. |

Enfin, puisqu'on est en droit de négliger dans un calcul les quantités nulles, à plus forte raison devrait-on pouvoir négliger celles qui sont moindres que rien: or tout le monde sait qu’on commettrait des erreurs capitales , si on négligeait les quantités négatives.

3. D’autres personnes disent que les quantités négatives isolées ne diffèrent des quantités positives, qu’en ce qu’elles sont prises dans un sens contraire.

Mais d’abord, ces personnes n’expliquent point ce qu’elles entendent en général par quantités prises en sens contraire les unes des autres. Elles disent bien , par exemple, qu’une créance et une dette sont deux quantités prises en sens contraire l’une de l’autre, et qu’ainsi une dette peut être dite une créance négative. Elles disent qu’une ordonnée prise à droite de l’axe des abscisses et une ordonnée prise à gauche, sont deux quantités prises en sens contraire l’une de l’autre, et qu’ainsi une ordonnée à gauche peut être considérée comme une ordonnée à droite prise négativement. Mais indépendamment de l'obscurité attachée à de pareilles expressions , ce ne sont là que des exemples particuliers ,

( 98 ) qui n’expliquent point ce qu’on doit entendre généralement par deux quantités prises en sens contraire l’une de l'autre.

De plus, les règles que l’on établit sur cette notion vague se trouvent sans cesse en défaut , même dans les cas particuliers dont nous venons de parler. Je me bornerai ici à un seul exemple, celui de la sécante d’un arc plus grand que la demi-circonférence , et moindre que les trois quarts. Cette sécante, d’après les règles dont nous venons de parler, devrait être positive, puisqu'elle se confond , tant pour sa grandeur que pour sa direction, avec la sécante d’un arc moindre que le quart de circonférence, que tout le monde reconnaît pour positive. Or il est constant, dans la théorie même de ceux qui soutiennent l’opinion dont il s’agit, que cette sécante d’un arc plus grand que la demi-circonférence , et moindre que les trois quarts, doit être négative. C’est donc une contradiction manifeste, et cette opinion est aussi inadmissible que la première.

D'ailleurs, si les quantités dites négatives étaient de véritables quantités , pourquoi , lorsqu'on multiplie les unes par les autres, les négatives auraient-elles le privilége de donner leur signe au produit ? Pourquoi ne pourrait-on tirer la racine carrée des unes aussi bien que des autres? La racine carrée d’une créance serait une quantité réelle, et la racine carrée d’une dette serait une quantité absurde : la racine carrée d’une ordonnée prise à droite de l’axe serait réelle, et celle de l’ordonnée à gauche serait imaginaire; et qui plus est, comme on est maître de fixer le côté des ordonnées positives, on pourrait rendre à volonté possible et impossible une même chose; on pourrait, par la magie des signes, donner l'existence à ce qui ne peut pas être, et rendre impossible ce qui existe : certes, les géomètres ne se sont jamais douté qu’ils eussent en main un pareil pouvoir,

4. D’autres personnes enfin , sansdiscuter la nature des quantités négatives isolées, se sont attachées à justifier l'emploi qu’on en fait, en montrant que les résultats qu’on obtient par elles , sont toujours conformes à ceux qu’on obtient par la seule synthèse, ou par d’autres procédés de calcul qui dispensent de faire usage de ces quantités négatives. On doit regarder leur travail comme d’autant plus

( 99 ) précieux , qu’il n’est pas d'autre manière de constater l'infaillibilité des résultats fournis par l’analyse. Maïs ce que jeme propose ici est différent ; mon but n’étant pas de rechercher comment on pourrait se passer de l’emploi des quantités dites négatives, mais de savoir en quoi consiste la nature de ces mêmes quantités , lorsqu'on en fait usage. Tel est l’objet des remarques suivantes.

5. L'expression de quantité négative se prend en Algèbre dans deux acceptions très-différentes.

Suivant la première acception , quantité négative signifie simplement toute quantité qui est affectée du signe —.

Suivant la seconde , quantité négative signifie toute quantité qui se trouve affectée du signe contraire à celui qu’elle devrait avoir.

Par exemple , dans la formule connue cos (a + b) = cosa cos b — sinaæsinb....... (A)

le dernier terme est négatif suivant la première acception. Tant que a, à et a+ b sont moindres chacun que le quart de circonférence , ce même terme reste au contraire positif, suivant la seconde acception , parceque le signe — dont il est affecté , est le vrai signe qu’il doit avoir en effet, pour que l’équation soit exacte. Mais si l’angle a+ b, par exemple , devient plus grand que le quart de circonférence , la formule sera pour lors fautive; car en cherchant directement par synthèse, la formule qui convient à ce nouveau cas, on trouve

cos (a + b) —=sina sin —cosacosb.......,..(B)

Donc si l’on veut regarder la première formule comme applicable encore à ce cas-ci, il faudra y considérer le premier terme cos(a +), comme portant un signe contraire à celui qu’il devrait avoir; puisqu’en effet en changeant le signe de ce terme, on a, —cos( a + b) = cos a cos b — sin a sin à , [formule qui en transposant les termes, revient à la formule (B) qui est la véritable pour le cas présent. Ainsi, en considérant cette première formule (A) comme applicable au cas où a + b est plus grand que le quart de circonférence, cos (a+- 8) y est affecté du signe

contraire à celui qu’il devrait avoir , et se trouve parconséquent une quantité négative suivant la seconde acception , quoïqu’elle soit positive suivant la première.

On voit par là que ces deux classes de quantités différent essentiellement l’une de l’autre; puisqu’ une même quantité peut se trouver positive suivant la première acception , et négative selon l’autre ; ou négative selon la première, et positive selon la seconde : qu’une simple transposition rend positive celle qui était négative suivant la première acception , tandis que suivant la seconde, elle restera toujours négative malgré la transposition, parcequ'elle ne cessera pas pour cela d’être affectée du signe contraire à celui qu’elle devrait avoir. Il n’est donc pas étonnant qu’une même expression appliquée indistinctement à deux choses si différentes, répande l'obscurité sur le sujet dont il s’agit.

6. Pour éviter cet inconvénient, réservons l’expression de guantités négatives à celles qui sont en effet réellement affectées du signe — ; et celles qui se trouvent affectées d’un signe contraire à celui qu’elles devraient avoir, nommons-les quantités inverses par opposition à celles dont le signe est tel qu’il doit être, et que nous nommerons quantités directes.

On dit, par exemple, qu’une defte est une eréance négative : cela signifie que si dans un calcul , on prend une dette pour une créance, ou une créance pour une dette, la quantité algébrique qu’on aura prise pour représenter la somme à payer ou à recevoir, se trouvera affectée du signe contraire à celui qu’elle devrait avoir, et qu’elle aurait eu réellement si l’on ne s'était pas trompé.

En effet, soit æ cette quantité à payer ou à recevoir par une certaine personne, À la fortune de cette personne , B ce qu’elle posséderait , abstraction faite de sa dette ou de sa créance x.

Si cette somme x est une créance, il est clair qu’on aura A=B+x, ou æ=A—B; si au contraire æ est une dette, on aura A=B—x, ou x=B—A;

donc si l’on a supposé par erreur que x étoit une créance, tandis

( 101) que c'était une dette , ou une dette tandis que c'était une créance, on aura mis dans le calcul A —B au lieu de B— A, ou A—B au lieu de —(A—B), ou æ au lieu de — x; c’est-à-dire, que dans tout le cours du calcul, x se trouvera affectée du signe contraire à celui qu’elle devrait avoir, et qu’elle aurait réellement si elle représentait ce qu’elle doit représenter en effet.

7. De même, si dans un calcul d’application d’Algèbre à la Géométrie , on suppose par erreur que telle ordonnée est placée à la droite de l’axe des abscisses, tandis qu’elle est réellement placée à la gauche, le signe dont se trouvera affectée la lettre alphabétique prise pour représenter cette ordonnée, sera contraire à celui qu’elle devrait avoir, et qu’elle aurait réellement si l’on ne s'était pas trompé sur la position de cette ordonnée ; ainsi cette lettre alphabétique exprimera une quantité inverse.

En effet, soit BB’ l’axe des abscisses, pM l’ordonnée qui est à gauche , tandis qu’on l'avait jugée à droite en pm’. Menons

au-delà du point M un nouvel axe FF’ parallèle au premier qui soit rencontré en p’ par l’ordonnée , et nommons «a la distance arbitraire de ces deux axes, y l’ordonnée dont il s’agit, et z la distance de son extrémité, M ou M’ un nouvel axe.

Si l’ordonnée est réellement M'p, on aura

M'p —=Mp — pp, OU Y= Ze Si au contraire l'ordonnée est Mp, on aura Mp= pp—pM, ou y=a—2.

Donc si l’on a snpposé, par erreur ou autrement , que l’ordonnée était à droite , c’est-à-dire MD, tandis qu’elle était réellement à

gauche, c’est-à-dire Mp , on aura mis dans le calcul M’p au lieu

de Mp, ou z—a au lieu de a—z, on z— a au lieu de —(z—a), c’est-à-dire qu’on aura donné à y un signe contraire à celui qu’elle devait avoir ; donc cette quantité y sera de celles que j'ai nommées quantités inverses.

8. On peut voir par là que le principe fondamental de tonte la théorie des quantités inverses, est celui-ci : Toute quantité inverse peut être considérée comme la différence de deux quantités directes dont La plus grande a été prise pour la plus petile, etréciproquement.

En effet, dans le premier exemple ci-dessus, x est inverse et porte le signe contraire à celui qu’elle devrait avoir , puisqu'on l'a supposé À — B, taudis qu'il est réellement B— A ; c’est-à-dire, que des deux quantités, À, B, dont x est la différence, A a été supposée la plus grande, tandis qu’elle se trouve en effet la plus petite.

De même, dans le second exemple, y est inverse, et porte le signe contraire à celui qu’il devrait avoir, parcequ’on l’a supposé z— a, tandis qu’il est réellement a — z; c’est-à-dire, que des deux quantités a, z, dont y est la différence , la plus grande a été prise pour la moindre.

En général, soit p une quantité inverse quelconque, et faisons p=m—n". Puisque p est inverse par hypothèse , il est affecté du signe contraire à celui qu’il devrait avoir ; c’est-à-dire , qu’on a mis dans le calcul p au lieu de — p, ou m—n au lieu de n— 1m : on a donc supposé 727 > #2, tandis que réellement on a n <m; c’est-à-dire que des deux quantités 31, 7, dont p est la différence, la plus grande z a été prise pour la plus petite, et la petite 2 a été prise pour la plus grande.

9. C'est dans ce sens qu’on doit entendre ce principe connu et important; savoir, que toute quantité variable qui, de positive qu’elle était, devient négative et réciproquement, passe nécessairement par Oo ou par ©. Cela signifie que toute quantité variable qui de directe devient inverse , ou qui d’inverse redevient directe, passe nécessairement par o ou par ©. En cffct, pour que des deux quantités, , la plus grande devienne la plus petite, il faut qu’elles passent l’une et l’autre par l’état d'égalité, et que par conséquent leur différence m — 7 ou z— m devienne o. Donc, puisque p est cette différence , il faut aussi qu’elle passe par o pour devenir inverse ou —p. Mais si p devient —p, ; deviendra aussi Fes donc Ts deviendra aussi inverse ; donc en devenant inverse, elle passera

+. “fi

( 103 ) par + Appliquons toute cette théorie à quelques nouveaux exemples.

10. Le cosinus d’un angle obtus est une gzantité inverse, ou négative suivant la seconde acception dont nous avons parlé; parce que le système primitif, celui auquel on le rapporte , et sur lequel les raisonnemens ont été établis, est celui dans lequel tous les angles considérés, sont moindres que le quart de circonférence, ce qui, suppose le cosinus même égal au rayon moins le sinus verse , et par conséquent le rayon plus grand que le sinus verse; mais lorsque l’angle est obtus, c’est au contraire le sinus verse qui est plus grand que le rayon. Donc alors le cosinus est la différence de deux autres quantités dont la plus grande a été supposée la plus petite. Donc le cosinus de l'angle obtus est ce que j’ai appelé une quantité inverse.

Voilà pourquoi, en prenant la formule primitivecos —1—sinver, il faut y changer le signe dont cos est affecté , pour que cette formule lui devienne applicable: c'est-à-dire, écrire — cos = 1 — sinver, Ou cos — sin ver — 1, qui est Ja vraie formule convenable au cas dont il s’agit. De même, ainsi qu’on l’a vu plus haut , a et b étant deux angles dont la somme a + à est moindre

que le quart de circonférence ; on a cos(a+b ) — cos 2 cos b — sin à ein De. Maïs si ec —+- À sus paosou le quart dc circonférence A

cos (a+ b) deviendra inverse, puisqu'elle est la différence de deux quantités, 1 et sin ver (a + à), dont la première a été prise pour la plus grande dans la formule primitive , tandis qu’elle'est la plus petite dans le cas présent. Cos (a+ b) se trouve donc affectée du signe contraire à celui qu’elle devrait avoir; c’est-àdire, que la véritable formule, pour le cas présent, est

— CoS(a—+ b)=cos a cos b—sinasinp, ou cos( a+ b)=— sin a sin à — cosacosb.

Et l'on doit remarquer que, conformément à ce qui a été dit ci-dessus, au moment où cos (ab) change ainsi de signe ou devient inverse , elle passe évidemment par o.

x "ie sin a De même, on a par les formules primitives, tannga=——, sin a sin a (1—sin vera) sina—sina.sin vera QU ANG = — "7 > — — —— 2 ———— ——————, 1—simvyera (1 —sin ver a })° 1 — 2 sin ver a —- sin vera sin a sin a.sin ver a ou tang a —

1 — 2 sin vera <- sinver’& 1 — 2 sin ver a —- sin yer’a

Cela posé, tant que a sera moindre que le quart de circonférence , 1 sera plus grand que sin vera, et par conséquent, le premier terme du second membre sera plus grand que l’autre : donc tang a restera constamment directe. Mais si a devient obtus, alors on aura sin vers a > 1. Donc tanga se trouvera la différence de deux quantités , dont la plus grande a été supposée la plus petite; donc tang a deviendra inverse, ou négative suivant la seconde acception dont nous avons parlé; c’est-à-dire , que la véritable sina(sinvera—1)

(sin vera— 1 }*

è , i ] a = —— ce que dans pêche pas que l’on ait toujours tanga = —— , parce q

cette équation, tang a et cos a deviennent l’une et l’autre inverses A-la-fois, de manière que pour y appliquer la formule, il faut changer le signe de l’une et de l’autre, ce qui donne

formule pour ce cas, est tang a = .. Cela n'em-

sin 4 sin «a

= == ou fang a = tang a Ep g

cos a ?

et l’on doit remarquer, qu’au moment où tanga change de signe, S

in a cos a

elle passe par «© , puisqu’elle est toujours par o, comme on l’a vu ci-dessus.

Pareillement ouvcuic ; vu u Jdauv 1e oystbiuv piluuitif,

, et que cos a passe

1 1—sin vera 1

Ë. 1.2 URSin VO cosa 1—sinvera (1—sinvera)* (1—sinvera)* (1—sinvera)*

séca— = Or tant que a sera moindre que le quart de circonférence, le premier terme du second membre sera plus grand que l’autre , et la formule aura lieu sans modification : mais si & devient plus grand d’une demi-circonférence , sin ver a sera plus grand que 1; donc séc a se trouvera être la différence de deux quantités dont la plus petite aura été prise pour la plus grande ; donc elle sera inverse, donc elle portera un signe contraire à celui qu’elle devrait avoir. Donc la vraie formule, dans ce cas, sera

sin ver d 1

F FE (snvera— 1} (smvera— 1}?

: 7 % 1 ce qui n’empé ; Ca = — ’alors qui n’empêche pas qu’on ait toujours séc a ———, parcequ’alor

cf

( 105 ) sic a et cos a deviennent l’une et l’autre inverses en même temps.

Il est à remarquer, comme on l’a déjà dit, que cet exemple, si facile à expliquer dans notre théorie, détruit entièrement l’opinion de ceux qui disent que les quantités négatives ne sont autre chose que des quantités ordinaires , prises en sens opposé à celles qu'on nomme positives.

11. Mais on peut demander à quoi bon introduire dans le calcul, des quantités affeciées d’un faux signe, et s’il ne serait pas plus simple de donner tout de suite à chacune d’elles le signe qui lui convient.

Je réponds d’abord, qu’on y est souvent obligé; car si l’on cherche, par exemple, l’ordonnée d’une courbe , sans savoir la région dans laquelle elle se trouve ; il faut bien commencer par supposer qu’elle se trouve dans telle ou telle région; et si l’on se trompe dans cette hypothèse, on trouve bien la valeur absolue de l’ordonnée en question, mais (7) affectée du signe contraire à celui qu’elle devrait avoir. Il y a par conséquent erreur dans le résultat; mais cette erreur est facile à corriger, sans qu'il soit nécessaire de recommencer le calcul, puisqu'il n'y a qu’à prendre cette ordonnée dans la région opposée à celle où l’on avait jugé qu’elle devait se trouver.

De même, oi l’oum shoroha lo sacinuo d'un angle qu’on croit être aigu ,» et que cependant on trouve pour ce cosinus une valeur négative, c’est une preuve qu'on s'est trompé sur le côté du centre où on l’a supposé placé (10), et que l’angle est obtus; mais comme on n’en à pas moins trouvé la valeur absolue de son cosinus, on en conclut que l’angle cherché est le supplément de celui qu’on avait cru devoir remplir les conditions du problème.

12. Il arrive souvent ainsi que, quoiqu’on se soit trompé dans la mise en équation , la solution n’en est pas moins utile, parceque l'erreur est facile à rectifier, sans qu'il soit besoin de recommencer le calcul; maïs souvent aussi, on est obligé de le refaire sur de nouvelles hypothèses; car on ne peut se flatter d’avoir ob= tenu une véritable solution, que lorsqu'on est parvenu à trouver pour l’inconnue une valeur positive , puisqu'il n’y a en effet que les valeurs positives qui soient véritablement intelligibles , et que toutes les autres annoncent nécessairement une incompatibilité

entre les conditions données et les hypothèses sur lesquelles on a établi le raisonnement. I] faut donc changer ces hypothèses ou modifier les conditions du problème jusqu’à ce qu’on ait une valeur positive pour l’inconnue. Si l’équation a plusieurs racines, les unes positives , les autres négatives, il n’y a jamais que les premières qui puissent être prises pour de véritables solutions. Il faut appliquer à chacune des autres en particulier , ce qu’on a dit de la valeur négative de la racine lorsqu'elle est seule. Quelquefois même il arrive que ces racines sont absolument insignifiantes , et ne peuvent être considérées que comme de simples formes algébriques , qui ont été introduites dans le calcul par les transformations auxquelles l’équation s’est trouvée soumise dans le cours des opérations.

13. Nous venons de voir qu’on est souvent obligé d’employer dans le calcul, des quantités affectées du signe contraire à celui qu’elles devraient avoir; quantités que nous avons nommées inverses: mais il est un autre motif qui déterminerait à les employer, quand même on n’y serait pas obligé; c'est l’avantage qu’elles procurent de pouvoir représenter par une seule et même formule ; un système variable de quantités, dans tous les états où il peut

se trouver. Ainsi, par exemple , sans ce moyen il faudrait quatre équations différentes pour représenter les quatre régions d’une

courbe plane divisée par ses deux axes, et il en faudrait huit pour représenter une surface courbe ; au lieu qu’en admettant les quantités inverses , la même équation sert pour les huit régions, en se réservant de changer à la fin du calcul le signe des quantités inverses ou affectées d’un faux signe, qui pourraient se trouver encore dans le résultat. Ainsi, par exemple, quoique les formules

sin (a+ b)—=sina cos b + sin b cosa; cos(a+b)—cosacos b —sina sinb,

ne soient exactes que pour le premier quart de la circonférence ; on les regarde comme applicables à tous les cas possibles; sauf à. changer, suivant l'exigence des cas à la fin du calcul , le signe des cosinus des angles plus grands que le quart de circonférence

ou plutôt, c’est par les signes mêmes dont les termes se trouvent affectés à la fin du calcul , qu’on juge si les angles appartiennent

( 107 ) comme on l'avait supposé, ou s’ils n’appartiennent pas au premier quart de la circonférence.

14. Tout ce que j'ai dit jusqu’à présent ne regarde encore que les quantités inverses faussement appelées quantités négatives, puisque cette expression ne peut naturellement convenir qu’à celles qui sont réellement affectées du signe —, tandis que les quantités inverses se trouvent tantôt affectées du signe - et tantôt du signe —.

Les quantités négatives proprement dites, dont il reste à parler , ne donnent lieu à aucune difficulté , lorsqu’elles sont précédées de quantités positives plus grandes qu’elles; mais lorsque par l’effet d’une transposition, ou d’une autre transformation quelconque algébrique , on arrive à une quantité négative de cette espèce, isolée ou précédée d’une quantité positive moindre qu’elle, ou en général à une phrase algébrique qui indique des opérations inexécutables, on doit regarder cette phrase comme une simple forme qui n’a aucune signification réelle par elle-même, mais qui renferme néanmoins implicitement les rapports cherchés entre les quantités qui y entrent. Ce qu’il y a d’absurde ou d’inintelligible dans une pareille expression, étant censé amené par une transformation, doit disparaître par d’autres transformations ; et c’est

seulement lorsqu'on l’aura ramenée à une forme explicite, c’està-dire où toutes les opérations indiquées se trouveront possibles,

que l’on pourra faire des applications utiles de cette formule ; jusque-là, on doit la regarder comme mise transitoirement sous une forme non significative , dans la seule vue de faciliter et d’abréger les opérations du calcul. C’est par la synthèse seule qu’on démontre les règles des signes en algèbre , c'est-à-dire , qu’on ne saurait les établir autrement que sur des expressions significatives; on ne prouve pas que + a X —b=—ab, mais on prouve que a x(B—b) est 4B—ab, en supposant B > D; c’est ensuite par pure analogie, qu’en supposant B< 2, où même B—o, on en conclut que +ax—b——ab, et qu'on étend ainsi cette règle algébrique à toute fonction significative ou non.

Les quantités simplement négatives doivent à cet égard être considérées comme les quantités imaginaires elles-mêmes; c’està-dire , comme de simples formes algébriques, les dernières n’étant que les racines carrées des premières : si celles-ci étaient possibles,

( 108 ) il n’y aurait aucune raison pour que les aufres ne le fussent pas, car toute quantité effective doit avoir sa racine carrée; et si elle n’en a pas, c’est une preuve qu’elle est elle-même une quantité absurde : les unes et les autres ne diffèrent, à proprement parler, que par leurs différens degrés d’absurdité.

15. Voilà pourquoi c’est un travail important que celui des savans , qui se sont attachés à montrer que les résultats auxquels on est conduit par l’emploi de ces formes insignifiantes en ellesmêmes, ne diffèrent jamais de ceux qu’on obtient par d’autres tournures de calcul qui n’exigent pas qu’on s’en serve. Mais loin d’en conclure, qu'il faut rejeter les méthodes analytiques où l’on en fait usage; on prouve, par celte conformité même de résultats, l'avantage de ces méthodes, qui sont en général beaucoup plus courtes et plus faciles que celles qu’on pourrait leur substituer.

C'est même , à proprement parler , dans la faculté qu’on a d’employer en analyse ces formes négatives et imaginaires, que consiste le véritable caractère de cette science , et son avantage sur la synthèse qui n’a pas la même faculté : celle-ci est restreinte par la nature de ses procédés, elle ne peut jamais perdre de vue son objet ; il faut que cet objet s’offre toujours à l'esprit réel et net, ainsi que tous les rapprochemens et toute: les combinaisons qu’on en fait. Elle ne peur douv vmpluyer des quautités absurdes , raisonner sur des opérations non exécutables. Si elle fait usage de signes , c'est seulement pour aider l'imagination et la mémoire ; mais ces signes ne peuvent jamais être pour elle que de simples abréviations. ;

L'analyse au contraire a d’abord tous les moyens de la synthèse; et de plus, elle admet dans ses combinaisons des objets qui n’existent pas; elle les représente par des symboles, aussi bien que ce qui est effectif: elle mélange les êtres réels avec les êtres de raison; puis, par des transformations méthodiques, elle parvient à éliminer ou chasser ces derniers du calcul, après s'en être servi comme d’auxiliaires. Alors ce qu’il y avait d’inintelligible disparaît , et il ne reste que ce qu’une synthèse subtile aurait sans doute pu faire découvrir : mais ce résultat, on l’a obtenu par une voie plus courte; plus facile , et presque par pur mécanisme, lorsqu'il eût fallu de: grands efforts pour y parvenir autrement. Tel est l'avantage de

( 109 ) l'analyse sur la synthèse, et toute autre distinction entre l’une et l’autre paraît absolument illusoire.

Par la synthèse, dit-on, on cherche à passer du connu à l’inconnu ; au lieu que dans l’analyse on regarde comme connu ce qui ne l'est pas. Cela veut dire qu’en synthèse on cherche à exprimer tout de suite les inconnues en valeurs des données; et qu’en analyse au contraire, on commence souvent par exprimer les données en valeurs des inconnues, pour revenir ensuite à l'expression de cellesci en valeurs des autres, à l’aide de transformations algébriques.

16. Mais cette distinction adoptée assez généralement sans qu’on l'ait approfondie, n’a rien de réel: il n'y a qu'à ouvrir tous les ouvrages d’une synthèse délicate, et l’on verra que le procédé qu’on attribue ici exclusivement à l’analyse , est également celui de la synthèse ; que dans l’une aussi bien que dans l’autre, on raisonne sur les quantités inconnues comme si elles étaient données, et que la vraie, la seule différence consiste , non en ce que l’une emploie des signes algébriques, et l’autre non, car l’une et l’autre en font usage, mais uniquement dans la nature des transformations algébriques qui suivent la mise en équation; cette mise en équation appartenant elle-même exclusivement à la synthèse, Mais celle-ci ne peut se permettre. sans manquer à son eccenre j une transformation qui laisserait quelque quantité négative isolée dans

un membre , ou qui indiquerait une opération non exécutable ; tandis que ces sortes de transformations sont très-familières à l'analyse, et sont pour elle une source féconde de découvertes, auxquelles la synthèse ne peut arriver que par des moyens longs et pénibles.