G* 2 . 4 * OC
dz(fdz\j\ zz ) 1 -f- etc.,
dont l’intégrale est const 4- fT = P —
aG’ n i 4- 5 - G* n 8-5- 5G* aG* i 2 . 4 . G* 2 . 4 - OC*'
T — etc.
On peut faire sur cette série les mêmes remarques que sur celle qui exprime les abscisses x. Les lettres P, Q, R, S, T, etc. , ont la même valeur; la constante s’y détermine de la même manière ; enfin elle est convergente sousla mêmecondition.Mais, en comparant les deux suites ensemble, on voit que si la fraction G : C est assez petite pour que l’on puisse omettre le troisième terme et les suivants, on aura à très-peu près
G GG 2 G*’ v '
Mais x : G exprime le temps dans lequel l’espace x pourrait être parcouru avec la vitesse G ; faisant donc ce temps = t, on aura
§ 105. La suite différentielle qu’on pourrait trouver de la même manière pour l’élément dy, puisqu’on a
dy = zdx,
n’offre point de termes intégrables; et comme en général ces suites ne sont convergentes que pour certains cas, je ne m’y arrêterai pas plus longtemps, d’autant qu’elles n’expriment les quantités x, r, y, que par l’angle ç> ou par ses fonctions, et qu’elles ne pourraient conduire que d’une manière extrêmement prolixe et indirecte à déterminer la relation entre les ordonnées y et les abscisses x qu’il s’agit de chercher.
g 106. Nous avons trouvé au paragraphe 99.
gdt = fc’coséc^.rfcotp;
or, on a
— d col f = dtp coséc $>’;
donc on aura
— gdt = /,’ coséc çi'dipt
et partant
dt k % f osée tp 1
Sun LA RÉSISTANCE DES FLUIDES. 95
Mais d>: dtp est le rayon de courbure que nous nom* nierons R ; on aura donc
à*. coséc <p* c* coséc <p CG coséc <p* GGe~~ : *
g g g. cam g sin <p 5
Et en nommant P le rayon de courbure de la parabole eam au point m = f, nous aurons
2 g eam
car le paramètre de cette parabole étant = 4 , et l’angle
qmt = <p, le rayon de courbure répondant au petit arc ms sera = 2 coséc tp\ Et si la vitesse au point m est = c,
coséc ^
ce rayon de courbure sera pareillement = — -,
Ainsi le rayon de courbure au point M ne dépend que de la vitessec et de l’angle <p, et par conséquent il est le même, quelle que soit la résistance du milieu. J’en conclus que la courbe CAM peut être considérée comme composée de petits arcs de paraboles dont le paramètre change continuellement. On peut déduire de là, ou plutôt cette circonstance nous fait voir qu’on peut exprimer les ordonnées y par une suite qui procède suivant les puissances des abscisses. Voyons donc de quelle manière nous la déterminerons.
§ 107. En supposant les différentielles des abscisses dx constantes, les différentielles dy croîtront d’une quantité qui est due à l’action de la gravité, de sorte que l’on aura
ddg — ÿrfr* ;
mais on a
(t. x* = k'dr' ;
donc nous aurons
dx * ; ddy — k' ; g,
et partant
— (Py a dk — a dt
§ 108. Soit donc la suite
y = yx* -)- ix l -j- ix 4 -j- fuc % + fx* -j- <rx’ -f- «x*,-|- etc., et nous aurons
dy = (ayx -f 3Ar* -f 4 .x 1 -f 5*x 4 -f G(.x 5 -f ;,rx«
-j- 8ox’ -)- etc.) dx,
ddy — (ay -)- 6 /x -f i 2 »x’ -}- ao^tx 1 3o^x* -f- 4 a<rx*
•f 56»x‘ -J- etc.)dx’,
dddy = ( 6 / -j- a4«x -f- Go/tx* -)- iaopx* -f - 2 io<rx 4 -f- 536»x ! -)- etc.)dx',
^i= i+4v , ^ , + i 2 yJ'x ! -f-iG I y x'-fao^y x‘-fa 4 f y x‘-fa 8 <ry r’-fetc.
9^*i + 2 4 <Ji -jSGJ'f
rff
^ 6yctx 3 -f- 8yf x‘-|-ioy J M X s -f-i2yp X e -)- etc.
— ay‘ — I2y*«t -{-Si*
— a?yV
— îGy*.
Mais on a (§ lOâ)
- aclhj — dchj . d, ;
donc, en multipliant les deux suites trouvées pour ddy, et d,, et égalant le produit à la suite ~ adj\ on aura
i~ 53a +- 1 2 tax ■+■ Softax * ■+■ tk>(ax % + i oàraa; 4 -t- 1 68 mm: 5 4- + etc.
2y +Gl,r 4-i2f
-t-lGy*«
* *+4acr
-t- 4oy V +72 y3i 4- 48y/i + 27 ^ 3 — iayV| 4- aoy’^K •+• 2 yê'e
-f Goy *(i
+ 1 V,)yh<
-t-QGy» 1 +54«h — a4y 4 f +Goy«J' 4“72c^ s 73y 3 ^ * + a4y’f -t-3oy ift 4-lGyi’
-54yV*
% 109, En comparant donc les termes on aura
oa
u — ~ Uil
MÉMOIRE SFR tES FIEIDES.
i sa ?
Qy *
98 MÉH0IRK
j« i iy'* ay i ■4y >
î/ | ?ïl‘ + 5l£.' 45y* __ 4v + 1 a8y*
7a 21a ya io5a 5i5a 5 5i5a*
— Jkl
io5a*
* 5yV üyJ* 9J 1 3y*^ y
4a 14a 7 a 5ti« 14a 3i5a*
3i5a* io5a*’
a» , y^f 5y j>* + 4yi* + <£^ ay% y*£*
9a ' 3a G a 9a sa 9a «a
ay
+ s-l + ctc -
g HO. Le coefficienty qui entre dans toutes les valeurs des autres Se détermine par les deux équations (§ 107)
dili/ g
(iP ~ P ’
— ^ = 2 y -j- 6/c -f- j au: 1 -f- ao ftx 3 -f* etc.
car, en posant a;=0, on doit avoir k = G; donc on au*’a
g CG ---=: ay,
§ 411. En considérant ces coefficients tels que nous ve-
nons de les déterminer, on voit qu’ils procèdent suivant les puissances impaires de y , et suivant les puissances alternativement paires et impaires de a. Cette circonstance fait que nous pourrons les exprimer d’une manière plus concise en y substituant d’autres lettres. Faisons pour cet effet
a x a — l, ay : a — 9 ,
de sorte que l’on ait
aq cc 2M * ~ GG = GG ’
toutes les substitutions et réductions faites, nous aurons
„ «= Jïl + JL*. . 4. +
t ÜL v -f- ™ l*8i ” <ttj- ctc .
1 t|«u«ir» I ^•uiitn I , 11.24.»»’ 1
§ 112. Cette suite est assez remarquable. Nous voyons que la première ligne, qui n’est affectée que de ni, est la même suite que celle qui exprime le nombre par son logarithme, et que pour la compléter ou n’a qu’à y joindre les
100 hKSIOinE
deux premiers termes. Nous aurons donc en faisant Y = « -f- m -\- mi.
= me + [t.
; 7 -f* etc. j -(-etc.
g H 3. Or, en faisant £=0, on a * =0, et partant Y =m. Ensuite le terme £ étant également multiplié par ni, il s’ensuit que ?» est la tangente d’un angle et nommément de celui d’une asymptote logarithmique dont l’équation est
me
.et qui, par conséquent, a une position oblique, de sorte qu’elle ressemble il la courbe AE de la septième ligure que nous avons déterminée ci-dessus (§80). Mais celte asymptote n’est pas celle de la courbe C.AB ; car puisque l’on
a (S Hl)
aW = GG*
et que l’angle AFE étant fait = 4-, l’on doit avoir (§ 06) ~ — cos 4> : sin 4> — log tang -4* = 0 .
Ou 2
Il s’ensuit que l’on a
cos 4^ , 1 .
2m = - — n — log tang -4-; sin -y 0 0 2
et que, partant, le paramètre de la parabole cab restant = 4 (g 97), on a
2 m = arc ne.
Mais l’arc i ne n’est égal à la tangente de l’angle fep que
Slit! L V DÉSISTA NCE II ICS FLUIDES. 101
dans un seul cas; donc ce n’cst aussi que dans un seul cas que l’asymptote FE a la intime position ou la même inclinaison que l’asymptote logarithmique qu’exprime l’équation s — me x .
§ 11 h. La suite que nous venons de trouver ne commence à différer d’une suite logarithmique que dans la cinquième puissance de l’abscisse ç où il s’y joint encore un appendix, dont on ne connaît pas la loi de la progression des coefficients. On y voit les multiplicateurs 61, 67, etc., qui sont des nombres premiers, et par là même les plus intraitables de tous. Mais quoi qu’il en soit, il faut dire que c’est un avantage pour la pratique que cet appendix ne commence qu’à la cinquième puissance de £ ; car l’équation
l = sa; ; a
nous fait voir que % est presque toujours une fraction assez petite, à moins qu’on ne veuille déterminer les points de la courbe CAB qui sont très-proches des asymptotes. Cette circonstance favorable fait qu’on peut presque toujours omettre les termes | 5 et les suivants, d’autant plus que leurs diviseurs sont fort grands.
§ 115. Je remarquerai encore que la suite, telle que nous venons de la trouver, se rapporte à la branche de la courbe par laquelle le corps descend. Pour l’appliquer à l’autre branche par laquelle le corps monte, on n’a qu’à prendre l’abscisse | négative.
§ 116. Mais comme il est assez ordinaire de ne calculer que les cas où le corps retombe au niveau de l’endroit d’où il a été projeté, il sera plus convenable d’ex-
primer les abscisses | par les ordonnées *. Faisons, pour cet effet,
a ( ; m = «* = 4v î am, et prenons la suite
i = « -f* ai* -j- bi* ci* -f - 4- «' 4* ctc, «
les coefficients a, b, c, il, etc., se déterminent en substituant cette valeur de i dans la suite du § 111, en égalant les termes. Par là on trouvera
1 I^OIO '
7â(jo
i(ibo ’
et partant
6 ^ 3tt
mm 1 '20
I^ÜIO
4* etc.
§ 117. Cette suite est pareillement fort convergente. Elle donne la valeur de ? pour la branche par laquelle le corps descend. Pour l’autre branche il faut prendre i né-
Sim LA RÉSISTANCE DES ELl'IDES. 103
gative, ce qui peut se faire, parce que i est la racine carrée de hy \ am. On aura donc
mml
car celte abscisse se comptant en arrière, elle est par là même négative.
§ 118. Quand on ne cherche que le jet horizontal ou |a somme des deux abscisses , ?, la suite se réduit à la moitié des termes, et nous aurons
§ 119. Mais quelque convergentes que soient ces suites, elles ne servent que d’une manière fort vague à calculer le jet horizontal, sans nous indiquer directement les angles que fait la courbe avec les droites verticales ou horizontales. Je vais donc en chercher une autre qui dépende de l’angle d’élévation sous lequel le corps est projeté.
§ 120. Soit cet angle QAP {fis. 11), la ligne horizontale AB, la courbe que le mobile parcourt AMB. Tirons une ordonnée verticale quelconque QMB, et nommons
AP = x,
Exprimons le rapport entre x et y, par la suite
y — fix — yx' — tx x — ix x — f*V* — cic. , les deux premiers coefficients se détermineront aisément,
tOi MÉMomr.
car p sera la tangente de l’angle d’élévation QAP, de sorte
qu’on aura
p = tang QAP ;
et y sc définit par la vitesse horizontale en A que nous nommerons K ; car si l’on prend l’abscisse x infiniment petite, la quantité x : K dénotera le petit temps que le mobile emploierait à la parcourir , et le second terme yxx marquera l’espace par lequel le corps tomberait dans le même temps. Nous aurons donc, conformément aux lois de la pesanteur,
5 xx
la « rrxr — yxx:
et partant
jooo g G4 KK - 3 ~KK
§ 121. Ces deux coefficients devaient être déterminés d ’a va nce,\ parce que tous les autres en dépendent. Afin donc de les déterminer, nous nous servirons de l’équation trouvée ci-dessus ( § 107 )
car on aura, en prenant les différentielles et posant dx constante,
dy — dx (p — ayo; — 5dx* — fox* , — 5^' — etc.)
— ddy — die' (ay -J- dix -j- 1 2 i.r 3 -f- 20 ftx' -f- etc.)
— d l ij zs dx' (G) -j-a4ir-|-6o/tr , -j-ctc.);
Sim LA RESISTANCE DES FLUIDES.
d’où l’on aura :
$ = dx ( Z ± + * 2« 'y \ 2y 1 y
lyy
*-+ 5 zi
yy
yy
108 iW
*' -{-etc. j’
et. en posant 1 + as .= ««, on aura
1 ’ = dx (H-Z* « \ a «a
3/Sil
ecu
j^yy
ay’/3 5
Jl£ !
séc QAP, et Æ* — etc. y
1 4yj8
4rV
Lgalant donc les termes de ces deux suites, on aura
ce qui donne
j 3*y 3yS fit ()$£
l ota y 2yy’
ce qui donne
\ * 3aa
yyfi
3aa 3 «a ** i5«* i5 aa i5«mj
§ 122. Ces valeurs étant substituées, nous aurons
3**y 8yyfi 3y'
ay*0*\
«y , ai y /3»U — * yX — ~ ~ X •— —
8yyi3
i5aa
Dans cette suite on a ( § 120, 121) /3 = tang QAP,
« = séc QAI’,
ay 'fi 1 1 5ti«*
— etc.
iooo
v ~ üVkk*
Et par là, on voit que le premier terme de cette suite ne dépend que de l’angle d’élévation QAP, le second de la vitesse horizontale en A et de la gravité, et que les autres dépendent des deux premiers et de la résistance du milieu, puisque la lettre a entre dans la détermination des coefficients.
SUR I.A RÉSISTA NCR DES FLUIOES. 107
g i28. Nommons maintenant la vitesse tangentielle en A, V, l’abscisse AQ, vu, l’angle d’élévation QAP, 0 , et nous aurons
x — w cosin 0,
K. = V cosin 0,
1000 séc «’ g séc a' ~64VV ~ aVV ’
/3x = w siu 0 .
Donc en substituant ces valeurs, on aura
y — w si il «
g.w* gw* gw *
a V* SaV» 6« J V*
ÿ’ro 1 sin 0
, vggtv* sin 0
i2rtV‘
* i5VV
(/ lt’ 5 COS 0 5
Voilà donc la suite qu’il s’agissait de trouver, et qui exprime l’ordonnée PM par l’abscisse AQ, la vitesse initiale V , l’angle d’élévation 0 , la gravité g, et l’effet de la résistance a.
§ 12 /i. Pour pouvoir comparer celte suite à celle que nous avons trouvée ci-dessus ( § 111) , nous y ferons des substitutions tout à fait analogues. Nommons donc
Ces valeurs étant substituées, nous aurons
»] —i sin « —
D’où l’on voilqu’on n’aura qu’à faire » = «pour que cette suite se change en celle du § 11 1 , et que ce n’est que cet angle qui la rend plus compliquée. En effet, on voit que Yappcndix, dont nous avons parlé au § 114, commence ici à la quatrième puissance de J , mais qu’il en disparaît dès qu'on fait o = ç>. .
mV
ml k
, sin « , 2 sin * m'i* + 2 . 3.4 2737475 ^
cos » * m 1 4 !
§ 125. Cherchons maintenant la corde horizontale AC. L’ordonnée au point B étant égale à o , nous aurons
. ?u| wi|*
o = sin a = =— •
m’ sin«| !
De là, en faisant
2 sin
etc.
cos a i m , l k
2 sin a m
on aura
+ 3 + 3^ + 3^75 +etc.
wt si n ai | 1 a sin »m£‘
