c = sin ç : k t i : g = lang : k

donc en substituant il vient

agkdk sin * tang p

et partant

agdk cos<p* . 1

é s sin p'‘ cos p

dont l’intégrale est

d cos p dp

tin <p‘ sin<p J ’

ag cos p

kk siu<p’

log tang - <p + const.

La constante est = agi GG; donc on aura

^ VG* + G*(cosip ; sin p' — log tang * p) ’ ou bien

G v'C* : G’ — |— cos ç> ; sin p ' — log tang ‘ p ’

§ 97. Or, la quantité cos p : sin <p* — log tang | pest la longueur d’un arc parabolique, depuis le sommet de la parabole jusqu’au point où elle s’incline vers son axe sous un angle = p, et le paramètre de cette parabole doit être pris = â. Si on prend sur cette parabole, de l’autre côté du sommet, un arc = C* : G J , on déterminera le point où l’inclinaison de la parabole vers son axe est la même que celle de l’asymptote EF vers la verticale FAD, de sorte qu’en comptant l’arc parabolique depuis ce point, et représentant par/> sa longueur, jusqu’au point où son inclinaison est = <p, on aura

§ 98. Mais nous avons vu (§ 90) que l’on a

donc, en substituant la valeur de k, il viendra

= lo s| + ï'ogP-

Ayant construit une parabole eab dont le paramètre soit = A, et dont l’axe ad soit parallède à AD, tirez une tangente fc parallèle h l’asymptote FE et une autre nu parallèle à la tangente MT, et vous aurez

A * , , , arc eam

r, = - = log arc cam — log arc ain = log ,

Mo arcom

k \ arc nui

G yarceawi

§ 99. Nous avons trouvé (§ 90, 96) cdx

— = — Uk, a

at/dk dp

Id sin p' '

De là, il suit

mais on a

gcdx dp

sin p

c =s I; l sin p ;

donc, en substituant, on aura

gdx dp ,

= r- 5 -, = d col p ,

k‘ sin p x

gdx =a k'.dcol p ;

et de là

MÉMuint:

gdy — k' cul fil col 0 , yclt = k' coséc <pd cot <p,

= gdr — kdeovp.

Or, la vitesse horizontale étant donnée par une fonction de l’angle <p , on n’aura qu’à la substituer dans ces formules pour avoir des équations différentielles entre x, y, t et <p.

§ 100. Mais ces équations étant peu traitables, nous remarquerons que le paramètre de la parabole eam étant posé = 4, et l’angle gmt = <f > , on aura

- ns = d col p,

col 0(1 cot ç.

Nous avons de plus ( § 98)

ain

eam

Donc , en substituant ces valeurs dans les formules du § 99 , il viendra

2 gdx

am

eam

ns,

igdr = G

2 gdy — G* .

am

mn.

eam

Et par ces formules i! sera facile de construire des lignes courbes dont les espaces représentent les valeurs x, y, r , car les arcs am, eam, se déterminant par les angles <p, on n’aura qu’à faire les ordonnées

am

eam

qh = G J ~ , ' V eam

G* . — , eam

et on aura les espaces des courbes construites de cette façon :

a\iq = 2 gx, allhq — 2ÿr, al.lx ss 2gy.

Ces trois courbes approchent d’autant plus de lignes droites parallèles à aq et <ta, que la résistance est moins grande ; et si elle est = 0 , on aura, au lieu de ces courbes des droites parallèles à aq, ax dont, par conséquent, les espaces sont proportionnels aux ordonnées et aux abscisses de la parabole eam; ce qui veut dire que la route de la boule sera parabolique.

§ 101. Lorsque l’abscisse aA commence à être extrêmement grande , la longueur de l’arc am ne différera plus beaucoup de ax, et par conséquent il croîtra, à très-peu près, en raison du carré de l’ordonnée xm — aq. Ainsi l’ordonnée qi décroît encore plus fortement qu’en raison

réciproque de l'abscisse aq. H s’ensuit que l’espace aliq que nous avons trouvé être égal à 2 gx a une grandeur finie, quand même on prend l’abscisse aq infinie. Nous pouvons conclure de Ht que la courbe CAM a non-seulement l’asymptote oblique EF, piais encore que son autre branche AB a aussi une asymptote dont la position est verticale. Car x ne devient un maximum que lorsque q> est égal à 0.

§ 102. Puisqu’il n’y a pas moyen de trouver des formules intégrales finies pour les quantités x , y, T , j’ai essayé de les exprimer par des suites infinies dont du moins chaque terme pourrait être exprimé par des logarithmes ou par des fonctions circulaires. Je n’ai pu réussir que pour les abscisses x. Voici de quelle façon je m’y suis pris.

§ 103. Nommons s la cotangente de l’auglc ç, nous aurons

cot tp = 2 ,

tlz

et partant (§ 96)

aqik do , :

fj— = : — —, = dz. V i 4- 2*,

i-‘ shi <p» VI»

— a fdz y H- 22 -f- constante ;

fi

ce qui donne (§ 96)

G Vc‘ : G* -f 2 fdz y 7"+”^*

Mais on a (§ 99)

gdx — /i’dcot <p = k'dz;

donc, en substituant la valeur de k, il viendra

, CCdz

gdx = .

G* : G’ -f 2 fdz ^ î + zz

Cette fraction étant résolue en une série , on aura 9 ~ = dz— ~^dzfdz\j\~+ zz + ^-dz. {fdzy'i + zz)'

çvdz(fdz y i -f - ZZ Y etc.

Or, nommant les intégrales de chaque terme P, Q ,

R, S, etc. , et faisant

fdz\U -j- zz = r, et v i + zz = s,

on aura P = z.

HKUOIUK

T = zr‘ - |i*r* + 4^2 + -f I 2 ‘j r*

-(1 - , +^ + s* , )'+*(ra* + S&**

et l’on aura const + g; = P

+ #-‘T + etc.

Dans cette suite , les lettres P, Q, R, S, T, etc. , dépendent uniquement de l’angle <p, et par conséquent elles sont tout à fait indépendantes des vitesses et de la résistance du milieu. Nous voyons par là que les abscisses# s’expriment par une suite qui procède suivant les puissances paires des vitesses. Il est encore à remarquer que lorsque l’on veut avoir les abscisses x pour la branche AC., il faut prendre tous les termes de cette suite négativement Enlin , si l’on compte les abscisses à partir du sommet À , il faut que x devienne =0 lorsque 2 = 0 , ce qui sert à déterminer la constante qui sera par conséquent

const

aG* . 8. 3aG 3(7 + TaîT

Du reste , la suite que nous venons de trouver n’est convergente qu’autant que l’angle <p est plus grand que l’angle AFE.

§ 104. On trouvera de la même manière une suite

assez semblable pour le temps r. En eflet , on a ( § 99 , 103)

gdr — kd cot (p = kdz, k G : G

G V^G* I G* + ifdz V i + zz

donc, en substituant cette valeur de k,

gdr C dz * G

G V” C’ : G’ -j- ifdz V 1 +z'z

Cette formule étant réduite en une suite donne

dzfdz\ i + zz-\-