Mémoire sur la résolution générale des équations d'un degré quelconque

Dans deux lettres écrites de Goritz, en janvier 1887, à MM. Libri et Coriolis, et qui ont été imprimées en partie dans les Comptes rendus des séances de l’Académie, du i3 février et du 5 mars de cette année, j’ai donné l'énoncé de plusieurs théorèmes d’analyse, qui conduisent à des méthodes nouvelles très propres à faciliter la résolution générale des équations de tous les degrés. Ces théorèmes ont excité l’attention de plusieurs géomètres distingués, qui m’ont pressé vivement d’en publier les démonstrations. Je satisfais aujourd’hui à leurs désirs par ce petit mémoire, qui n’est qu’un extrait d’un plus grand travail.

1®' Théorème, t désignant une variable réelle ou imaginaire, une fonction réelle ou imaginaire de t, représentée par x, sera développable en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de t, tant que le module de t conservera une valeur inférieure à celle pour laquelle la fonction x cesse d’être finie et continue.

Démonstration. On peut voir une démonstration de ce théorème dans

l’extrait lithographié du mémoire présenté à l’Académie de Turin, le 1 1 octobre i83i ( partie, § 2, pages 6 et y). Seulement les lettres i et a: se trouvent remplacées dans le mémoire dont il s’agit par les lettres X et /

(*) Voici cette de'monstratiou :

Soit Æ=f(t) une fonction de la variable /, etr une valeur imaginaire de cette variable dont le module soit T, en sorte que l’on ait

Supposons que la fonction f(r) et ses de'rivées successives f'(T) , f"(T)... f("^(T) ,

soient finies et continues , quel que soit , pour une certaine valeur de T , et une valeur plus petite. En intégrant les deux membres de l’équation identique

df(T) I

entre les limites p ~ — '7r,p-=ir-, les résultats de ces deux intégrations seront égaux , à cause de la continuité de la fonction entre ces limites , et l’on aura

df(r)

dp

1° par rapport à T, à partir de T = o ; par rapport à p

puis si f(o) = O ,

fl„ àp — O -,

si ayant égard à l’équation dr = T-d/? \/ — 1, et aux équations connues

J' e"P dp dp = O , J' dp=2;r,

dp, on en conclura

J —rrT’' ^ nj ^ n.{n — i) J ^ i .i.Z. . .nj

on a

donc

nie , ^ . , • fW — f(0

Si dans l’équation J f(T)dp = o, on remplace f(T) parle produit t

tétant différent de t et le module de t inférieur à T, on aura

Corollaire. Supposons que x soit une fonction implicite de déterminée par la résolution d’une certaine équation

, dans laquelle t entre comme paramètre. Si la fonction x reste finie pour

et par suite

Le rapport est la. somme de la progression géométrique ï , - , — , etc. , qui est

toujours convergente tant que le module de t reste inférieur au module T de r ; donc f {t) sera développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de t, si le module de la variable réelle ou imaginaire t, conserve une valeur inférieure à celle pour laquelle la fonction f (t) cesse d’être finie et continue. Ce qu’il fallait démontrer.

Ajoutons encore ici ces deux remarques importantes : le terme général du développement obtenu pour f {i) , sera

I Z’ If Z» Z»

donc lorsque la fonction f (<) sera développable en série convergente , on aura

m = f (O) -P 1 f ' (O) + ^ f"(o) + etc. ,

conformément au théorème de Maclaurin ou de Stirling.

2°. On a généralement

on aura par conséquent

+ + h fl, 7^=4^)

donc le reste de la série de Maclaurin, prolongée jusqu’au terme, sera

f(T)dp;

or, si l’on nomme 6 le module de t et A f (r) , la limite du module de f(T) , c’est-à-dire la plus grande valeur que ce module puisse acquérir quand on y fait varier l’angle p

sans changer le module T,

le module de la fonction ;; f (r) sera tou-

des valeurs finies de elle ne cessera généralement d’étre continue qu’en devenant multiple. Cela posé, soient

(2; a-, X + Ax,

deux racines de l’équation (i) : on aura

jours inférieur à ■■ A f(T) , donc rinlégrale— / - f(T)dp, ou

le reste delà série, sera toujours inférieur à la quantité — a[(t), qu’il

sera facile d’évaluer dans chaque cas particulier.

On serait arrivé au même résultat, en observant que le module du terme général

de la série —J — f (t) dp sera toujours inférieur à f — J A f(T), c’est-à-dire au terme

général de la progression géométrique qui a pour somme ^ Af(T) et dont le reste

/in

A f (r) surpassera par conséquent le reste de la série de Maclaurin.

En appliquant ces principes aux fonctions cosi, sin/,e',e'’, cos (i — qui ne cessent jamais d’être finies et continues, on en conclura qu’elles seront toujours développables en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de t.

Au contraire les fonctions (i -j-/)?, ^ ^ ^ — =p qui, lorsqu’on attribue à l

une valeur imaginaire de la forme TeP'^~‘ cessent d’être fonctions continues de t au moment où le module T devient égal à i , seront certainement développables en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de la variable i si la valeur réelle ou imaginaire de l offre un module inférieur à l’unité. Enfin comme les fonctions

q, , cos - deviennent discontinues pour une valeur nulle de t, par conséquent

CG t

lorsque le module de t est le plus petit possible , elles ne seront jamais développables en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de t.

Si l’on considère en particulier, et comme application de la méthode, les fonctions e',(i + 0“% on trouvera pour limites supérieures aux modules du terme général de la série qui représente le développement de ces fonctions et des restes qui les complètent :