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pou.' la première (-j

pour

seconde — 6" , —

n(i — 6) — nô n"a'

Ces résultats sont une première application du calcul que M. Cauchy a appelé calcul des limiles.

(Note extraite du Mémoire lithographié, du ii octobre i83i.)

et par suite (3)

Or, si, pour une certaine valeur réelle ou imaginaire de t, les racines X, X 4- Aj? se confondent, en faisant converger t vers cette valeur, pour laquelle l’équation (i) acquerra une racine double ou multiple, on verra l’équation (3) se transformer en cette autre

Ainsi, lorsque le paramètre t obtient une valeur pour laquelle l’équation (i) acquiert une racine double ou multiple, cette racine est commune à l’équation ''i) et à sa dérivée. Cela posé, si l’on nomme valeurs principales du paramètre t celles qui donnent des racines communes à l’équation (i) et à sa dérivée, on déduira immédiatement des remarques précédentes, jointes au théorème 1®% la proposition que nous allons énoncer.

» 2' Théorème. Toute racine d’une équation est généralement développable suivant les puissances ascendantes d’un paramètre renfermé dans l’équation dont il s’agit , tant que le module de ce paramètre reste inférieur aux modules de toutes ses valeurs principales.

Corollaire. Soient

plusieurs racines réelles ou imaginaires de l’équation (i). Pour de très petites valeurs du module d’un paramètre t compris dans cette éc|uation, chacune des racines a, .... sera généralement développable suivant les puissances ascendantes de et l'on pourra en dire autant de la somme de ces racines et de la somme de leurs puissances entières d’un degré quelconque. Si le module de t venant à croître, deux ou plusieurs racines, par exemple, a et ou a, Ç, et y, etc.,... deviennent égales entre elles, pour une certaine valeur du module dont il s’agit ; à partir de cet instant, les racines et, € ou ce, C , y , ... . cesseront d’étre fonctions continues de t, et séparément développables suivant les puissances ascendantes de t. Mais la somme de ces racines, ou la somme de leurs puissances semblables ne cessera pas d’étre fonction continue du paramètre t, et développable suivant les puissances ascendantes de ce paramètre; et il en sera ainsi jusqu’au moment où l’accroissement progressif du module de t rendra l’une

(les racines que renferme le groupe (a, ë) ou (a, ë, . équivalente à

une ou plusieurs autres racines non comprises dans ce même groupe. Alors ces dernières, et celles qui pouvaient déjà s’être groupées avec elles, formeront avec les premières un nouveau groupe composé d’un plus grand nombre de racines, dont la somme sera encore développable, ainsi que la somme de leurs puissances semblables, en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de t. D’ailleurs, lorsqu’on connaît la somme de plusieurs racines a, y,. . . de l’équation (i), et la somme de leurs puissances semblables d’un degré représenté par un nombre entier quelconque , on peut aisément développer suivant les puissances descendantes de x, le logarithme du produit

par conséquent, ce produit lui-même, et former une nouvelle équation dont ce, ë,yj. . . soient les seules racines. Il importe d’observer à ce sujet que , pour obtenir tous les termes du produit en question , il suffit de prolonger le développement de ce produit, et, par conséquent , le développement de son logarithme jusqu’au terme dans lequel l’exposant de^ est

égal au nombre des racines et, ë , y,. . . Cela posé , les principes que nous venons d’établir conduisent immédiatement au théorème suivant.

3® Théorème. Soit t un paramètre renfermé dans le premier membre de l’équation (i). Tant que le module de ce paramètre restera inférieur aux modules de toutes ses valeurs principales, les racines distinctes de l’équation (i) seront séparément développables en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de t. Supposons d’ailleurs que, le module de t venant à croître , on distribue en divers groupes les racines de l’équation (i), de telle sorte que , dans l’origine , le nombre des groupes soit égal au nombre des racines distinctes, et que plus tard deux groupes se réunissent en un seul au moment où deux racines qui appartiennent respectivement à ces deux groupes deviennent égales entre elles pour un module donné de t correspondant à une certaine valeur principale de ce paramètre. Le nombre des groupes de racines se trouvera complètement déterminé pour chaque valeur particulière attribuée au module de t, et l’équation (i) pourra être décomposée en plusieurs autres dont chacune fournisse séparément les diverses racines comprises dans un seul groupe.

Corollaire i®®. Dans les démonstrations des théorèmes 2 et 3, nous

avons implicitement supposé que les racines, et les sommes de diverses racines de l’équation (i), ne cessaient d’être fonctions continues de t qu’au moment où deux ou plusieurs de ces racines devenaient égales entre elles. C’est ce qui a lieu, par exemple, lorsque l’équation (i) est de la forme

(5) n (a-) 4- tzsix) — O ,

«cr(x) et n(a:) désignant deux fonctions entièies àex, et le degré de la fonction n (a:) étant supérieur à celui de la fonction <z«r(x). Si le degré de devenait inférieur à celui de fZ!r(x), une ou plusieurs racines de

l’équation (5) deviendraient infinies, par conséquent discontinues pour ^ = o; et, si l’équation (i) n’était pas de la forme (5), ou si elle devenait transcendante , on conçoit que des valeurs particidières de t pourraient encore rendre une racine infinie ou discontinue , sans donner des racines communes à l’équation (5) et à sa dérivée. Il sera généralement facile de voir quelles sont les restrictions ou modifications qui doivent être apportées aux théorèmes 2 et 3 dans des cas semblables. Ainsi , par exemple , dans le cas où la fonction n (oc) que renferme l’équation (5^ , offrira un degré inférieur à celui de <îjr(x), on pourra encore développer les racines qui deviendront infinies pour t = o, en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de t; seulement, les premiers termes de ces séries renfermeront des puissances négatives de comme on peut s’en assurer en développant suivant les puissances ascendantes entières ou fractionnaires du paramètre t, les racines des équations

X — I -p iX^ — O, X — I -j- tx^ = O.

Corollaire 2*. Il est important d’observer que le 3® théorème appliqué à l’équation (5), peut aisément se déduire de la formule (29) (page j3) du Mémoire de 14 pages, lithographié à Turin, sous la date du 17 décembre i83i Pour y parvenir, il suffit de remplacer, dans cette formule, F(z) par une puissance entière dez, et <ar(z) par t<w(z) y d’écrire d’ailleurs, au lieu àex, dans l’équation (5j,

(*) Cette, formule 29, dont la démonstration ne peut trouver place ici , exprime, au moyen d’une série convergente , la somme des racines ou des puissances semblables des racines d’une équation f(T) = o, et contient, comme cas particulier, la série de Lagrange, que M. Cauchy emploiera de préférence dans la suite de ces recherches.

en considérant les variables j, comme propres à exprimer deux coordonnées rectangulaires, et substituant à l’équation (5) la suivante

n(j: 4- ») + + jri/— 0 = O,

t = + jV^) .

puis de construire les différentes courbes représentées par l’équation

(8) T = inod. n(x4-

<cr (x + jy—l)

T désignant le module du paramètre t. Pour T = o, cette équation représentera autant de points que la suivante

(9) n(z)=o, ou n(x -j- j-y'—i) = O,

offrira de racines distinctes. T venant à croître, chacun de ces points sera remplacé par une courbe fermée, qui s’étendra de plus en plus; et les différentes courbes resteront isolées et indépendantes les unes des autres, jusqu’au moment où, le module T acquérant une de ses valeurs principales, on verra deux ou plusieurs courbes se réunir en un point multiple, pour se réduire plus tard à une seule et même courbe. Il peut aussi arriver que le périmètre d’une courbe vienne à se rencontrer luimême en un certain point , ou que deux courbes distinctes se rencontrent en deux points, de manière à se transformer ensuite en deux courbes d’espèce différente , dont l’une s’élargisse et l’autre se rétrécisse de plus en plus. Ainsi, parmi les courbes représentées par l’équation (8), pour une valeur quelconque du module T, on pourra distinguer des courbes de première espèce, qui s’élargiront, et des courbes de seconde espèce qui se rétréciront, pour des valeurs croissantes de ce module. Lorsque T deviendra infiniment petit, les seules courbes qui subsisteront seront des courbes de première espèce, dont les périmètres s’étendront à de très petites distances des points représentés par l’équation

(9) n (.r 4- — 0 = O, ou n(z) = o;

pourvu que l’on suppose , comme on l’a dit , le degré de la fonction n(.r)

(^) Les initiales inod. placées devant une expression imaginaire, indiquent son module.

supérieur au degré de fzs-(x). Au contraire, lorsque T deviendra infiniment grand, les seules courbes qui subsisteront seront des courbes de seconde espèce, dont les périmètres s'étendront à de très petites distances des points représentés par l’équation

(lo) = ou ^(z) = O,

et une seule courbe de première espèce, dont le périmètre sera très considérable , et s’étendra à de très grandes distances tout autour de l’origine des coordonnées. Pour une valeur quelconque du module T de f , le nombre des courbes de première espèce, ou du moins le nombre de celles qui ne se trouveront point enveloppées de tous côtés par d’autres courbes de même espèce, sera précisément le nombre des groupes de racines mentionnés dans le 3' théorème, et la formule (2g) du mémoire lithographié déjà cité, fournira le moyen de développer suivant les puissances ascendantes de t, la somme des puissances semblables des racines de l’équation (5) correspondante à un même groupe. On pourra d’ailleuis supposer que le contour OO'O".... dont il est question dans ce mémoire , se réduit successivement à chacune des courbes de première espèce, non enveloppées par d’autres, et représentées par l’équation (8) au moment où le module T est sur le point d’acquérir une des valeurs principales (*), pour lesquelles deux ou plusieurs courbes de première espèce se réunissent , savoir , celle de ces valeurs principales qui est immédiatement supérieure au module de la valeur réelle ou imaginaire effectivement attribuée à t dans l’équation (5). Gela posé, on reconnaîtra sans peine que les derniers termes de chaque série convergente finiront par être ou sensiblement proportionnels ou inférieurs à ceux d’une progression géométrique décroissante, dont la raison serait le rapport entre le module effectivement attribué à i, et la valeur principale de T.

En opérant comme on vient de le dire , on se procurera le moyen de décomposer l’équation (5) en plusieurs équations particulières dont le nombre soit égal au nombre des groupes de racines mentionnées dans le théorème (3) ou même au nombre des courbes de première espèce, enveloppées ou non enveloppées par d’autres. Il y a plus , si l’on fait usage, non-seulement des développements ordonnés suivant les puissances ascendantes de tj mais

(*) Nous appelons, pour abréger, valeurs principales du module T, les modules des valeurs principales de t.

f lO )

encore des développements ordonnés suivant les puissances descendantes de ou ascendantes de ÿ , on pourra évidemment décomposer l’équation (5), pour une valeur donnée du module T de ert autant d’équations particulières qu’il y aura de courbes distinctes soit de première, soit de seconde espèce , correspondantes à cette valeur. Car, lorsqu’une courbe en enveloppera d’autres, on pourra déterminer la somme des racines de l’équation (5) correspondantes à des points situés sur ces diverses courbes, avec la somme des puissances semblables de ces racines, soit en tenant compte, soit en faisant abstraction des points situés sur la courbe-enveloppe, et obtenir eu conséquence la somme des racines correspondantes aux seuls points situés sur la courbe-enveloppe, avec la somme de leurs puissances semblables. Ce n’est pas tout, si l’une des équations (9) ou (10) admet des racines égales, on pourra développer séparément chacune des racines correspondantes de l’équation (5) suivant les puissances ascendantes et

fractionnaires de ioude lorsque le module T du périmètre t sera inférieur ou supérieur aux modules de toutes ses valeurs principales. Ainsi , par exemple, si l’équation (9) offrant m racines égales à a, le module T de t est inférieur à tous les modules principaux de ce paramètre, alors en posant

On pourra développer chacune séparément, suivant les puissances ascendantes de T, celles des racines de l’équation (5) qui deviendraient égales à a pour i = o. Cette proposition se déduit immédiatement du théorème 2*, lorsqu’on applique ce théorème à l’équation (5) résolue par rapport à t.

Les variables x et t étant supposées liées entre elles par l’équation (5) , les valeurs principales de t vérifieront à la fois cette équation et sa dérivée

(12) n' (x) tzr' {x) = O.

Et les valeurs correspondantes de la variable x^ c’est-à-dire les valeurs principales de a:, seront déterminées par la formule :

ou nw n'(x)

Si, dans cette dernière on écrit \/ — .1 au lieu de a:, on obtiendra

l’équation

ïr(X+J-V/— 1) = ïr'(x-fy y/ — 0 ’

( lï )

à laquelle satisferont les coordonnées x^j des points de réunion ou de séparation des courbes de première ou de seconde espèce représentées par la formule (8).

Observons encore que, dans le cas où les fonctions fl {x\fîff{x) sont de forme réelle, l’équation (8) peut s’écrire comme il suit :

(i5) njx—jy'—i')

^(x+j\/ — i) ^{x—jr\/—iy

Si l’on pose pour abréger,

=fw,

les équations (12), (i3) dont le système détermine les valeurs principales de t et de x, se réduiront à

t=:{(x), f' (xJ = O.

Par suite les courbes de première et de seconde espèce, correspondantes à un module donné T du paramètre/, seront représentées par l’équation

(i8) T=: inod. — 1)>

OU, si £(2:) est de forme réelle , par l’équation

(19) T<^=z({x+jr

et les coordonnées des points de réunion ou de séparation de ces mêmes courbes satisferont à la condition

(20) f (cr-Pj-v/ — 0= O.

C’est au reste, ce que l’on peut démontrer encore comme il suit :

Si, pour une valeur donnée de T, deux branches de courbes se réunissent en un point, ou pourra couper ces deux branches dans le voisinage du point de réunion par une droite parallèle àcellequi a pour équation^=6x, 6 étant une constante choisie arbitrairement, et satisfaire à l’équation (19), non-seulement par les valeurs dex, j relatives au point de la droite situé sur la première branche de courbe , mais encore en substituant à ces valeurs les coordonnées du point situé sur la seconde branche, que je supposerai désignées par x-f- Ay, la différence finie A/ étant de la forme

(21) Lj =r ÙAx.

Cela posé, si l’on nomme u le logarithme du produit

l’équation (ig) donnera non-seulement

(32) U = 2log.T,

mais encore

(23) Auz=zo, ou — = 0;

puis on conclura des formules (21) et (22), en faisant converger /^x vers la limite zéro,

du d« djT t\jr

quel que soit 9 ; par conséquent

du du

Or, il est aisé de voir que ces dernières équations entraînent les deux formules

(25) f'(T— jrt/— l) = 0.

C’est à peu près ainsi que j’avais établi à Turin la formule (i4)» laquelle j’avais déduit le théorème 2®, et les autres théorèmes énoncés dans la Gazette de Piémontàw 22 septembre i832.

Si, dans l’équation (19), on attribue à les valeurs qui correspondent au point de réunion ou de séparation de deux courbes , puis d’autres valeurs très voisines correspondantes à un second point situé sur l’une des courbes et très rapproché du premier; en nommant s l’arc compté à partir du point de réunion ou de séparation, et prenant cet arc s pour variable indépendante, on trouvera que dans le passage du premier point au second, le logarithme du second membre de l’équation (19) reçoit un accroissement qui, eu égard aux formules (aS), est sensiblement proportionnel à

r f"(a:-fj-\/^)

\^i{x-{-r\/ — ij ((x — j-\/ — i)J\di’‘ d^v

, da: r T

^ ^ dx dj * L f(r -f- J'V/ — >) — jV^ — 0 — *

En égalant cet accroissement à zéro, on obtiendra une équation qui fourdy

nira pour ^ deux valeurs dont le produit sera — 1; d’où il suit que deux

branches de courbe, en se rencontrant, se couperont à angles droits. On prouvera pareillement que, si n branches de courbe se réunissent au même

point, leurs tangentes en ce point comprendront entre elles des angles dont chacun sera le quotient de deux angles droits par le nombre n. En effet,

si l’on pose ^ = 9, la valeur de 9, relative au point dont il s’agit, sera

donnée par une équation de la forme cos {c -{-w9) = o, c désignant une quantité qui ne variera pas dans le passage d’une courbe à l’autre, et rendra le binôme cos c -\- \/ — i sin c égal au quotient qu’on obtient quand

on divise l’expression imaginaire par le module de

cette même expression.

Si l’on pose

S et P désignant deux fonctions réelles de l’équation (18) donnera

simplement

D’ailleurs on déduira de l’équation (26) les formules

djr ' dzj

\ dx^ ~f~ r 1

J ’ dj-'^ dy^ ’ dy

et, en vertu de celles-ci, jointes à l’équation (20), on aura, pour chaque valeur principale de T ou de S ,

dx~~ ’ djr ~ dÿ ~ ~~ Ix^'

Donc, généralement, chaque valeur principale de T ou de S sera tout-à-lafois un maximum relatif kx, et un minimum relatif à j-, ou un maximum relatif à y, et un minimum relatif à x.

On prouvera encore aisément que, si la fonction f(x) étant de forme réelle, on prend T* pour l’ordonnée d’une surface courbe, les coordonnées x,f d’une ligne de plus grande pente tracée sur cette surface vérifieront l’équation

{(x — jr [/—l)

= constante.

Les principes que nous venons d’établir fournissent, pour la résolution

des équations les méthodes indiquées dans ma lettre du ag janvier 1837. Si l’on veut maintenant obtenir les propositions énoncées dans ma lettre du 24 février, il suffira de remplacer les équations (17), (18), (19) par les suivantes :

i :^K — f(r), £'(x)=io, T = mod. [K — fx (+ V^=:7)] ,

T“ = [R- + [K - e— V/=Tf(x-jr V^^)] »

R, <ar, désignant deux quantités réelles, et le paramètre t ne différant pas de celui que nous avons désigné par i dans la lettre en question. La discussion des courbes représentées par la formule

T‘ = [K - +jv/=7)] [K -

n’offrira pas plus de difficulté que celle des courbes représentées par la formule (i5) ou (19) et cette discussion jointe aux formules établies dans le mémoire lithographié sous la date du 17 décembre i83i, fournira les méthodes présentées dans ma lettre du 24 février pour la résolution de l’équation f (jc) = o.