S IV

J’ajouterai ici une observation relative au 6' théorème du § II.

Dans ce théorème, n(x), '3r(a:) représentent deux fonctions entières, la première du degré «, la seconde du degré m<^n. Or, si l’on pose

les équations n(x)==o, iar(jc) = o, pourront être présentées sous les formes

(22) f(x) = O, (23) f(x) := OU = O,

tandis que les équations

n (x) — iV (x) — O , n (x) + iV(.r) = O ,

deviendront

et l’équation (aS) sera évidemment vérifiée par x = ^ = ± cc. Cela

posé, le théorème que je viens de rappeler pourra s’énoncer comme il suit :

3* Théorème. f(xj étant une fraction réelle et rationnelle qui devient infinie pour des valeurs infinies de x, supposons que les racines réelles des équations (aa) et (aS), rangées par ordre de grandeur , composent la suite :

(26) —00, ti, S, y,.* A, fl, y, 00.

Soit d’ailleurs i une quantité positive. Deux termes consécutifs de la suite (a6) comprendront entre eux un nombre pair ou impair de racines réelles d’une seule des équations (a/j), (aS), savoir, un nombre impair, si ces deux termes sont racines, l’un de l’équation (22), l’autre de l’équalion (aS), et un nombre pair, qui pourra se réduire à zéio , dans le cas contraire. De plus, si, dans la suite (26), on nomme premier intervalle l’intervalle compris entre les deux premiers termes , second intervalle, l’intervalle compris entre les 2® et 3' termes; troisième inter-voile, l’intervalle compris entre les 3® et 4' termes , etc. ... ; les racines réelles de l’équation (24) ne pourront être comprises que dans les 1", 3®, 5'... intervalles, lorsque n — m sera un nombre pair, et

clans les 2% 4% 6'... intervalles, lorsque n — /n sera impair. Ce sera Vinverse pour l’équalion (aS). Si les équations (22), (23) avaient des racines égales, il faudrait en tenir compte pour ne pas diminuer le nombre des intervalles, alors quelques-uns de ces intervalles se réduiraient à zéro.

Démonstration. Pour démontrer ce théorème , il suffit de construire les diverses branches de la courbe dont les coordonnées x.,y vérifient l’équation

y = fW-

Au reste, après avoir ainsi obtenu du 3* théorème une démonstration géométrique, on pourra aisément la traduire en langage algébrique. Pour y parvenir, il suffira de recourir aux propriétés des fonctions continues , et d’observer que la fonction f(x) reste continue entre deux valeurs réelles de x propres à vérifier l’équation (23).

Exemple. Pour montrer une application du 3* théorème, supposons que l’on considère l’équation du quatrième degré -

(27) art — -f 4x" -f X — 4 =

déjà traitée par Fourier, et qui ne peut offrir au plus que deux racines réelles, attendu que sa dérivée du second ordre

offre deux racines imaginaires. L’équation (27) pourra être présentée sous l’une quelconque des formes

xt — x’ 4x'‘ -P X — 4

xt — ■ X^ -f- 4x*

xt-f- 4x''‘ — 4

Gela posé , en prenant

on trouvera, pour racines de l’équation f(x) = o.

pour racines de l’équation f (2?) = ^ ,

et ces racines ou valeurs de x rangées dans leur ordre de grandeur,

composeront la suite

— oo, — I,i33..., O, O, O, I, 0,883..., i, oo, les valeurs correspondantes de la fonction f(x) étant

Comme d ailleurs, dans l’équation (28), la différence entre les degrés du numérateur et du dénominateur du premier membre est un nombre pair 4 — 2= 2, et le second membre négatif; les racines réelles de cette équation ne pourront être comprises que dans les 2', 4% 6' intervalles. De plus, eu égard à la série des valeurs de f(x); le second et le 6' intervalles comprendront un nombre impair de racines réelles, et le 4' un nombre pair de racines réelles qui pourra se réduire et se réduira certainement à zéro, l’équation (27) n’ayant pas de racines nulles. Donc, la proposée offrira au moins deux racines réelles, l’une négative, comprise entre les limites — i,i33 et o, l’autre positive , comprise’ entre les limites o,883 et i. D’ailleurs, d’après ce qu’on a dit, elle n’en aura point d’autres.

En posant

on obtiendrait pour racines réelles des équations (22), (23) cinq valeurs les quantités

correspondantes aux valeurs

de f(x). Ici, la différence entre les degrés du numérateur et du dénominateur de f(x) étant un nombre impair 4 — 1=3, les racines de l’équation (29) devront être renfermées dans le premier et le troisième intervalles. Donc, cette équation admettra une racine négative et une racine positive inférieure à 4 , ce que l’on savait déjà.

Enfin , si l’on prend

IFZ-t

comme on aura sensiblement

on obtiendra pour racines réelles des équations (22), (aS) sept valeurs de Xf savoir, les quantités

correspondantes aux valeurs

Il 1 II

de la fonction f(j::‘) ; et, comme le second membre de l’équation (3o) est positif, tandis que la différence entre les degrés du numérateur et du dénominateur de la fraction f(x) est ici un nombre impair 4 — 3=i, on conclura du 3* théorème que les racines de l’équation (3o) doivent être cherchées dans les a*, 4* ^t 6* intervalles , et qu’en conséquence cette équation offre au moins une racine négative supérieure à — 0,91 et une racine positive inférieure à 0,91.

En résumé, il suit de tout ce qu’on vient de dire, que l’équation (27) offre seulement deux racines réelles, l’une négative, comprise entre les limites

— I et — 0,91 ,

l’autre positive , comprise entre les limites

0,883 et 0,91.

Ce théorème conduit à l’une des méthodes pour la résolution des équations de tous les degrés, indiquées dans la lettre du 29 janvier, et qui consiste à partager le premier membre de l’équation donnée en deux polynômes , dont l’un est multiplié par un paramètre que l’on peut rendre égal à l’unité. Les racines des équations auxiliaires ainsi obtenues , servent , comme on l’a vu , de limites aux racines de l’équation cherchée. Or, n étant le degré de l’équation donnée, il est clair qu’on pourra toujours réduire le degré de chacune des deux équations auxiliaires à un nombre égal ou inférieur à la moitié de ?i. Par exemple, on ramène la résolution d’une équation du cinquième degré à celle de deux équations du second degré ; celle des équations trinômes à celle des équations binômes , etc.

Les principes établis dans les paragraphes qui précèdent, fournissent des méthodes générales pour la résolution des équations de tous les degrés. En suivant l’une de ces méthodes fondée sur le troisième théorème, page 24, on développe immédiatement chaque racine d’une équation en série convergente, lorsque toutes les racines sont réelles, et l’on peut toujours ramener la question à ce dernier cas, en se débarrassant, comme on l’a expliqué, des racines imaginaires. Mais quoique, sous le point de vue théorique, cette méthode ne laisse rien à désirer, il peut être avantageux de lui substituer, dans la pratique, l’une des autres méthodes qui se déduisent des principes ci-dessus exposés, et en particulier celles. qui se fondent sur plusieurs théorèmes que je vais énoncer en peu de mots.

Considérons une équation du degré n. On pourra la réduire, même d’une infinité de manières, à la forme

(p(x) désignant une fonction entière ou fractionnaire, et i un paramètre réel ou imaginaire. Or, comme je l’ai fait voir, la résolution de cette équation pourra toujours être ramenée, pour de très petites valeurs de t, à la résolution de l’équation auxiliaire

et, pour de très grandes valeurs de i, à la résolution de l’équation auxiliaire

Il y a plus; si l’on nomme valeurs principales de x celles qui vérifient l’équation dérivée

sans vérifier l’une des deux équations auxiliaires, et modules principaux de i=(pÇx), ceux qui répondent aux valeurs principales de x; toutes les racines de la proposée seront dév eloppables suivant les puissances ascendantes ou descendantes du paramètre i, lorsque le module donné de ce paramètre sera inférieur ou supérieur à tous ses modules principaux. Enfin, si l’on fait correspondre à chaque expression imaginaire un point situé dans

un plan donné, en prenant la partie réelle et le coefficient de \/ • — i pour l’abscisse et l’ordonnée de ce point, les expressions réelles correspondront toujours à des points situés sur l’axe des abscisses, et les diverses valeurs de a:, propres à résoudre l’équation

tp{x) = i,

pour un module donné de i, correspondront à des points situés sur un système de courbes qui pourront être de deux espèces différentes. Nous avons nommé courbes de première espèce celles qui s’élargissent , et courbes de seconde espèce celles qui se rétrécissent, pour une valeur croissante du module de i; et nous avons fait voir que l’équation proposée peut toujours être décomposée en autant d’équations partielles qu’il y a de courbes distinctes. Or, si la fonction (p[x) étant de forme réelle , on attribue au paramètre i une valeur réelle, chacune des courbes traversées par l’axe des abscisses, étant symétrique par rapport à cet axe, ne pourra le couper, en plus de deux points, hors le cas des racines égales. Donc alors chacune des équations partielles offrira au plus deux racines réelles. Ainsi se trouve établie la proposition suivante :

Théorème. En supposant résolues les équations auxiliaires

on peut généralement décomposer une équation de la forme

en équations partielles dont chacune offre au plus deux racines réelles.

Corollaire. Si la proposée a toutes ses racines réelles, elle sera immédiatement décomposable en facteurs réels du premier ou du second degré.

A ce théorème on peut en joindre plusieurs autres dont je vais transcrire les énoncés , me réservant d’en offrir la démonstration dans une autre occasion.

2® Théorème. Si l’on donne successivement à la fonction <p{pc) les deux formes

f{x) désignant une fonction entière de forme réelle, et k une constante réelle ou imaginaire dont le module surpasse tous les modules principaux de f{x)\ si d’ailleurs on suppose inégales entre elles les racines de l’équation

cette équation, que l’on pourra présenter sous Tune quelconque des formes

en donnant au paramètre i la valeur k, offrira, sous Tune de ces formes, au moins une racine développable suivant les puissances ascendantes de i. On pourra d’ailleurs, dans l’hypothèse admise, développer suivant les puissances descendantes de k les racines de chacune des équations auxiliaires

3® Théorème. Les mêmes choses étant admises que dans le théorème précédent, si l’on forme divers groupes avec les racines de l’équation

présentée d’abord sous la forme

puis sous la forme

en composant chaque groupe des racines qu’il est indispensable d’ajouter entre elles pour obtenir une somme développable en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de i] deux racines distinctes ne pourront en général se trouver réunies dans le premier cas, sans être séparées dans le second , ni réunies dans le second cas , sans être séparées dans le premier.

Corollaire. Après avoir développé toutes les racines de chacune des équations

suivant les puissances ascendantes de /, et calculé les sommes formées par l’addition des développements qu’il est nécessaire d’ajouter entre eux pour obtenir des séries convergentes; il suffira, pour obtenir chaque racine, de réunir entre elles plusieurs de ces sommes , prises les unes avec le signe + , les autres avec le signe — .

Exemple. Si, l’équation proposée ayant toutes ses racines réelles, on suppose la constante k réelle et positive, les développements correspondants aux racines réelles des équations auxiliaires seront convergents , ainsi que la somme des développements correspondants à deux racines imaginaires conjugées. Cela posé, si l’on nomme

les racines réelles rangées par ordre de grandeur, et si, n étant le degré de l’équation donnée, on suppose le premier terme de f{pc) réduit à j:*, alors, pour des valeurs paires dex, l’équation auxiliaire

fournira le moyen de calculer les racines æ, avec les sommes

6 q c, rfq-e, . . ./+ g,

tandis que l’équation auxiliaire

fournira le moyen de calculer les sommes

Au contraire, si n est impair, la première équation auxiliaire fournira la racine Æ, avec les sommes a + c d , . . . f-\- et la seconde, la racine a , avec les sommes b~{- c , c/-f-e, ... h. Dans l’une et l’autre hypothèse, on obtiendra immédiatement la plus petite et la plus grande racine , les autres étant données par les formules

b = {a-\- b) — a, c = {b c) — (a + ^ > etc . . .

Errata.

Page 4°» conduit, lisez se rattache

au lieu de consiste , lisez consistait