B* — AC

Si l’on suppose, par exemple,

on tirera des formules (7) et (ii)

Donc l’équation du 4” degré , dont les racines vérifient la condition (12), est la suivante :

ce dont il est facile de s’assurer directement. Si l’on eût supposé

on aurait tiré des équations (7) et (10)

A = i, B=o, C = o, Dmo; a, = — 1 , 03= — a,, «4 = 0,

la valeur de restant indéterminée, comme l’indique la seconde des formules (11). Effectivement, les racines de l’équation

(15) — x^-{-a,(x’‘ — x) = O, ou (x* q- a,) (x® — x) = o,

c’est-à-dire les quantités o, i jointes aux racines dea:* + rt, = 0, qui sont égales, au signe près, vérifient toujours les conditions (i4)- H y a plus : pour que les formules (11) fournissent des valeurs indéterminées de a, y Æ», <^3 , , il faut que l’on ait

et l’on trouve alors que l’équation , dont les racines correspondent aux valeurs données de s,, S3, Sÿ, , peut s'écrire comme il suit :

(16) + -f Ax — O.

Or, cette dernière équation se partage en deux autres dont l’une offre encore des racines égales, au signe près, mais affectées de signes contraires. Au reste , on peut démontrer généralement la proposition suivante.

a* Théorème. Lorsque, étant données, pour une équation du degré m, les sommes des puissances semblables des racines de degrés impairs, les formules qui servent à en déduire les coefficients de l’équation ,

laissent quelques uns de ces coefiicients indéterminés, on peut affirmer que l’équation proposée offre des racines égales , au signe près , mais affectées de signes contraires.

Démonstration. Supposons, en effet, qu’étant donnés les divers termes de la suite

prolongée aussi loin que l’on voudra , on n’en puisse , à l’aide des formules (7) et (g), déduire complètement les valeurs des coefficients

de l’équation (i); en sorte qu’un ou plusieurs de ces coefficients demeurent indéterminés. Si l’on nomme R le plus grand des modules c[ue présentent les racines de l’équation (i) , la somme offrira un module inférieur à

mR" ,

et par conséquent la série qui compose le dernier membre de l’e'quation (5) sera convergente pour un module de z inférieur à Cela posé, concevons que l’on attribue successivement z, m valeurs particulières dont les modules soient inégaux et inférieurs à On pourra

calculer les valeurs correspondantes du second membre de la formule (4); et, par suite , si l’on nomme u la fraction comprise dans le premier membre, c’est à-dire si l’on pose, pour une valeur impaire de m,

OU, pour une valeur paire de m,

^ a, -4- gjz^ -j- asz^ 4- P

“ “ I -f- fljZ» -f- a^zt -p. . .-P ’

on connaîtra m valeurs de la fraction rationnelle u. On doit en conclure que cette fraction rationnelle aura une valeur complètement déterminée pour chaque valeur donnée de z, quoique, d’après l’hypothèse admise, les coefficients a,, ne soient pas tous complètement

déterminés. En effet , représentons le numérateur et le dénominateur de la fraction dont il s’agit , par

pour un premier système de valeurs attribuées aux coefficients rt, , ,

^3,. . . rtm-., dm-, et par

pour un second système de valeuis des mêmes coefficients. L’équation

qui se trouvera vérifiée pour m valeurs particulières et inégales de z et de Z*, pourra s’écrire comme il suit :

et comme cette dernière équation sera du degré "im— 2 par rapport à z , par conséquent du degré in — i par rapport à z*, elle ne pourra être vérifiée par m valeurs particulières et inégales de z®, sans devenir identique. (Voyez \ Analyse algébrique.) Par conséquent, m valeurs particulières de la fraction rationnelle w, correspondantes à m valeurs particulières et inégales de z et de z®, détermineront complètement la valeur généi ale de cette même fraction. Donc, cette valeur générale pourra encore se déduire des valeurs supposées connues des divers ternies de la série (17); et l’on pourra en dire autant de la fraction rationnelle suivante :

I — HZ 1 — a^z -J- a^z' ■ — . . .zt «mZ'" '

D’ailleurs, quand on pose, dans cette dernière z — elle devient

(xq-a)(ar-t-é)(.r-fc). . .{x+h)‘

Donc cette dernière fraction sera elle-même complètement déterminée, ainsi que les valeurs de x qui la rendront nulle ou infinie. Or,

étant les racines de l’équation (i), si, parmi ces racines, on ne peut en trouver deux qui soient égales, au signe près, mais affectées de signes contraires, la fraction (21), et par conséquent le polynôme

s’évanouiront pour chacune des valeurs a, è, c, ... h, attribuée à variable x. Donc alors, les coefficients

seront complètement déterminés. D’ailleurs, il est évident qu’on ne pourrait plus tirer la même conclusion si deux racines a et b , par exemple, étant égales, au signe près, se trouvaient affectées de signes contraires, c’est-à-dire si l’on avait

Car alors, le numérateur et le dénominateur de la fraction (21) ayant j)our facteur commun le produit

cette fraction serait réductible à la suivante :

(x + c). . .{x + hy

et cesserait de s’évanouir pour x — a.

Corollaire i". Si l’on calcule avec une approximation suffisante tn valeurs de Z, et par suite de on pourra en déduire les coefficients

compris dans le numérateur et le dénominateur de la fraction (18) ou (19), à l’aide de la formule d’interpolation pour les fonctions rationnelles, telle que je l’ai donnée dans V Analyse algébrique. (Voir à la fin de cet ouvrage la note sur la formule d’interpolation de Lagrange.) Alors ces divers coefficients se trouveront exprimés en fonctions des seules valeurs particulières des variables z et u.

Corollaire 2'. Si, en cherchant à déduire d’une équation donnée une seconde équation qui offre seulement les racines réelles de la piemière, on ne pouvait déterminer complètement tous les coefficients de cette seconde équation, on devrait en conclure que l’équation donnée présente un ou plusieurs couples de racines égales, au signe près, mais affectées de signes contraires. Au reste, on peut toujours débarrasser facilement une équation des facteurs du second degré qui correspondent à de semblables racines. Car ces facteurs doivent être diviseurs communs des deux polynômes que l’on obtient en ajoutant les uns aux autres d’une part les termes de degré pair , de l’autre les termes de degré impair. Ainsi, en particulier, rz et — a ne peuvent être à la fois racines (le l’équation (i), sans que les facteurs x — a, xy-a, et par suite leur produit a:* — divisent les deux polynômes

x™ -P -f a^x'^-t -f- elc , et «.x’—' -f- asx"'-'^ ■+■ etc