Mémoire sur la théorie de la lumière, par m. AugustinLouis Cauchy

J’ai donné le premier, dans les exercices de malhé- ■" et 7 matiques (troisième et quatrième volume) , les équations générales d’équilibre ou de mouvement d’un système de molécules sollicitées par des forces d’attraction ou de répulsion mutuelle , en admettant que ces forces fussent représentées par des fonctions des distances entro les molécules; et j’ai prouvé que ces équations, qui renferment un grand nombre de coefficients dépendants de la nature du système, se réduisaient, dans le cas où l’élasticité redevenait la même en tous sens , à d’autres formules qui ne renferment qu’un seul coefficient, et qui avaient été primitivement obtenues par M. Navier. J’ai déplus déduit de ces équations cellesqui déterminent les mouvements des plaques etdes verges élastiques, quand onsupposeque l’élasticité n’est pas la même en tous sens; et j’ai ainsi obtenu des formules qui comprennent , comme cas particuliers , celles qucM. Poisson et d’autres géomètresavaienttrouvées dans la supposition contraire. L’accord remarquable de ces

diverses formules , cides lois qui s’en déduisent , avec les observations des physiciens , et spécialement avec les belles expériences de M. Ssvart , devait m’encourager h suivre les conseils de quelques personnes qui m’engageaient h faire des équations générales que j’avuis données une application nouvelle b la théorie de la lumière. Ayant suivi ce conseil , j’ai été assez heureux pour arriver aux résultats que je vais exposer dans ce mémoire , et qui me paraissent dignes de fixer un moment l’attention des physiciens et des géomètres.

Les trois équations aux différences partielles qui représentent le mouvement d’un système de molécules sollicitées par des forces d’attraction ou de répulsion mutuelle, renferment, avec le temps t,et les coordonnées rectangulaires x,y, * d’un point quelconque de l’espace, les déplacements Ç, », C de la molécule ■» qui coïncide , au bout du temps i, avec le point dont il s’agit; ces déplacements étant mesurés parallèlement aux axes des x, y, s. Les mêmes équations offriront vingt et un coefficients dépendants de la nature du système , si l’on fait abstraction des coefficients qui s’évanouissent, lorsque les masses des diverses molécules sont deux à deux égales entre elles et distribuées symétriquement de part et d’autre de la moléeule ■» sur des droites menées par le point avec lequel cette molécule coïucide. Enfin cos équations seront du second ordre, c’est-à-dire qu’elles ne contiendront que des dérivées du second ordre des variables principales Ç,»,Ç, et l’on pourra, en considérant chaque coefficient comme une quantité constante, ramener leur intégration à celle d’une équation du sixième ordre qui ne renfermera plus qu’une seule variable principale. Or celte dernière pourra être facilement intégrée à l’aide des

méthodes générales que j’pi données dans le 19* cahier du journal do l’École Polytechnique , et dans le mémoire sur l’application du calcul des résidus oux questions de physique mathématique. Eu appliquant ces méthodes au cas oh l’élasticité du système reste la même en tous sens , et réduisant la valeur de la variable principale 6 la forme la plus simple, à l’aide d’uu théorème établi depuis longtemps par M. Poisson , on obtient précisément les intégrales qu’a données ce géomètre dans les mémoires de l’Académie. Mais dans le cas générai, la variable principale étant représentée par une intégrale définie sextuple , il fallait, pour découvrir les lois des phénomènes, réduire celte intégrale sextuple b une intégrale d’un ordre moins élevé. Cette réduction m’a long-temps arrêté: mais je suis enfin parvenu b l'effectuer , pour l’équation aux différences partielles ci- dessus mentionnée, et même généralement pour toutes les équations aux différences partielles dans lesquelles les diverses dérivées de la variable principale , prises par rapport aux variables indépendantes *, y, z, l, sont des dérivées de même ordre. Alors j’ai obtenu , pour représenter la variable principale, une intégrale définie quadruple , et j’ai pu rechercher les lois des phénomènes dont la connaissance devait résulter de l’intégration des équations proposées. Cette recherche a été l’objet du dernier mémoire que j'ai ou l’honneur d’offrir b l’Académie , et qui renferme entre autres la proposition suivante. ' '

Étant donnée une équation aux différences partielles dans laquelle toutes les dérivées de la variable principale relatives aux variables indépendantes x, y, s, t, sont de même ordre , si les valeurs initiales de la variable principale et de ses dérivées prises par rapport au temps sont

sensiblement nulles dans tous les points situés à une distance finie de l’origine des coordonnées , celte variable et ses dérivées n’auront plus de valeurs sensibles au bout du temps t , dans l’intérieur d’une certaine surface , et par conséquent les vibrations sonores , lumineuses , etc. qui peuvent être déterminées à l’aide de l’équation aux différences partielles, se propageront dans l’espace de manière à produire une onde sonore , lumineuse, etc

dont la surface sera précisément celle que nous venons d’indiquer. De plus on obtiendra facilement l'équation do la surface de l’onde, en suivant la règle que jo vais tracer.

Concevons que, dans l’équation aux différences partielles, on remplace une dérivée quelconque de la variable principale prise par rapport aux variables indépendantes x,y,t, t, par le produit de ces variables élevées & des puissances dont les degrés soient marqués, pour chaque variable indépendante , par le nombre des différenciations qui lui sont relatives. La nouvelle équation que l’on obtiendra sera de la forme

et représentera une certaine surface courbe. Considérez maintenant le rayon vecteur mené de l’origine à un point quelconque de cette surface courbe; portez sur ce rayon vecteur , è partir de l’origino , une longueur égale au carré du temps divisé par ce même rayon; menez ensuite par l’extrémité de cette longueur un plan perpendiculaire & sa direction. Ce plan sera le plan tangent à la surface de l’onde , et par conséquent celte surface, sera l’enveloppe de l’espace que traverseront les divers plans qu’on peut construire en opérant comme on vient de le dire. Au reste, on arrive encore aux mêmes conclusions , en suivant

udc autre méthode que je vais exposer en peu de mots , et que j’ai développée dans mes dernières leçons au collège de France.

Supposons que les valeurs initiales de la variable principale et de ses dérivées prises par rapport au temps ne soient sensibles que pour les points situés à des distances très-petites d’un certain plan mené par l’origine des coordonnées , et dépendent uniquement de ces distances. Cette même variabieet ces dérivées ne seront sensibles, au bout du temps t, que dans le voisinage de l’un des plans parallèles , construits à l’aide de la règle que nous avons précédemment indiquée. Par conséquent , si les vibrations sonores, lumineuses, etc., sont primitivement renfermées dans une onde plane , cett* onde , que nous nommerons élémentaire, se divisera en plusieurs autres dont chacune se propagera dans l’espace , en restant parallèle è elle-même, avec une vitesse constante. Mais ces diverses ondes auront des vitesses do propagation différentes. Si maintenant on conçoit qu’au premier instant plusieurs ondes élémentaires soient renfermées dans des plans divers menés par l’origine des coordonnées, mais peu inclinés les uns sur les autres , et que les vibrations sonores, lumineuses, etc., soient assez petites pour rester insensibles dans chaque onde élémentaire prise séparément; alors , ces vibrations ne pouvant devenir sensibles que par la superposition d’un grand nombre d’ondes élémentaires , il est clair que les phénomènes relatifs h la propagation du son, de la lumière, etc. ne pourront être observés, au premier moment, que dans une très-petite étendue autour de l’origine des coordonnées , et au bout du temps t , que dans le voisinage des diverses nappes de la surface qui sera touchée par toutes les ondes élé-

menUires. Qr celle dernière surfaee sera précisément fc» surface courbe dont nous avons parié ci-dessus , et que l'on nomme généralement surface de l’onde.

Cela posé , si l’on considère le mouvement de propagation des ondes planes, dans un système de molécule» sollicitées par des forces d’attraction ou de répulsion mutuelle, on pourra prendre successivement pour variables principales trois déplacements rectangulaires d’une molécule mv (mesurés parallèlement aux trois axes d’un certain ellipsoïde qui aura pour centre f origine dus coordonnées , et que l’on construira facilement dès que l’on connaîtra les coefficients dépendants do la nature do système proposé, et la direction du plan ABC, qui renfermait une onde plane au premier luttant. Alors cette onde se divisera en six autres qui auront constamment la même épaisseur que la première, et se propageront avec des vitesses constantes , dans des plans parallèles k A B C'.< Ces ondes , prises deux k deux , auront des vitesses de propagation égales mais dirigées en sens contraires. Do plus ces vitesses , mesurées suivant une droite perpendiculaire ou plan ABC , pour les trois ondes qui so mouvront dons un même sens, seront constantes et reepectiveoaent égales aux quotients qu’on obtient en divisant l’unité par les trois derai-Oxes de l'ellipsoïde ci-dessus mentionné. Les points situés hors de ces ondes seront en repos,et si les trois demi-axes de l’ellipsoïde sont inégaux, le déplacement absolu et b vitesse absolue des molécule» , dans une onde plane, resteront toujours parallèles k celui des trois axes de l’ellipsoïde qui sera réciproquement proportionnel k la vitesse de propagation do cette onde. Mais, si deux ou trois axe» de l’ellipsoïde deviennent égaux , les ondes planes qui se propageront dans le mémo

sens avec des vitesses réciproquement proportionnelles à ces axes , coïncideront , et la vitesse absolue de chaque molécule renfermée dans une onde plane sera , au bout d’un temps quelconque, parallèle aux droites suivant lesquelles les vitesses initiales se projetaient sur le plan mené par les deux axes égaux du l’ellipsoïde, ou même, si l'ellipsoïde se change en une sphère , aux directions de ces vitesses initiales.

Concevons maintenant qiï’su premier instant plusieurs ondes planes , peu inclinées les unes sur les autres et sur un certain plan ABC, se rencontrent et se superposent en un certain point A. Le temps venant b croître, chacune de ces ondes se propagera dans l’espace, en donnant naissance , de chaque côté du plan qui la renferma it primitivement , b trois ondes semblables renfermées dans des plans parallèles, mais douées do vitesses de propagation différentes; par conséquent lo système d’ondes planes que l’on considérait d’abord se subdivisera en trois autres systèmes, et le point de rencontre des ondes qui feront partie d’an même système se déplacera suivant une certaine droite avec une vitesse de propagation distincte de celle des ondes planes. Donc, au bout d’un lemps*quelconquc t , le point A so trouvera remplacé par trois autres points dont les positions dans l’espace pourront être calculées pour une direction donnée du plan ABC , et les diverses positions que pourront prendre les trois points dont il s’agit pour diverses directions primitivement attribuées au plan ABC , détermineront une surface courbe b trois nappes, dans laquelle chaque nappe sera constamment -touchéo par les ondes planes qui feront pa rlie d ’u n même système. Or celle surface courbe sera précisément celle dont nous avons déjb parlé

ci-dessus , cl que nous avons nommée surface de l’onde.

Au reste pour que la propagation des ondes planes puisse s’effectuer dans un corps élastique, il est nécessaire que les coefficients , ou du moins certaines fonctions des coefficients renfermés dans les équations aux différences partielles qui représentent le mouvement du corps élastique , restent positives. Dans le cas contraire, les ondes planes ne pourraient plus se propager , et l’on en serait averti par le calcul qui donnerait pour les vitesses de propagation des valeurs imaginaires.

Dans la théorie de la lumière , on désigne sousle nom d’éther le fluide impondérable que l’on considère comme étant le milieu élastique dans lequel se propagent lesqndes lumineuses. Le point de rencontre d’un grand nombre d’ondes planes dont les plans sont peu inclinés les uns aux autres est celui dans lequel od suppose que la lumière peut être perçue par l’œil. La série des positions que ce point de rencontre prend dans l’espace, tandis que les ondes se déplacent , constitue ce qu’on nomme un rayon lumineux; et la vitesse de la lumière mesurée dans le sens de ce rayon doit être soigneusement distinguée , 1° de la vitesse de propagation des ondes planes, 2° delà vitesse propre des molécules élhérées. Enfin l'on épelle rayons polarisés ceux qui correspondent à des ondes planes dans lesquelles les vibrations des molécules restent constamment parallèles à une droite donnée, queilesque soient les directions des vibrations initiales.

Pour plus de généralité , nous dirons que , dans un rayon lumineux, la lumière est polarisée parallèlement i» une droite ou à un plan donné, lorsque les vibrations des molécules lumineuses seront parallèles à cette droite ou à çe plan , sans être parallèles dans tous les cas aux diccc-

lions des vibrations initiales;) cl nous appellerons plan de polarisation le plan qui renfermera la direction du rayon lumineux , et celle de vitesses propres de molécules éthérées. Ces définitions s’accordent, comme on le verra plus tard , avec les dénominations reçues.

Cela posé , il résulte des principes ci-dessus établis , qu’en partant d’un point donné de l’espace , un rayon de lumière dans lequel les vitesses propres des molécules ont des directions quelconques, se subdivisera généralement en trois rayons de lumière polarisée parallèlement aux trois axes d’un certain ellipsoïde. Mais chacun de ces rayons polarisés ne pourra plus être divisé par l’action du fluide élastique dans lequel la lumière se propage. De plus le mode de polarisation dépendra de la constitution de ce fluide, c’est-à-dire, de la distribution de ses molécules dans l’espace ou dans un corps transparent , et du plan qui renfermait primitivement les molécules vibrantes. Si la constitution du fluide élastique est telle que les vitesses de propagation des ondes planes deviennent imaginaires," cette propagation ne pourra plus s’effectuer, et le corps dans lequel le fluide élhéré se trouve compris deviendra ce qu’on nomme un corps opaque. 'Si le corps reste transparent, et si dans ce corps le fluide éthéré se trouve distribué de telle sorte que son élasticité demeure la même en tous sens autour d’un point quelconque, les trois rayons polarisés, dans lesquels se subdivise généralement un rayon quelconque de lumière , seront dirigés suivant la même droite; et, comme la vitesse de la lumière sera la môme dans les deux premiers rayons , ceux ci se confondront l’un avec l’autre. Il ne restera donc alors que deux rayons polarisés , l’un double , l’autre simple, ayant la même direction. Or, le calcul fait voir quo

dans le rayon simple la lumière sera polarisée suivant la direction dont il s’agit , tandis que dans le rayon double la luinièro sera polarisée perpendiculairement à cette direction. Si les vibre lions initiales des molécules lumineuses sont renfermées dans un plan perpendiculaire à la direction dont il s’agit, le rayon simple disparaîtra, et les vitesses propres des molécules dans le rayon double resteront constamment dirigées suivant des droites parallèles aux directions des vitesses initiales , de sorte qu’à proprement parler, il n’y aura plus depolarisation. Alors aussi la vitesse de propagation de la lumière sera équivalente à la vitesse de propagation d’une onde plane, et la même eu toussent autour de chaque point. Or, la réduction de tous les rayons à un seul , et l’absence de toute polarisation dans les milieux oh la lumière se propage en tous sens avec la même vitesse étant des faits constatés par l’expérience, nous devons conclure do ce qui précède que dan» ces milieux les vitesses propres des molécules élhérées sont perpendiculaires aux directions des rayons lumineux , et comprises dans les ondes planes. Ainsi l’hypothèse admise par Fresnel devient une réalité. Cet habile physicien , malheureusement enlevé aux sciences par une mort prématurée, a donc eu raison de dire que dans la lumière ordinaire les vibrations sont transversales, c’est-à-dire perpendiculaires aux directions des rayons. A la vérité , losidée» de Fresnel sur cet objet ont été vivement eombaltucs par un illustre académicien dans plusieurs articles que renferment les Antutlea de physique et de chimie, et dont l’un est relatif au mouvement de doux lluidcs superposés. Suivant l’auteur de ces articles, les vibrations des molécules dans l’éther liuiraient par être toujours sensiblement perpendiculaires aux surfaces des

onde» t(ue le mouvement produit en »c propageant , et dès-lors la polarisation , telle qu’elle a été précédemment définie , deviendrait impossible et disparaîtrait complète' ment. Alors aussi la surface de l’onde serait toujours un ellipsoïde , et n’offrirait qu’une seule nappe , en sorte que pourexpliquer ta double réfraction on serait obligé desupposerdeux fluides éthérés simultanément renfermés dans le même milieu. Mais on doit remarquer que l’antcur, comme il le dit lui-méme, avait déduit ces diverses conséquences de l’intégration de l’équation connue aux différences partielles qui représente les mouvements des fluides élastiques, et de celle qu’on en déduit lorsqu’on suppose inégaux les trois coefficients des dérivées parlielles do la variable principale. Or , ccs équations ne paraissent point applicables à la propagation des ondes lumincnses dans un fluide éthéré , et l’accord remarquable de la théorie quo je propose avec l’expérience me semble devoir confirmer l’assertion que j’ai déjà émise dans un précédont mémoire sur le mouvement de la lumière; savoir, que les équations différentielles de ce mouvement sont comprises dans celles que renferment les 5i et ôa* livraisons de» Exercices de mathématiques.

Dans la seconde partie de ce mémoire que je me propose de lire à la séance prochaine, j’applrquerat les principes que jo viens d’établir b la détermination des lois suivant lesquelles la lumière se propage dans les cristaux b un seul axe ou à deux axes optiques , et le montrerai comment on peut déduire de mes formules des règles propres h fairecènnaltre les vitesses de propagation des ondes élémentaires , et les plans depolarisation des rayons lumineux. Lorsqu’on s’arrête b un premier degré d’approximation, ces règles s’accordent d’uoe manière digne de remarque avec celles

que plusieurs savants oui déduites de l’expérience ou de l’hypothèse des ondulations , et en particulier avec celles que Fresnel a données dans son beau mémoire sur la double réfraction. Seulement il s’est trompé en admettant que les vibrations des molécules élhérées dans un rayon lumineux étaient sensiblement perpendiculaires au plan généralement nommé plan de polarisation. Dans la réalité, le plan de polarisation renferme la direction du rayon et celle des vibrations de l’éther. Un jeune géomètre , M. Bianchel , avait , de sou côté , et même avant moi , déduit celte conséquence et les lois de la polarisation pour les cristaux à un seul axe optique des premières formules que j’avais données. Mais la nouvelle analyse dont j’ai fait usage ne laisse rien à désirer à cet égard , ot s’étend & tous les cas possibles.

Je ferai voir encore dans lu seconde partie du mémoire que la pression estnulledans le fluide éthéré qui propage les vibrations lumineuses ; et je montrerai les conditions auxquelles doivent satisfaire les coefficients renfermés dans les équations différentielles du mouvement des corps élastiques , pour que la surface de l’onde lumineuse acquière la forme indiquée par l’expérience. Enfin dans une troisième partie je dirai comment on peut établir les lois de la réflexion et de la réfraction à la première ou à la seconde surface d’un corps transparent , et déterminer la proportion de lumière réfléchie ou réfractée. Ici encore la théorie s’accorde parfaitement avec l’observation , et l’analyse me ramène aux lois que plusieurs physiciens ont déduites de l’expérience. Ainsi en particulier , le calcul me fournit la loi de M. Brcwster sur l’angle de la polarisation complète par réflexion, et la loi de M. Arago sur la quantité de lumière réfléchie à la première ou à la seconde sur-

face d’un milieu transparent. J’obtiens aussi les formules queFrcsnela inséréesdansleiy* numéro des Annales de physique et de chimie , et qui suffiraient à elles seules pour constater la sagacité vraiment extraordinaire de cet illustre physicien.

Enfin j’indiquerai les moyens & l’aide desquels les physiciens pourront constater la réalité de la triple réfraction, ou , ce qui revient au même , l’existence du troisième rayon polarisé , traversant un milieu dont l’élasticité n’est pas la même dans tous les sens.